概率论与数理统计随机事件及其概率

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1、1、灵活性强,3、继承性强,学习前具备的基本知识,每周4学时，共安排了68学时，4 学分。,授课学时：6466 复习与答疑：42,成绩,2、应用性强：与生活实际联系密切,第1章 随机事件及其概率,1.研究对象-随机现象,在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象.,“太阳从东边升起，西边 落下”,（1）确定性现象,“水从高处流向低处”,实例,“在标准大气压下，液态水温度超过100摄氏度会汽化，在0摄氏度会结冰”，,确定性现象的特征,条件完全决定结果,在一定条件下可能出现也可能不出现的现象,称为随机现象.,实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币”.,（2）随机现象,结果有可能出现正面也可能出现反

2、面.,结果有可能为:,“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.,实例3 “抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.,实例2 “用同一门大炮向 同一目标发射同一种炮弹 多发 , 观察弹落点的情况”.,结果: “弹落点可能会不同”.,实例4 “从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品”.,实例5 “一只新灯泡的寿命” 可长可短.,随机现象的特征,条件不能完全决定结果,(2) 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现具有一定的统计规律性 。 概率论就是研究随机现象及其统计规律的一门数学学科.,说明,(1) 随机现象揭示了条件和结果之间的

3、非确定性联系 , 其数量关系无法用函数的形式加以描述.,2、研究内容-随机现象的统计规律性,1.1 预备知识,1.1.1 两个基本原理 1. 加法原理 若完成一件事有 种不同的方式，第 种方式中有种 不同的方法，其中任何一种方法都可以一次完成这件事，则完成这件事共有 种不同的方法. 加法原理又称分类加法计数原理，主要针对的是“分类问题”，其中各种方法相对独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事情.,2. 乘法原理若一件事需要经过先后 个不同步骤才能最后完成.其中第 个步骤有 种不同方法，则完成该件事共有 种不同方法.乘法原理又称分步乘法计数原理，主要针对的是“分步问题”，各个步骤中的方法相互依

4、存，只有各个步骤都完成才算完成这件事情.,例1.1.1 飞行在北京天津上海广州航空线上的民航飞机，要准备多少种不同的飞机票？ 解 由乘法原理知，需要 种不同的飞机票.运用两个原理解决计数问题时，首先要仔细分析以确定需要分类还是分步.对“分类问题”做到“不重不漏”；对“分步问题”做到 “步骤完整”；对较为复杂的问题，可同时运用两个基本计数原理或借助于列表、作图等方法分析解决.加法原理和乘法原理是学习排列组合的基础.,1.1.2 排列组合 1. 不重复的排列 从 个不同的元素中每次取出 个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，称为从 个不同元素中每次取 个不同元素的排列.若 ，称之为选排列.若 ，称

5、之为全排列. 选排列和全排列的种数分别用符号 和 表示，由乘法原理知其计算公式分别为,2. 可重复的排列 从 个不同的元素中有放回地（可重复）取 个元素，按照一定的顺序排成一列，称为从 个不同元素中取出 个的可重复的排列. 由乘法原理知其排列种数为 .,3.组合 从 个不同的元素中每次取出 个不同的元素，不管顺序如何组成一组，称为从 个不同元素中每次取 个不同元素的组合.其组合总数用符号 表示，由乘法原理知其计算公式为规定,注1.1.1 由上述计算公式不难验证组合有如下性质 （1） ； （2） ； （3） ； （4） .,例1.1.2 从6个毕业生中，任选4个人到某行业内4个分支机构工作，每个

6、机构1人，有多少种分配方法？ 解 有 种分配法. 例1.1.3 某城市电话号码是八位数字，并且首位不能为零，最多可以安装多少台不同号码的电话机？ 解 这是一个从 十个数码中选取八个数字的可重复的排列问题.由乘法原理知最多可以安装 台电话机. 例1.1.4 在一次考试中，某学生应做9道考题中的6道，问他有多少种选法？如果还要求他至少回答前5道题中的3道题，有多少种选法？,解 本题与顺序无关，属于组合问题.在9道考题中选6道，有 种选法；若至少要回答前5道题中的3道，包括下列三种情况： （1）在前5题中选3个，后4题中选3个.由乘法原理，有 种选法； （2）在前5题中选4个，后4题中选2个，有 种

7、选法； （3）前5题全选，后4题中选1个，有 种选法. 由加法原理，共有 种选法.,1.2 随机事件和样本空间,1.2.1 随机事件 概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律性的数学学科.为了研究随机现象，就要对客观事物进行观察或实验.这里所说的观察或实验是广义的，可以是各类科学实验，也可以是对某些事物的某些特征的观察.例如，观察某种商品的日销量，各种福利彩票的摇奖等.在概率论与数理统计中，我们把对随机现象的观察或实验统称为随机试验，简称试验.概率论中所研究的随机试验具有以下特点：,（1）在可控条件相同的前提下，试验可以（或原则上可以）重复进行，即重复性； （2）每次试验的结果具有多种可能性，

8、但是试验之前可以明确试验的所有可能结果，即明确性； （3）在每次试验之前不能准确地预言该次试验将会出现哪一种结果，即随机性.,例 “抛掷一枚硬币,观 察正面,反面出现的情况”.,分析,(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;,(2) 试验的所有可能结果:,正面，反面;,(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,故为随机试验.,例 掷一颗骰子，观察出现的点数。,在概率论与数理统计中，将随机试验的结果称为随机事件，简称事件.换言之，随机事件是指每次试验中，可能发生也可能不发生，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件.通常用大写字母等表示.例如，在例1.2.1掷骰子的试验中，“出现2点”

