《等差数列及其前n项和》由会员分享，可在线阅读，更多相关《等差数列及其前n项和（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,要点梳理 1.等差数列的定义如果一个数列 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母表示. 2.等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是 .,从第2项起每一项与它相邻前面一项,的差是同一个常数,公差,d,an=a1+（n-1）d,基础知识 自主学习,3.等差中项如果 ，那么A叫做a与b的等差中项. 4.等差数列的常用性质 （1）通项公式的推广：an=am+ ，（n，mN*）. （2）若an为等差数列，且k+l=m+n，（k，l，m，nN*），则 . （3）若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为 . （4）若an，b
2、n是等差数列，则pan+qbn是.,2d,ak+al=am+an,(n-m)d,等差,数列,（5）若an是等差数列，则ak，ak+m， ak+2m，（k，mN*）是公差为 的等差数列. 5.等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn=或Sn= . 6.等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn= .数列an是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn=f（n）是n的，即Sn= .,md,An2+Bn，（A2+B20）,二次函数或一次函数且不含常数,项,7.在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最值；若a10,d0,则Sn存在最 值. 8.等差数列与等差数列各项的和有关的性质（1
3、）若an是等差数列，则 也成 数列，其首项与an首项相同，公差是an公差的 .（2）Sm，S2m，S3m分别为an的前m项，前2m项，前3m项的和，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成 数列.,小,等差,等差,大,（3）关于等差数列奇数项与偶数项的性质 若项数为2n，则S偶-S奇= ， = . 若项数为2n-1，则S偶=（n-1）an，S奇= an，S奇- S偶= ， (4)两个等差数列an、bn的前n项和Sn、Tn之间 的关系为： = .,nd,n,an,(A)138. (B)135. (C)95. (D)23.,1.已知等差数列an中,a2+a4=4， ， 则它的前10项的和,双基检测,2
4、.已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是（ ）,(A) 5. (B)4. (C)3. (D)2.,双基检测,3.已知等差数列an中, a3=7， a5=a2+6 则a6等于 .,双基检测,【解析】,【答案】15,4.设Sn为等差数列an的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9= ., 解得 a9=a1+8d=15.故填15.,双基检测,题型一 等差数列的判定 【例1】已知数列an的通项公式an=pn2+qn (p、qR，且p、q为常数). （1）当p和q满足什么条件时，数列an是等差数列； （2）求证：对任意实数p和q,数列an+1-an是等差数 列.(1
5、)由定义知,an为等差数列,an+1-an 必为一个常数. (2)只需推证(an+2-an+1)-(an+1-an)为一个常数.,思维启迪,典例精讲,(1)解 an+1-an=p(n+1)2+q(n+1)-(pn2+qn) =2pn+p+q, 要使an是等差数列,则2pn+p+q应是一个与n无关的 常数,所以只有2p=0,即p=0, . 故当p=0 , 时，数列an是等差数列. (2)证明 an+1-an=2pn+p+q, an+2-an+1=2p(n+1)+p+q, (an+2-an+1)-(an+1-an)=2p为一个常数. an+1-an是等差数列.,解题心得 (1)证明或判断一个数列为
6、等差数列,通常用定义法:an+1-an=d; (2)本例而言,第(2)问中,需证明(an+2-an+1)-(an+1-an)是一个与n无关的常数,而不是证an+1-an为一个常数.,归纳领悟判断或证明数列an为等差数列，常见的方法有以下几种： 1利用定义：an1and(常数)(nN*)； 2利用等差中项：2an1anan2； 3利用通项公式：andnc(d、c为常数)，d为公差当 d0时，通项公式an是关于n的一次函数；d0时为常函数，也是等差数列；,4利用前n项和公式：Snan2bn(a、b为常数)若一个 数列的前n项和为关于n的二次函数且不含常数项，则这个数列为公差不等于零的等差数列；若此
7、时的a0，则此数列为常数列.,题型二 等差数列的基本运算 【例2】在等差数列an中，（1）已知a15=33,a45=153,求a61;（2）已知a6=10,S5=5，求a8和S8；（3）已知前3项和为12，前3项积为48，且d0,求a1.在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a1和d是两个最基本量，利用通项公式与前n项和公式，先求出a1和d.,思维启迪,解 （1）方法一 设首项为a1,公差为d,依条件得33=a1+14d a1=-23,153=a1+44d d=4. a61=-23+(61-1)4=217. 方法二 由 由an=am+(n-m)d, 得a61=a4
