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1、成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,北师大版 选修1-1,导数应用,第四章,情景导学 在一个古老的大家族里，族长是位老者名叫函数，领着他的众多子孙如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数快乐地生活着，日复一日、年复一年，突然有一天，他的子孙发生了变异，出现了高次函数和一些复合函数，老者无法认清它们的真面目，视为“怪胎”，就派人出去请了一位能人名叫导数，导数对着“怪胎”一求导，“怪胎”接着现了原型，老者很高兴，邀请导数加入他的家族，从此导数帮助老者解决了很多难解. 老者了解到导数擅长作画，就聘请他作画师，给每位新出现的函数画像这则故事说明了导数的功能：解决高次函数问题、解决函数图像问
2、题,17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨站在巨人的肩膀上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题的最一般、最有效的工具，因而也是解决诸如运动速度、物种繁殖率、绿化面积增长率，以及用料最省、利润最大、效率最高等实际问题的最有力的工具,学法探究 1利用导数研究函数的单调性，要注意借助数形结合思想来加深对函数的导数与单调性的关系的理解通过实例，体会利用导数解决单调性问题的方法 2函数的极值与函数的单调性密切相关，结合函数的单调性用数形结合的思想方法不难把握极值点的实质 3函数的极值是函数的局部性质，而函数的最值是函数在
3、整个定义域上的整体性质，要注意两者的联系与区别 4利用导数的方法解决实际问题时，数学建模是关键，特别是对有关物理问题，要能够将其物理意义与导数联系起来.,1 函数的单调性与极值,第四章,1.1 导数与函数的单调性,第四章,结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间.,重点：利用求导的方法判断函数的单调性 难点：探索发现函数的导数与单调性的关系.,函数的单调性与导函数正负的关系,负,正,正,新知导学 2设函数yf(x)在区间(a，b)内可导， (1)如果在区间(a，b)内，f (x)0，则f(x)在此区间内单调_；
4、(2)如果在区间(a，b)内，f (x)0，得1x1，故选C.,2如图所示是函数f(x)的导函数f(x)的图像，则下列判断中正确的是( ) A函数f(x)在区间(3,0)上是减少的 B函数f(x)在区间(1,3)上是减少的 C函数f(x)在区间(0,2)上是减少的 D函数f(x)在区间(3,4)上是增加的 答案 A 解析 当x(3,0)时，f(x)0，且f(a)0， 函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，f(x)f(a)0.,用导数求函数的单调区间,方法规律总结 1.函数的单调区间是定义域的子集，利用导数的符号判断函数的单调性和求函数的单调区间，必须先考虑函数的定义域，写函数的单调区间时，一
5、定要注意函数的不连续点和不可导点 2利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f (x)； (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f (x)0和f (x)0得x2，选D.,已知函数的单调性，确定参数的取值范围,解法二：(转化为不等式恒成立的问题) f (x)x2axa1.因为f(x)在(1,4)内单调递减，所以f (x)0在(1,4)上恒成立即a(x1)x21在(1,4)上恒成立，所以ax1，因为27，所以a7时，f (x)0在(6，)上恒成立 综上知5a7.,方法规律总结 1.已知函数f(x)在某区间A上单调求参数的值或取值范围时，一般转化
6、为在区间A上f (x)0(f(x)单调递增时)或f (x)0(f(x)在区间A上单调递减时)恒成立求解，有时也用数形结合方法求解 2yf(x)在(a，b)内可导，f (x)0或f (x)0且yf(x)在(a，b)内导数为0的点仅有有限个，则yf(x)在(a，b)内仍是单调函数，例如：yx3在R上f (x)0，所以yx3在R上单调递增,已知函数f(x)ax33x2x1在(，)上是减函数，则实数a的取值范围是_ 答案 a3,转化思想的应用构造法证明不等式,方法规律总结 构造函数，利用导数确定函数单调性，把证明不等式的问题转化为用单调性比较函数值大小的问题，实现了复杂问题简单化构造法是用导数研究函数中常用到的基本方法,已知：x0，求证：xsinx. 解析 设f(x)xsinx (x0)， f (x)1cosx0对x(0，)恒成立， 函数f(x)xsinx在(0，)上是单调增函数， 又f(0)0，f(x)0对x(0，)恒成立， xsinx (x0).,辨析 错解的原因是忽视了函数的定义域而导致错误.,