9、、“出现偶数点”，在例1.2.2抛硬币的试验中，“正面朝上”等都是随机事件.在随机事件中，有的可以看成是由某些事件复合而成的，而有些事件则不能分解为其他事件的组合.我们将不能分解为其他事件组合的最简单的随机事件称为基本事件.例如，例1.2.1中“出现2点”、“出现5点”等都是基本事件，“出现偶数点”也是随机事件，但它不是基本事件，而是由“出现2点”、“出现4点”和“出现6点”这三个基本事件组成的.我们将这种能够分解为两个或多个基本事件的随机事件称为复合事件.,1.2.2 样本空间 对于一个特定的随机试验，它的每一个基本结果（基本事件）称为一个样本点，用小写字母 表示.全体样本点的集合，称为该试

10、验的样本空间，通常用 表示. 显然，一个特定随机试验的样本空间 的子集就是该试验的一个随机事件，若这个子集是单点集，则它对应该试验的一个基本事件.随机事件在某一随机试验中发生，当且仅当其所包含的某一样本点在试验中出现.由于每次试验中一定有样本空间 中的某一个样本点出现，因此，又称样本空间 为必然事件，即每次试验中一定发生的事件，称空集 为不可能事件，即每次试验中一定不发生的事件.,样本空间：,试验的所有样本点构成的集合,样本点：,随机试验的每一个可能结果。,例：写出下列试验的样本点与样本空间,记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人 数.,或,试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, ,“出现

11、6点”为六个基本事件。,A=“出现奇数点”,B=“出现偶数点”,C=“出现不小于2的点”,“出现的点数小于7”,“出现的点数大于7”,-必然事件,-不可能事件,=1,3,5,=2,4,6,=2,3,4,5,6,注：1.必然事件和不可能事件是每次试验之前都可以准确预言的，从本质上讲它们都不是随机事件，但为了讨论问题方便，我们还是把它们作为两个极端情况处理. 2.不论必然事件、不可能事件还是随机事件，都是相对于一定的试验条件而言，如果试验的条件变了，事情的性质也将可能发生变化.例如，在掷骰子的试验中，掷一颗骰子时，“点数小于7”是必然事件，掷两颗骰子时，“点数之和小于7”是随机事件，而掷7颗骰子时

12、“点数之和小于7”就是不可能事件了.,样本空间可以是有限集，也可以是无限集.如观察“某射击手在击中目标之前的射击次数”的样本空间是例1.2.4 将 两球随机放入3个不同的盒子中，事件 表示第一个盒子内没有球，事件 表示两球在同一个盒子内，写出该随机试验的样本空间以及事件 和 . 解 在该试验中，基本事件可以分成两类，一类是两球放在同一个盒中，共有 种可能结果：,另一类是 两球分别放在两个不同的盒子中，共有 种可能结果：所以，样本空间为,1、随机试验、样本空间与随机事件的关系,小结：,2、“事件发生”的定义,随机事件在一次试验中发生（出现）当且仅当该集合中的其中一个样本点在这次试验中出现,在集合

13、论中，通常用“文（Venn）氏图”直观地描述集合及其相互关系.我们在引入了样本空间和样本点的概念之后，也可以借助文氏图来直观地描述一个随机试验以及随机试验所包含的随机事件及其相互关系.即用平面上某一方形（或矩形、或其他平面图形）区域表示必然事件即样本空间 ，用该区域上的子区域表示随机事件，如图1-1.,图1-1,1.2.3 随机事件之间的关系与运算 1.包含关系 如果事件 发生必然导致事件 发生，则称事件 包含事件 ，或称事件 包含于事件 ，记为 或 . 2.相等关系 如果事件 包含事件 ，事件 也包含事件 ，则称事件 与 相等，记为 .,3.事件的和（并） “两事件 与 中至少有一件发生”也

14、是一个事件，把这一事件称为 与 的和（并），记为 或 . 4.事件的积（交） “两事件 与 同时发生” 也是一个事件，将这一事件称为 与 的积（交），记为 或 .,事件的和与积都可以推广到有限多个事件以及可列个事件的情形：或 表示 中至少有一个事件发生；或 表示 中至少有一个事件发生；或 表示 同时发生的事件；或 表示 同时发生的事件.,5.事件的差 “事件 发生而事件 不发生”是一个事件，称为事件 与 之差，记为 . 6.互不相容事件 如果事件 与事件 不能同时发生，即 ，则称事件 与 互不相容（或称互斥）. 若 诸事件中，任何两个事件都是互不相容的，即 ，则称 个事件 两两互不相容（或两两互斥）.,实例 2 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 .,注： 任意事件A与不可能事件互斥.,实例 1 抛掷一枚硬币, “出现花面”与 “出现字面” 是互不相容的两个事件.,7.对立事件 “事件 不发生”这一事件称为事件 的对立事件（或逆事件），记为 . 注1.2.2 事件 与 互不相容，只要求 ，而事件 与 对立，则除了要求 之外，还要求 .即两个对立事件一定是互不相容事件；反之，两个互不相容的事件不一定是对立事件.,