8、5+16d=153+164=217.,解方程组得,（2）a6=10,S5=5, 解方程组得a1=-5,d=3, a8=a6+2d=10+23=16,a1+5d=10 5a1+10d=5.,S8=8 =44. (3)设数列的前三项分别为a-d,a,a+d,依题意有(a-d)+a+(a+d)=12(a-d)a(a+d)=48,a=4 a=4a(a2-d2)=48 d=2. d0,d=2,a-d=2. 首项为2.a1=2., ,方程思想是解决数列问题的基本思想，通过公差列方程（组）来求解基本量是数列中最基本的方法，同时在解题中也要注意数列性质的应用.,探究提高,知能迁移2 设an是一个公差为d (d
9、0)的等差数列，它的前10项和S10=110且a1,a2,a4成等比数列.（1）证明a1=d;（2）求公差d的值和数列an的通项公式.（1）证明 因为a1,a2,a4成等比数列，故 =a1a4.而an是等差数列，有a2=a1+d,a4=a1+3d.于是(a1+d)2=a1(a1+3d),即 +2a1d+d2= +3a1d.化简得a1=d.（2）解 因为S10=110，S10=10a1+ d，所以10a1+45d=110.由（1）a1=d,代入上式得55d=110,故d=2,an=a1+(n-1)d=2n.因此，数列an的通项公式为an=2n,n=1,2,3,.,【例3】在等差数列an中，已知a
10、1=20,前n项和为Sn，且S10=S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值.解 方法一 a1=20，S10=S15，1020+ d=1520+ d，d=-,a13=0. 即当n12时，an0,n14时，an0. 当n=12或13时，Sn取得最大值，且最大值为 S12=S13=1220+ =130.,等差数列前n项和的最值,方法二 同方法一求得,nN+,当n=12或13时，Sn有最大值， 且最大值为S12=S13=130. 方法三 同方法一得d=- 又由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0. 5a13=0,即a13=0. 当n=12或13时，Sn有最大值
11、， 且最大值为S12=S13=130.,变式训练 （2009安徽5）已知an为等差数 列，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示an的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是 （ ） A.21 B.20 C.19 D.18 解析 (a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)=3d, 99-105=3d,d=-2. 又a1+a3+a5=3a1+6d=105,a1=39. Sn=na1+ =-n2+40n=-(n-20)2+400. 当n=20时，Sn有最大值.,B,例4. 已知数列an的前n项和,求数列|an|的前n项和Tn .,分析：已知数列an的通项公式,求数列an 的前
12、n项和Tn,例4. 已知数列an的前n项和,求数列|an|的前n项和Tn .,解：,由,得,即当n34时，,当n35时，,当n34时，,当n35时，,综上得,自我检测,P78 高考再现1,3 自我达标1,2,3,4,5,题组自测 1(2010重庆高考)在等差数列an中，a1a910，则a5的值为 ( ) A5 B6 C8 D10,答案：A,答案：C,3已知等差数列an的前n项和为Sn，且S1010，S2030，则S30_.,解析：S10，S20S10，S30S20成等差数列， 2(S20S10)S10S30S20， 4010S3030， S3060.,答案：60,知能迁移3 在等差数列an中，
13、a16+a17+a18=a9=-36,其前n项和为Sn.（1）求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值；（2）求Tn=|a1|+|a2|+|an|.解 （1）设等差数列an的首项为a1,公差为d,a16+a17+a18=3a17=-36,a17=-12,d= =3,an=a9+(n-9)d=3n-63,an+1=3n-60,an=3n-630an+1=3n-600S20=S21=当n=20或21时，Sn最小且最小值为-630.,令,得20n21,（2）由（1）知前20项小于零，第21项等于0，以后 各项均为正数. 当n21时，Tn=-Sn=当n21时，Tn=Sn-2S21=,综上，Tn=,（
14、n21，nN*） （n21,nN*）.,探究提高 求等差数列前n项和的最值，常用的方法： （1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项； （2）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值； （3）利用等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A、B为常数） 为二次函数，根据二次函数的性质求最值.,方法与技巧 1.等差数列的判断方法有(1)定义法：an+1-an=d (d是常数)an是等差数列.(2)中项公式：2an+1=an+an+2 (nN*)an是等差数列.(3)通项公式：an=pn+q(p,q为常数）an是等差数列.(4)前n项和公式：Sn=An2+Bn （A、B为常数）an是等差数列.,思想方法 感悟提高,2.方程思想和基本量思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程（组）获得解. 3.等差数列的通项公式本身可以由累加法得到. 4.等差数列的前n项和公式Sn= 很像梯形面积公式，其推导方法也与梯形面积公式的推导方法完全一样. 5.等差数列的前n项和公式Sn=na1+ d可以变形为 类似于匀加速直线运动的路程公式，只要把d理解为加速度.,
