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1、问题：已知x0，求证：,6.3.1 不等式证明综合法,1、综合法的定义：,利用某些已知证明过的不等式（例如均值不等 式） 和不等 式的性质推导出所要证明的不等式，这种 由因导果的证明方法 通常叫做综合法,2、利用综合法证题方法：,由已知推出结论，证明的思路为“由因导果”.这里已知可以 是已知的重要不等式，也可以是已知的不等式的性质.,例1、已知a,b,c,d为不全相等的正数，求证： a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)6abc,析：可利用已知的重要不等式推导出结论成立，即采用综合法证明.,或采用作差法亦可,作为综合法的证明，依据的不等式本身是可以根据不等式的意 义，性质，或比较
2、法证出的，所以用综合法可以获证的不等式往往可 以直接根据不等式的意义去证明或比较法来证明.,例2、若a,b,c都为正数，求证：,析：本题左右两边都为和式结构，其关键是如何找到 与（a+b）之间的关系，联想基本不等式的变形.,本题证明的关键是先证 这正是已证过的不 等式 的变形，只要熟练掌握重要不等式及其变形 才能开阔证明不等式的思路,例3、已知a,b,c都为正数，且a+b+c=1，求证:,本例的方法是利用平均值来证明，这里借助了算术平均数 或几何平均数来证明，含有对称式的非严格不严格不等式的一 种特殊方法.,例4、已知a,b,c都为正数，且a+b+c=1,求证：,次题考查了变形应用综合法证明不
3、等式，证明时运用了“凑 倒数”.这种技巧在很多不等式证明中经常用到，但有时要对代 数式进行适当的变形，以期达到可以“凑倒数”的目的.,练习：已知a,b,c为不相等的正数，且abc1.求证：,变式1：已知a,b,c为任意实数，且a+b+c=1，求证：,变式2：已知a,b,c为任意实数，且a+b+c=1,小结,1.综合法是证明不等式的基本方法，用综合法证明不等式的逻辑关系是：（A为已证过的不等式或性质，B为要证 的不等式，即综合法是“由因导果”）,2.运用不等式的性质和已证过的不等式时要注意它们各自成立的条件，这样才能 使推理正确，结论无误.,3.用综合法的依据是： （1）已知条件和不等式的性质;（2）基本不等式,4.能用综合法证明的不等式一般可用比较法证明，用综合法证明不等式的依据是 基本不等式，要注意定理的使用条件和定理中“”成立的条件,
