《第8讲数学奥林匹克竞赛解题方法(方程问题)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第8讲数学奥林匹克竞赛解题方法(方程问题)（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2018/9/9,1,解题方法 方程问题,主讲人:吴仁芳 Email:,LOGO, 解题方法一方程问题 主讲人:吴仁芳:2018/9/9数学竞赛中的方程问题既包括求未知元、求未知函数的问题,也包括探讨未知元未知函数的性质的问题. 方程的形式既可以是一元未知数的,也可以是多元未知数的;既可以是代数方程,也可以是超越方程函数方程;既可以是单一方程,也可以是方程组,等等. 解题中经要注意到方程的同解理论,又要注意到处理各种方程的特殊思路.1, 根据方程根的特定性质探求例 1 2003 年上海市竞赛题)已知 gc 为实数,i 为虚数单位,且关于 = 的二次方程4z2十(2a十Dz一86(9a十4)一2
2、04十20i一0至少有一个实根. 求这个实根的最大值.解”设z为已知二次方程的实根,则4十2az一86(9e十人十z一2(4十20)i一04z2十2az一80(ga十4) 一0，(ze十咖=05十16(0一十)一1，品一2(a十20).由趟0),可设一卡cosg,0一二sing+二,代A式得一2(上cosb+ 二 sing二二)一23snce+o)二1，卜这里w为锐角,是 sine一对， 因为0可取沉实数,故 xx一=“属由昌 日例2 1994 年罗马罗尼亚数学奥林匹克题)a,b,c,A,B,C 是 6个正实数,使得方程 cz一rz十c=0和Azz一Bz十C=-0 有实根.求证在方程 w忆一r
3、十c=0 的两实根之间的任一实数 “与在方程Az?一Br十C=-0 的两实根之间的任一实数 v 有下述不等式;(ou+Aa(C +人CC)(引B)证明 由题设oz2一如十c0，Avz 一Bu十C0v0.由四,得0ax十二福和 04v+人B，将以上两个不等式相加,得Ooax+二+Ao+ sb+B，因此(ax+Au 二)ST Cou+hw+(CE + 了(结B:和 日例 3 1994 年保加利亚数学奥林匹克题)a,b,cE R,已知方程az十br十c一0有两个实根,如果la一全|鱼一wc|l十|居一ab|，求证该方程在区间(0,2)内至少有一个根.证明 ”因为给定方程有两个实根,所以“天0.因为用
4、一,一六一0 的情况下,证明本题即可.由于|(一oo)一(一ab)|委|上一acl十|一ab一le(b一c)1，以及尼一ac一(C一ab)一(6一c)(e十0十c)，因此1一c|， la二cl ay 10一cl由这个不等式显然可得6Fc，且 |a+b+cla，即 “一aa+b+ca，一2a0+c0.记(xz)一az十pz十cy则0)十帮2)一2(2a十0十c)盖0.如果 5c,则(一ao)十(一ab)委|兰一ac|十le一a8|一laGb一D1 一a(c一六，于是有灵十c0.故得尼人4ac2(灵十避)，0儿十2矛盾. 所以 . 又因上而已经证得 /十c0,所以0，可得2)二0.因此,在(0,2
5、)内至少有方程 F(z)王0 的一个根例4 1987 年中国数学奥林匹克题)设 ”为自然数,求证:方程at+1一2一1一0有模为 1 的复根的充分必要条件是 十2 可被 6 整除.证明 设w是方程2一2一1=0的一个模为 1 的复根,则oo一几一1=0，mo一1D)一1，lw 。 le一11=1.因为 1 ,所以 在复平面上,点和一1 都在单位加上;而单位园上满意lo一1|=1的点由只能是cos 村士isin 于(即图中的ww 和 点),而一1=eos哇二isin 距，于是 1一(wo一1交 Liin环) Los 2 Tiin 中一(cos 卫士sin 3) 【cos 3 士isin 3)于?
6、x+isin革2r， 一cos 图12-1因此 22r一2tx(kEma十2一6故a十2 可被 6 整除.反过来,若 十2 可被 6 整除,我们可设nm十2一6A(AEZ).取 人则 -1=eos竺 +isin 经 到,于是-or 1- 11一(cos 2 2 2x)or 1 =w to-D一一(cos琴+sin球) (cos 各十iin至)一1一(cus Hisin 于2 -1二(cos2hr二isin2kxj一=0因此翼是方程z和一所一1一0 的一个根,又因为lol一1,故方程 zx 一盖一1一0 有模为 1 的复根，例 5 1992 年中国数学奥林匹克题)设方程十ao十十az十ao一0的系数都是实数且满足条件 0a近ai反 为汪足条件的实数,则可设x=乞(AE Z,且全一人-3.于是,3从人一4,即1929.又当人10 时,Fok)二10X2X18256,矛盾.故AE一?， 09) 分别计算,可知满足了的上只有两个,即大一一4,一5.
