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1、第6章 方差分析与回归分析,61 方差分析,6.1.1单因素方差分析 1.方差分析的意义在科研、生产和管理中，某项特性指标的优劣，是受许多条件影响的为了弄清诸条件中，哪些是对特性指标有显著影响的条件，并弄清这些条件在什么状态时起的作用最大，就需要进行试验（即进行抽样），并对试验结果进行数据处理.方差分析就是分析、处理试验数据的一种数学方法，它的主要任务是通过对数据的分析、处理，分清各试验条件以及它们所取的状态对试验结果的影响，以便有效地指导实践，提高效益,试验中，由于试验条件的变异而引起的试验结果的数量变异，称为条件误差（或系统误差）；由于许多未能控制的、微小的偶然因素所引起的试验结果的数量变
2、异，称为随机误差（或试验误差）我们称可控制的试验条件为因素，称因素的各种状态为水平如果在试验中，仅有一个因素在改变，其他可控制的条件不变，则称这种试验为单因素试验；如果在试验中变化的因素多于一个，则称为多因素试验 .,2.单因素方差分析 设因素A有 个水平 ，在水平 下进行 次试验，共进行 次试验，假设各次试验都是独立的，得到样本观测值 见下表,设在水平 下总体 ，其中 称为因素 在水平 下的效应 ，要检验的假设是 记,可以证明： 选择统计量式中 为水平个数，为试验数据个数 对于给定的 ，查 分布表确定临界值 使 并由样本观测值求出 的值,（1）当时 ，接受原假设 ，即可认为因素 对试验结果的
3、影响不显著；（2）当 时，说明小概率事件 在一次抽样中发生了.拒绝原假设 ，即可认为因素 对试验结果的影响显著由于 的观察值的计算比较复杂，在实际工作中，通常将， , , ，改写成; ;,其中,并采取下面的方差分析表,下面举例说明单因子方差分析方法,例1 一批由同种原料织成的布，用不同的染整工艺处理，每台进行缩水率试验，目的是考察不同的工艺对布的缩水率是否有显著影响，现采用5种不同的染整工艺，每种工艺处理4块布样，测得缩水率的百分数见下表：,染整工艺,试问染整工艺对缩水率影响是否显著（ ）？,解 (1)选择统计量,依题意，,(2)计算统计量,的观测值,由,得,得,(3)对于给定的 ,查 分布表
4、得 ,(4)因为 ，故染整工艺对缩水率影响高度显著,6.1.2无重复双因素方差分析,设因素 有 个水平 ，因素 有 个水平 ，在因素 与 的各个水平的每一种配合 下，分别进行一次试验，共进行 次试验，假定各次试验都是独立的，得到样本观测值设在水平 下的总体 ，其中 称为因素 在水平 下的效应， 称为在 水平 下的效应,检验假设,记,的离差平方和、,的离差平方和、误差平方和分别记为,，,总离差平方和、因素,则,因为 总偏差平方和，反应了数据总的差异；,分别为因素,的偏差平方和，分别反映了因素,的水平发生变化后所引起的差异；,反映了除因素,以外的随机因素引起的差异,为误差平方和，,可以证明,、,、
5、,、,的自由度分别为：,实际计算时，常用下列表达式：,，,其中,选择统计量,给定,查,分布表确定临界值,和,并与,的值进行比较：,(1)若,，则拒绝假设,即认为因素,对试验结果的影响显著；,(2)若 ，则接受 ，即认为因素 对试验结果无显著影响；,(3)若,，则拒绝假设,即认为因素,对试验结果的影响显著；,(4)若,，则接受假设,即认为因素,对试验结果无显著影响,计算 与 的值可采取下面的方差分析表：,因素,因素,误差,总和,例2 试验某种钢的不同含铜量在各种温度下的冲击值（单位： ），下表列出了试验的数据（冲击值），试检验其差异性是否显著（ ）,铜含量,解 列表、计算：,列表,铜含量,试验温度,20,0,-20 -40,双因素的方差分析表,从上面的表中看出：,. 检验结果表明，这种钢随着含铜量的增加，冲击值提高的效果是特别显著的；同时，随着试验温度的提高，冲击值提高的效果也是特别显著的,
