高考数学代数证明

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1、专题七专题七 代数证明代数证明 一、考纲要求：一、考纲要求： 知识要求：知识要求：函数、方程、数列、不等式等与代数证明有关的多个知识点。 能力要求：能力要求：会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用类比、归 纳和演绎进行推理；能合乎逻辑地、准确地进行表述。 二、考点解读：二、考点解读： 代数推理问题综合了函数、方程、数列、不等式等多个知识点，需要采用多种数学思想 方法才能解决问题，如函数方程思想、化归思想、分类讨论思想、逻辑推理思想等，是对 思维品质及论述水平的全面性考查；能弥补选择题、填空题、简答题的不足，是提高区分 度，增加选拔功能的重要题型。在适当降低了对立体几何逻辑推

2、理能力考查的力度后，代 数推理问题自然而然地承担了考查考生逻辑推理能力的重任，并且作为压轴题出现在高考 试卷中，因而代数推理问题也就成为现在的高考热点问题。 解答代数推理问题有一定的规律可循，其一般思维过程分为三步： 首先要领会题意弄清题目的条件是什么？结论是什么？如果条件和结论是用文字 表达的，把它翻译成数学语言； 其次要明确方向在审题的基础上，运用数学思想方法，目的明确地对外来的和内 在的信息进行提取、转化、加工和传输，从而明确解题的目标和方向； 最后要规范表达采用适当的步骤，合乎逻辑地进行推理和运算，并正确的表述。 除此之外，还要注重心理训练，尤其在解题的目标与条件之间跨度较大、较隐蔽时

3、，必须 多次尝试、探索，才能找到并实现解题目标。 三、考题预测：三、考题预测： 预测题预测题 1 定义在 R 上的函数满足，且在上为增)(xf)4()(xfxf)(xf, 2 函数。已知且，则的值 （ ）4 21 xx0)2)(2( 21 xx)()( 21 xfxf A.恒小于 0 B. 恒大于 0 C. 可能等于 0 D. 可正也可负 参考答案参考答案：不妨设则，02, 02 21 xx 1221 42, 2, 2xxxx ，即从而)4()( 12 xfxf)4()( 12 xfxf)()4()( 112 xfxfxf 0)()( 21 xfxf 命题意图与思路点拨：命题意图与思路点拨：本

4、题考查函数的单调性和对称性等有关知识，考查了等价转化思 想和推理论证能力。本题的关键是将和式的符号判断转化为大小比较，再利用单调性达到 目的。 预测题预测题 2 定义在 R 上的函数，对任意实数，都有和)(xfx3)()3(xfxf ，且，则= 。2)( ) 2 (xfxf1) 1 (f)2011(f 参考答案参考答案：由得3)()3(xfxf ，3)2008()2011( ff3)2005()2008( ff ，L, 3)2002()2005( ff3)4()7( ff ，共进行 670 次，将上述同向不等式相加可得3) 1 ()4( ff 即 6703) 1 ()2011( ff2011)

5、2011(f 由得，2)( ) 2 (xfxf2)2009()2011( ff2)2007()2009( ff ，共进行 1005 次，将上L , 2)2005()2007( ff2) 3 () 5 ( ff2) 1 () 3 ( ff 述同向不等式相加可得，即，10052) 1 ()2011( ff2011)2011(f 从而 2011)2011(f 命题意图与思路点拨：命题意图与思路点拨：本题主要从不等式两边同时出发求解，在解题过程中如果不熟悉 函数的性质就无法求出结果。一般来说，如果函数不易具体化或简约化，但可以根据题设 中的“桥梁” ，使自变量取一些特殊值，使数值特殊化，反复进行，从而

6、达到目标。到底取 何特殊值，要经过多种尝试、探索，充分发挥直觉、探索、逆向思维，有利于培养从一般 到特殊解决问题的能力。 预测题预测题 3过函数的图象上任意一点的切线与轴), 0( 2 axaaxy),( 11 yxPx 交于点,求证:. 0 , 2 xA 12 xxa 参考答案参考答案：由得过点的切线的斜率为，故切线方程为xy2 / ),( 11 yxP 1 2x )(2 111 xxxyy 令得切线与轴的交点坐标为，即，0yx 1 1 1 2 2 x x y x 1 1 2 1 2 2 x x ax x 戒烟最好的方法 戒烟产品 戒烟产品排行榜 cfr287wrt 由。所以)()( 2

7、1 2 1 11 1 2 1 axa x a xx x ax Qax 2 又，由，即 1 2 1 12 2x ax xx , 2 11 axax0 12 xx 12 xx 综上： 12 xxa 命题意图与思路点拨：命题意图与思路点拨：本题主要考查二次函数的导数、基本不等式和有关证明不等式的 基本方法。 预测题预测题 4 （06 天津文）已知数列满足，并且（为非 n a1 21 xx 1 1 n n n n x x x x 零参数，）L, 4 , 3 , 2n （1）若成等比数列，求参数的值； 531 ,xxx （2）设，常数且，10 Nk3k 证明：)( 1 2 2 1 1 Nn x x x

