高等数学案例集

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1、高等数学案例集 第一章函数与极限 （一）建立函数关系的的案例 1、 零件自动设计要求，需确定零件轮廓线与扫过的面积的函数关系。已知零件轮廓下部分为长 a2，宽a 2 2 的矩形ABCD ，上部分为CD 圆弧，其圆心在AB 中点 O。如下图所示。M 点在 BC、CD、DA 上移动，设BM x， OM 所扫过的面积OBM （或 OBCM 或 OBCDM ） 为 y，试求 y=f(x) 函数表达式，并画出它的图象。 解： axaaxa axa ax a axax xfy 2 22 2 2 4 2 8 22 2 2 2 2 24 1 2 2 0 4 2 )( 2 2 （二）极限 1、一男孩和一女孩分别

2、在离家2 公理和 1 公理且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分 别以 4 公理 /小时和 2公理 /小时的速度步行回家,一小狗以6 公理 /小时的速度由男孩处奔向女孩, 又从女孩奔向男孩,如此往返直至回家中,问小狗奔波了多少路程? 若男孩和女孩上学时小狗也往 返奔波在他们之间,问当他们到达学校时小狗在何处? 解：(1)男孩和女孩到校所需时间是半小时，也即小狗奔波了半小时，故小狗共跑了3 公里。 (2)设 x(t)，y(t)，z(t)分别表示 t 时刻男孩、女孩、小狗距家的距离， （二）连续函数性质 B C A D M M M 1、某甲早8 时从山下旅店出发沿一条路径上山,下午 5 时到达

3、山顶并留宿。次日早8 时沿同一路 径下山 ,下午 5 时回到山下旅店。 某乙说 ,甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点.为什么 ? 第三章中值定理与导数应用 1、陈酒出售的最佳时机问题 某个酒厂有一批新酿的好酒，如果现在就出售，可得总收入R050 万元。如果窖藏起来待 来年（第 n 年）按陈酒价格出售， 第 n 年末可得总收入为R R0 8 3 2 n e万元，而银行利率为r0.05， 试在各种条件下讨论这批好酒的出售方案。 若银行利率开始为r0.05，第 5 年后降为 0.04，请给出最佳出售方案。 2、航空公司因业务需要，需要增加一架波音客机，如果购买需要一次支付6000 万美元现金

4、，客 机的使用寿命为15 年，如果租用一架客机，每年要支付600 万美元的租金，租金每年年末支付， 若银行年利率为8，请问购买客机与租用客机那种方案较佳？如果银行的年利率为5呢？ 2. 梯子长度问题 一楼房的后面是一个很大的花园。在花园中紧靠着楼房有一个温室, 温室伸入花园2m,高 3m,温室 正上方是楼房的窗台. 清洁工打扫窗台周围, 他得用梯子越过温室, 一头放在花园中, 一头靠在楼房的 墙上 . 因为温室是不能承受梯子压力的, 所以梯子太短是不行的. 现清洁工只有一架7m长的梯子 , 你 认为它能达到要求吗? 能满足要求的梯子的最小长度为多少? 解： function f=fun(x)

5、f=x+2*x/sqrt(x*x-3*3) %设温室以上的梯子长度为a，温室的长为x，高为 y，则梯子的长为a+y*a/sqrt(a*a-x*x). %min b=a+y*a/sqrt(a*a-x*x) x,fval=fminbnd(hui2,3,12); xmin=x fmin=fval 运行结果： f =Inf f =14.0656 xmin =3.9835 fmin =7.0235 3、普勒与酒桶问题 德国的开普勒是一位出色的天文学家，同时也是一位卓越的数学家。他于1965 年出版了葡 萄酒桶的立体几何一书。为什么取这样一个书名？据说开普勒把自己求许多图形的面积方法， 与成一本书，可苦于

6、找不到一个好的书名。有一天，他到酒店去喝酒，发现奥地利的葡萄酒桶， 和他家乡莱茵的葡萄酒桶不一样，他想奥地利的葡萄酒桶为什么要做成这样呢？高一点好不好？ 扁一点行不行？ 第五章、定积分 1、天然气产量的预测 工程师们已经开始从墨西哥的一个新井开采天然气，根据初步的试验和以往的经验，他们预 计天然气开采后的第t 个月的月产量的函数给出： t tetP 02.0 0849. 0)(百万立方米 ), 试估 计前 24 个月的总产量。 提示： 前 24 个月的总产量为 t t teP 02.0 24 1 0849.0 ，因为计算这个和式比较难，应 用定积分来估计它。令 t tetf 02.0 0849

