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1、1,第 讲,9,指数函数与对数函数 （第一课时）,第二章 函数,2,3,4,1.指数函数的概念：一般地，函数 (a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量. 2. 指数函数的图象和性质:,y=ax,5,R,R,(0，+),(0，+),R上的增函数,R上的减函数,6,3. 对数函数的概念：一般地，函数 (a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量. 4. 对数函数的图象和性质:,y=logax,7,当x1时，y0; 当x=1时，y=0; 当0x1时，y0.,当x0时，0y1; 当x=0时，y=1; 当x0时，y1.,(0，+),(0，+),R,R,在(0，+)上是增函数,在(0，+)上是减函数,
2、8,1.设y1=40.9，y2=80.48, 则( ) A. y3y1y2 B. y2y1y3 C. y1y2y3 D. y1y3y2 y1=21.8,y2=21.44,y3=21.5 y1y3y2, 故选D.,D,9,2.设a=lge,b=(lge)2,c=lge,则( ) A. abc B. acb C. cab D. cba 0b0,ac0. 又 所以acb,故选B.,B,10,3.若函数y=f(x)是函数y=ax(a0，且a1)的反函数，且f(2)=1，则f(x)=( ) A.log2x B. C. D. 2x-2,11,函数y=ax(a0，且a1)的反函数是f(x)=logax. 又
3、f(2)=1, 即loga2=1, 所以a=2, 故f(x)=log2x, 故选A.,答案：A,12,题型一：指数函数、对数函数的图象 1. 函数y=ax+b与函数y=ax+b(a0且a1)的图象有可能是( ),13,由a0知直线的斜率大于0， 可以排除A、C， 由选项B中的直线在y轴的截距b0知， B中的指数函数的图象错，故选D.,答案：D,14,点评：解决有关函数的图象问题，一是对基本函数的图象的形状要熟记，如指数函数、对数函数等图象的形状；二是注意系数的符号及大小对图象的影响；三是注意图象的特殊位置、特殊点，如在y轴上的截距等.,15,若直线y=2a与函数y=|ax-1| (a0，且a1
4、)的图象有两个公共点，则a的取值范围是 .,16,当a1时，如图易知直线y=2a与曲线y=|ax-1|有一个公共点.,17,同理，当 时， 同样作出图象， 可知只有一个交点. 当 时， 可知有两个交点. 故a的取值范围是,答案：,18,题型二：利用指数函数、对数函数的性质比较大小 2. 比较下列各组数中数的大小： (1) (2)log1.10.7与log1.20.7; (3)60.7,0.76,log0.76.,19,(1)取中间量 因为 所以 又 是减函数， 所以 故,20,(2)因为 所以 因为y=lgx是增函数， 所以lg1.2lg1.10， 故 即 又log1.20.70， 所以log
5、1.10.7log1.20.7.,21,(3)60.71,00.761,log0.760， 所以log0.760.7660.7.,点评：由指(对)数函数的性质比较指(对)数式的大小，一般是有三种类型，一是底数相同，指数不同，可直接根据对应函数的单调性进行比较；二是指数相同，底数不同，可根据图象与垂直y轴的直线的交点来比较；三是指数、底数都不同，可借助于构造一个中间数来进行比较，如第(1)小题.,22,比较下列各组数中两个数的大小： (1) (2)log1.12.3与log1.22.2.,23,(1)取中间量 因为 是增函数， 所以 又 所以 故,24,(2)取中间量log1.12.2， 因为y
6、=log1.1x是增函数， 所以log1.12.3log1.12.2. 又 所以log1.12.3log1.22.2.,25,题型三：简单的指数、对数型不等式 3. (1)若 则a的取值范围是 . (2)已知f(x)=logax是减函数， 则不等式a2x-3ax+20的解集是 .,26,(1)当a1时， 由函数f(x)=logax是增函数可得 当0a1时，由函数f(x)=logax是减函数及 得 综合可得,答案：,27,(2)由f(x)=logax是减函数知0a1. 又由a2x-3ax+20 (ax-1)(ax-2)0 1ax2， 得loga2x0. 故填(loga2，0).,(loga2，0
7、).,答案：,28,点评：与指数及对数有关的不等式的解法，一是直接根据函数的单调性转化得到相应的不等式，如第(1)小题；二是利用整体代换，把整个指(对)数式先看成一个整体，按解不等式的常用方法求得整体式子的范围，然后由指(对)数函数的特点求得最后的解集，如第(2)小题就是先把ax看成一个整体式子.,29,解下列不等式： (1)(x-2)lg3+lg(10-3x)0; (2)logaxlogxa (a0，且a1，为常数).,30,(1)不等式可化为lg3x-2(10-3x)0 3x-2(10-3x)1， 即(3x)2-103x+90， 即(3x-1)(3x-9)0，所以13x9， 即303x32
