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1、1,第 讲,9,指数函数与对数函数 (第一课时),第二章 函数,2,3,4,1.指数函数的概念:一般地,函数 (a0,且a1)叫做指数函数,其中x是自变量. 2. 指数函数的图象和性质:,y=ax,5,R,R,(0,+),(0,+),R上的增函数,R上的减函数,6,3. 对数函数的概念:一般地,函数 (a0,且a1)叫做对数函数,其中x是自变量. 4. 对数函数的图象和性质:,y=logax,7,当x1时,y0; 当x=1时,y=0; 当0x1时,y0.,当x0时,0y1; 当x=0时,y=1; 当x0时,y1.,(0,+),(0,+),R,R,在(0,+)上是增函数,在(0,+)上是减函数,
2、8,1.设y1=40.9,y2=80.48, 则( ) A. y3y1y2 B. y2y1y3 C. y1y2y3 D. y1y3y2 y1=21.8,y2=21.44,y3=21.5 y1y3y2, 故选D.,D,9,2.设a=lge,b=(lge)2,c=lge,则( ) A. abc B. acb C. cab D. cba 0b0,ac0. 又 所以acb,故选B.,B,10,3.若函数y=f(x)是函数y=ax(a0,且a1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=( ) A.log2x B. C. D. 2x-2,11,函数y=ax(a0,且a1)的反函数是f(x)=logax. 又
3、f(2)=1, 即loga2=1, 所以a=2, 故f(x)=log2x, 故选A.,答案:A,12,题型一:指数函数、对数函数的图象 1. 函数y=ax+b与函数y=ax+b(a0且a1)的图象有可能是( ),13,由a0知直线的斜率大于0, 可以排除A、C, 由选项B中的直线在y轴的截距b0知, B中的指数函数的图象错,故选D.,答案:D,14,点评:解决有关函数的图象问题,一是对基本函数的图象的形状要熟记,如指数函数、对数函数等图象的形状;二是注意系数的符号及大小对图象的影响;三是注意图象的特殊位置、特殊点,如在y轴上的截距等.,15,若直线y=2a与函数y=|ax-1| (a0,且a1
4、)的图象有两个公共点,则a的取值范围是 .,16,当a1时,如图易知直线y=2a与曲线y=|ax-1|有一个公共点.,17,同理,当 时, 同样作出图象, 可知只有一个交点. 当 时, 可知有两个交点. 故a的取值范围是,答案:,18,题型二:利用指数函数、对数函数的性质比较大小 2. 比较下列各组数中数的大小: (1) (2)log1.10.7与log1.20.7; (3)60.7,0.76,log0.76.,19,(1)取中间量 因为 所以 又 是减函数, 所以 故,20,(2)因为 所以 因为y=lgx是增函数, 所以lg1.2lg1.10, 故 即 又log1.20.70, 所以log
5、1.10.7log1.20.7.,21,(3)60.71,00.761,log0.760, 所以log0.760.7660.7.,点评:由指(对)数函数的性质比较指(对)数式的大小,一般是有三种类型,一是底数相同,指数不同,可直接根据对应函数的单调性进行比较;二是指数相同,底数不同,可根据图象与垂直y轴的直线的交点来比较;三是指数、底数都不同,可借助于构造一个中间数来进行比较,如第(1)小题.,22,比较下列各组数中两个数的大小: (1) (2)log1.12.3与log1.22.2.,23,(1)取中间量 因为 是增函数, 所以 又 所以 故,24,(2)取中间量log1.12.2, 因为y
6、=log1.1x是增函数, 所以log1.12.3log1.12.2. 又 所以log1.12.3log1.22.2.,25,题型三:简单的指数、对数型不等式 3. (1)若 则a的取值范围是 . (2)已知f(x)=logax是减函数, 则不等式a2x-3ax+20的解集是 .,26,(1)当a1时, 由函数f(x)=logax是增函数可得 当0a1时,由函数f(x)=logax是减函数及 得 综合可得,答案:,27,(2)由f(x)=logax是减函数知0a1. 又由a2x-3ax+20 (ax-1)(ax-2)0 1ax2, 得loga2x0. 故填(loga2,0).,(loga2,0
7、).,答案:,28,点评:与指数及对数有关的不等式的解法,一是直接根据函数的单调性转化得到相应的不等式,如第(1)小题;二是利用整体代换,把整个指(对)数式先看成一个整体,按解不等式的常用方法求得整体式子的范围,然后由指(对)数函数的特点求得最后的解集,如第(2)小题就是先把ax看成一个整体式子.,29,解下列不等式: (1)(x-2)lg3+lg(10-3x)0; (2)logaxlogxa (a0,且a1,为常数).,30,(1)不等式可化为lg3x-2(10-3x)0 3x-2(10-3x)1, 即(3x)2-103x+90, 即(3x-1)(3x-9)0,所以13x9, 即303x32