8、x x x k k n knkk L 参考答案参考答案：（1）由已知且得，由得1 21 xx 1 2 2 3 x x x x 3 x 2 3 3 4 x x x x 3 4 x 由得。若成等比数列则即 3 4 4 5 x x x x 6 5 x 531 ,xxx 51 2 3 xxx 62 而，解得。01 （2）设，由已知，数列是以为首项，为公比的等比数列， n n n x x a 1 n a1 1 2 x x 故，则 11 n n n x x . 2 )3( 1321 2 1 1 kk kn nknkn n n kn kn kn kn n kn x x x x x x x x LL 因此，对

9、任意，+ Nn n knkk x x x x x x L 2 2 1 1 2 )3( kk k 2 )3( 2 kk k 2 )3( kk nk =。 nkkk kk L 2 2 )3( k nkk kk 1 )1 ( 2 )3( 当且时，3k10110 , 10 2 )3( nk kk 所以)( 1 2 2 1 1 Nn x x x x x x k k n knkk L 命题意图与思路点拨：命题意图与思路点拨：本题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及 前项和公式、等差数列前项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和nn 推理论证能力。 预测题预测题 5 （06 辽

10、宁理）已知，其中， )( )( )(,)( 1 1 0 xf xf xfxxf k k k n ),( Nknnk 设1 , 1),()()()( 22 1 12 0 0 xxfCxfCxfCxF n n nnn L （）写出；) 1 ( k f （）证明：对任意的，恒有1 , 1, 21 xx1)2(2)()( 1 21 nnxFxF n 参考答案参考答案：（）由已知推得，从而有 kn k xknxf ) 1()(1) 1 (knfk （）当时，11x 12) 1() 1()( 21)(2)2(22)1(2120 xCxCknxCnxnCxCxF n n knk n n n n n n n

11、LL 当时，所以在上为增函数。0x0)( xF)(xF 1 , 0 又函数为偶函数，所以在上为减函数。)(xF)(xF0 , 1 所以对任意的恒有1 , 1, 21 xx)0() 1 ()()( 21 FFxFxF )0() 1 (FF 1210 2) 1() 1( n n k nnnn CCknCnnCCLL =。 0121 2) 1() 1( nn kn n n n n n CCCknCnnC LL = k n k n kn n kn n kn n C kkn n nC kkn n knCCknCkn !)!1( )!1( !)!( ! )()() 1( ，) 1, 3 , 2 , 1(

12、1 nkCnC k n k n L 01211 1 2 1 1 1 )0() 1 ( n n nnn n nnn CCCCCCCnFF LL =。因此结论成立。1212 1 nn n1)2(2 1 nn n 戒烟最好的方法 戒烟产品 戒烟产品排行榜 cfr287wrt 命题意图与思路点拨：命题意图与思路点拨：本题考查导数的基本运算，函数的性质，绝对值不等式及组合数 性质等基础知识，考查归纳推理能力以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力。 这类问题以函数为主线，联系其它知识进行推理。利用导数切单调性及用最值放大 是关键。)0() 1 (FF 命题预测：综上所述，以考查学生的逻辑推理能力和

13、综合运用知识分析问题、解决问 题的能力为重点的代数推理题，备受高考命题者的青睐，成为近年高考数学解答题命题的 主要题材，常常作为高考数学的把关题或压轴题。鉴于此类问题的解题目标与已知条件之 间的跨度大，题型新颖、内容综合、解法灵活、思维抽象，具有较好的考查效果，因此可 以推测代数推理题仍将作为高考考查的重要题型出现，并且会有将新增内容与传统内容有 机结合在一起进行设问、置疑的趋势。 专题七 代数证明代数证明训练反馈 1、已知方程的两个实根为，且满足为常数），cbcbxxxf,()( 2 xxf)( 21,x x ，设，求证：。1 12 xx 1 0xt 1 )(xtf 2、已知二次函数的图象与

14、轴有交点为，cbxaxxf 2 )(x) 0 , (mM 的图象与轴的交点为。设，求证：cbxaxxg 2 )(x) 0 , (nNcbxx a xh 2 2 )( 的图象与轴的交点一定有一个介于点与之间。)(xhxMN 3、设 a、b、c 是一个三角形的边长,且.1cba (1)证明: a、b、c 均小于. 2 1 (2)若,对于整数.证明；cba2n n nn c bcb 2 (3)证明:对于整数，。2n 2 2 1 n nnnnnn cbba 4、设 x1,x2是函数 f(x)=(a0)的两个极值点，且|x1|+|x2|=2xax b x a 223 23 （1）证明：0a1 （2）证明：|b| 9 34 （3）若函数 h(x)=f(x)-2a(x-x1),证明当 x1x2 且 x10 时，|h(x)| 4a 5、已知定义在区间上，且，又baxxxf 3 )(1 , 1) 1 ()0(ff 是其图象上的任意两个点（） 。),(),( 2211 yxQyxP 21 xx （1）求证：函数