8、，所以0x2. 故不等式的解集是(0，2).,31,(2)不等式可化为 即 所以logax(logax-1)(logax+1)0 -1logax0或logax1. 所以，当a1时，解集为 当0a1时，解集为,32,1. 比较两个指、对数式的大小，常用作差、作商或引入中间量来比较；若底数相同，则可利用指数函数和对数函数的单调性来比较. 2. 解指数、对数不等式，一般将不等式两边化为同底数的指、对数形式，再利用单调性转化为简单不等式求解.但去对数符号后，一定要添加真数大于0的条件.,33,第 讲,9,指数函数与对数函数 （第二课时）,第二章 函数,34,题型四：对数函数综合问题 1. 设a、bR，
9、且a2，定义在区间(-b，b)内的函数 是奇函数. (1)求b的取值范围； (2)讨论函数f(x)的单调性.,35,(1)函数 在区间 (-b，b)内是奇函数等价于对任意x(-b，b)都有 f(-x)=-f(x) 因为f(-x)=-f(x)， 即 由此可得 即a2x2=4x2.,36,上式对任意x(-b，b)都成立相当于a2=4， 因为a2，所以a=-2. 将其代入 中， 得 即 上式对任意x(-b，b)都成立 相当于 所以b的取值范围是,37,(2)设任意的x1，x2(-b，b)，且x1x2， 由 得 所以01-2x21-2x1，01+2x11+2x2， 从而 因此f(x)在(-b，b)内是
10、减函数，具有单调性.,38,点评：对数函数问题是重点知识，它综合了对数的运算、函数的有关性质等知识，所以在解题过程中计算量较大且易出错，而函数的性质的讨论和证明又涉及到代数推理方面的问题，故又是难点知识.,39,函数 是奇函数 (其中0a1)，则 (1)m= ; (2)若m1，则f(x)的值域为 .,40,(1)因为f(x)是奇函数， 所以f(-x)=-f(x)在其定义域内恒成立. 即 所以1-m2x2=1-x2恒成立 m2=1 m=1.,答案:m=1,41,(2)由(1)知，m=-1， yR， 所以 的值域为R.,答案:R,42,题型五：指数函数综合问题 2. 设a0且a1，为常数，函数 (
11、1)试确定函数f(x)的奇偶性； (2)若f(x)是增函数，求a的取值范围.,43,(1)f(x)的定义域为R. 因为 所以f(x)为奇函数. (2)设x1x2，则,44,因为f(x)为增函数，则f(x1)-f(x2)0. 则 又x1x2， 所以 a1 或 解得 或0a1. 故a的取值范围是,0 a1,45,点评：讨论函数的奇偶性，一定要按定义域优先的原则，然后在定义域范围内，再判断f(x)与f(-x)是相等还是相反.底数是含参式子的指数函数的单调性问题，要注意运用分类讨论思想，根据底数的不同情况时的单调性质得到相应的不等式(组)，最后综合各种情况得出所求问题的答案.,46,设函数 (aR)是
12、R上的奇函数. (1)求a的值； (2)求f(x)的反函数； (3)若kR,解不等式,47,(1)因为f(x)是R上的奇函数， 所以f(0)=0,得a=1. (2)因为 所以y+y2x=2x-1, 所以2x(y-1)=-1-y, 所以 即,48,(3) -1log2(1+x)-log2k -1x1 log2(1-x)log2k -1x1 01-xk,49,()当-11-k1,即0k2时， 不等式的解集为x|1-kx1； ()当1-k-1,即k2时， 不等式的解集为x|-1x1.,50,题型六：复合型指数函数、对数函数问题 3. 已知函数f(x)=loga(a-ax) (a1且为常数). (1)
13、求f(x)的定义域和值域; (2)判断f(x)的单调性； (3)证明： 函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称.,51,(1)由a-ax0 axa， 因为a1，所以x1. 所以f(x)的定义域是(-，1). 因为x1，a1， 所以0axa a-axa， 所以loga(a-ax)logaa=1. 所以f(x)的值域为(-，1).,52,(2)设x1x21， 则 即f(x1)f(x2)， 所以f(x)是减函数.,53,(3)证明：由y=loga(a-ax) a-ax=ay ax=a-ay， 所以x=loga(a-ay)， 所以f-1(x)=loga(a-ax) (x1). 于是f-1(x)=f(
14、x)， 故函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称.,54,点评：复合函数的单调性既可利用定义直接判断，也可转化为简单函数来处理其单调性.若函数的图象关于直线y=x对称，则此函数的反函数的解析式与原函数的解析式相同.,55,已知f(x)=lg(ax-bx)(a1b0). (1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)在其定义域内的单调性； (3)若f(x)在(1，+)内恒为正， 试比较a-b与1的大小.,56,(1)由ax-bx0， 所以 又 所以x0.所以定义域为(0，+). (2)设x2x10，a1b0， 所以 所以,57,所以 所以f(x2)-f(x1)0. 所以f(x)在(0，+)是增函数. (3)当x(1，+)时， f(x)f(1)， 要使f(x)0，须f(1)0， 所以a-b1.,58,1. 指数函数y=ax(a0，且a1)与对数函数y=logax (a0，且a1)互为反函数，要能从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.,59,2. 要把对一般函数的研究方法用到指数函数和对数函数的研究上来，如定义域、值域、单调性，特别要注意借助于指数函数或对数函数构造的复合函数的性质特点. 3. 对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论，解决对数问题时，首先要考虑其定义域.,