8、,所以0x2. 故不等式的解集是(0,2).,31,(2)不等式可化为 即 所以logax(logax-1)(logax+1)0 -1logax0或logax1. 所以,当a1时,解集为 当0a1时,解集为,32,1. 比较两个指、对数式的大小,常用作差、作商或引入中间量来比较;若底数相同,则可利用指数函数和对数函数的单调性来比较. 2. 解指数、对数不等式,一般将不等式两边化为同底数的指、对数形式,再利用单调性转化为简单不等式求解.但去对数符号后,一定要添加真数大于0的条件.,33,第 讲,9,指数函数与对数函数 (第二课时),第二章 函数,34,题型四:对数函数综合问题 1. 设a、bR,
9、且a2,定义在区间(-b,b)内的函数 是奇函数. (1)求b的取值范围; (2)讨论函数f(x)的单调性.,35,(1)函数 在区间 (-b,b)内是奇函数等价于对任意x(-b,b)都有 f(-x)=-f(x) 因为f(-x)=-f(x), 即 由此可得 即a2x2=4x2.,36,上式对任意x(-b,b)都成立相当于a2=4, 因为a2,所以a=-2. 将其代入 中, 得 即 上式对任意x(-b,b)都成立 相当于 所以b的取值范围是,37,(2)设任意的x1,x2(-b,b),且x1x2, 由 得 所以01-2x21-2x1,01+2x11+2x2, 从而 因此f(x)在(-b,b)内是
10、减函数,具有单调性.,38,点评:对数函数问题是重点知识,它综合了对数的运算、函数的有关性质等知识,所以在解题过程中计算量较大且易出错,而函数的性质的讨论和证明又涉及到代数推理方面的问题,故又是难点知识.,39,函数 是奇函数 (其中0a1),则 (1)m= ; (2)若m1,则f(x)的值域为 .,40,(1)因为f(x)是奇函数, 所以f(-x)=-f(x)在其定义域内恒成立. 即 所以1-m2x2=1-x2恒成立 m2=1 m=1.,答案:m=1,41,(2)由(1)知,m=-1, yR, 所以 的值域为R.,答案:R,42,题型五:指数函数综合问题 2. 设a0且a1,为常数,函数 (
11、1)试确定函数f(x)的奇偶性; (2)若f(x)是增函数,求a的取值范围.,43,(1)f(x)的定义域为R. 因为 所以f(x)为奇函数. (2)设x1x2,则,44,因为f(x)为增函数,则f(x1)-f(x2)0. 则 又x1x2, 所以 a1 或 解得 或0a1. 故a的取值范围是,0 a1,45,点评:讨论函数的奇偶性,一定要按定义域优先的原则,然后在定义域范围内,再判断f(x)与f(-x)是相等还是相反.底数是含参式子的指数函数的单调性问题,要注意运用分类讨论思想,根据底数的不同情况时的单调性质得到相应的不等式(组),最后综合各种情况得出所求问题的答案.,46,设函数 (aR)是
12、R上的奇函数. (1)求a的值; (2)求f(x)的反函数; (3)若kR,解不等式,47,(1)因为f(x)是R上的奇函数, 所以f(0)=0,得a=1. (2)因为 所以y+y2x=2x-1, 所以2x(y-1)=-1-y, 所以 即,48,(3) -1log2(1+x)-log2k -1x1 log2(1-x)log2k -1x1 01-xk,49,()当-11-k1,即0k2时, 不等式的解集为x|1-kx1; ()当1-k-1,即k2时, 不等式的解集为x|-1x1.,50,题型六:复合型指数函数、对数函数问题 3. 已知函数f(x)=loga(a-ax) (a1且为常数). (1)
13、求f(x)的定义域和值域; (2)判断f(x)的单调性; (3)证明: 函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称.,51,(1)由a-ax0 axa, 因为a1,所以x1. 所以f(x)的定义域是(-,1). 因为x1,a1, 所以0axa a-axa, 所以loga(a-ax)logaa=1. 所以f(x)的值域为(-,1).,52,(2)设x1x21, 则 即f(x1)f(x2), 所以f(x)是减函数.,53,(3)证明:由y=loga(a-ax) a-ax=ay ax=a-ay, 所以x=loga(a-ay), 所以f-1(x)=loga(a-ax) (x1). 于是f-1(x)=f(
14、x), 故函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称.,54,点评:复合函数的单调性既可利用定义直接判断,也可转化为简单函数来处理其单调性.若函数的图象关于直线y=x对称,则此函数的反函数的解析式与原函数的解析式相同.,55,已知f(x)=lg(ax-bx)(a1b0). (1)求f(x)的定义域; (2)判断f(x)在其定义域内的单调性; (3)若f(x)在(1,+)内恒为正, 试比较a-b与1的大小.,56,(1)由ax-bx0, 所以 又 所以x0.所以定义域为(0,+). (2)设x2x10,a1b0, 所以 所以,57,所以 所以f(x2)-f(x1)0. 所以f(x)在(0,+)是增函数. (3)当x(1,+)时, f(x)f(1), 要使f(x)0,须f(1)0, 所以a-b1.,58,1. 指数函数y=ax(a0,且a1)与对数函数y=logax (a0,且a1)互为反函数,要能从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.,59,2. 要把对一般函数的研究方法用到指数函数和对数函数的研究上来,如定义域、值域、单调性,特别要注意借助于指数函数或对数函数构造的复合函数的性质特点. 3. 对于含参数的指数、对数问题,在应用单调性时,要注意对底数进行讨论,解决对数问题时,首先要考虑其定义域.,