7、. 0)( ,240t, 则 24 1 )( t tfP ，且0)02. 01 (0849.0)( 02.0 tetf t ，从而)(tf为递增函 数。 答案：4878.18P (百万立方米 ) 2、终身供应润滑油所需的数量 某制造公司在生产了一批超音速运输机之后停产了。但该公司承诺将为客户终身供应一种适于 改机型的特殊润滑油。一年后该批飞机的用油率（单位升/年）又下式给出： 2 3 300)(ttr其 中 t表示飞机服役的年数，该公司要一次性生产该批飞机一年后所需的润滑油并在需要时分发出 去，请问需要生产该润滑油多少升？ 提示 :)(tr是该批分级一年后的用油率，所以 n dttr 1 )(

8、等于第一年到第 n 年间该批飞机所需 的润滑油的数量，那么 1 )(dttr 就等于该批飞机终身所需的润滑油的数量。 答案： 600(L) 3、地球环带的面积 地球上平行于赤道的线称为纬线，两条纬线之间的区域叫环带。假定地球是球形的，试证任何 一个环带的面积都是kdS ,这里 k 是构成环带的两条纬线间的距离，d 是地球直径（约 13000 公里）。 如果地球是旋转椭球，则地球的任一环带面积又是怎样？ 4、高尔夫球座的体积 一个木制高尔夫球座大体上具有以)(xf与)(xg的图象为边界的区域绕OX 轴旋转一 周形成的立体。这里 52/9, 2/9 2/90,0 )( xx x xg ， 52/9

9、, 2/1 2/92/7, )(1 2/72/1,4/1 2/10,2/ )( 2 2 7 4 1 x xx x xx xf 问这个高尔夫球座的体积是多少？ 答案：)( 480 191 3 cm 5、转售机器的最佳时间 由于折旧等原因，某机器转售价格 )(tR 是时间 t(周)的减函数 96 4 3 )( t e A tR ，其中A 是机器的 最初价格。 在任何时间t，机器开动就能产生 48 4 t e A P 的利润。 问机器使用了多长时间后转售出 去能使总利润最大？这利润是多少？机器卖了多少钱？ 提示： 假设机器使用了x 周后出售，此时的售价是 96 4 3 )( x e A xR ，在这

10、段时间内机器创造的 利润是 x t dte A 0 48 4 。于是，问题就成了求总收入 96 4 3 )( x e A xf + x t dte A 0 48 4 ， ),0(x 的最大 值。 答案： 总利润P=11.01A, 机器卖了 128 3A 元。 6、人口统计模型 人口统计模型（1） ：某城市 1990 年的人口密度近似为 20 4 )( 2 r rP ， )(rP 表示距市中心 r 公里区域内的人口数，单位为每平方公里10 万人。试求距市中心2km 区域内的人口数。 人口统计模型（2） ：若人口密度近似为 r erP 2 .0 2.1)( 单位不变，试求距市中心2km 区域内的

11、人口数。 答案 ： （1） (十万 ), （2）(十万 ) 7、心脏输出量的测定 小王想成为一名长距离游泳的运动员，为此， 需要测定他的心脏每分钟输出的血量。使用的 方法为 “ 染色稀释法 ” ：程序是先向离心脏最近的静脉注入一定量的染色，于是染色将随血液进入 右心房、肺内血管、左心房、动脉，然后在动脉中定期取血样，并测量血样中染色的浓度，由于 的血液的稀释，染色的浓度随时间t 变化，从而可测得一个关于t 的函数C(t) (mg/L). 设注射的染 色的量为D，试求小王的心脏输出量R(L/min). 提示： 理解 “ 染色稀释法 ” 的原理，必须知道在小时间区间t,t+dt 内通过取样点的染色

12、量等于 浓度 C(t)*R*dt 。因为所有染色量最终要经过取样点，则染色总量应等于各小的时间区间内通过取 样点的染色量的和，由积分的定义知： 0 0 )( T dttRCD 0 0 )( T dttCR 其中T0是全部染色通过取样点的时间，则心脏输出量为： 0 0 )(/ T dttCDR 8、呼出或吸入空气的速率 当 你 呼 吸 时 ， 你 呼 出 或 吸 入 的 气 流 的 速 率V(t) ( 升 /秒 ) 可 用 一 个 正 弦 曲 线 来 描 述 ： ) 2 si n()(t T AtV,其中时间t(单位为秒 )从某次吸气开始计算起，A 是最大的气流速率，T 为一 次呼吸所需得的时间

13、。当正弦曲线的函数值为正值是，你正在吸气：反之，你正在呼气。在你呼 气的某时间段t1，,t2上，曲线 y=V(t) 与 t= t1,t= t2及 t 轴所围成的面积就是你在这个时间段吸入 空气的总量。 提示： 每次吸气所有时间为 2 T ,由 V(t) 的周期性，只需考虑0, 2 T 时间段上吸入的空气总量即 可。每次吸气时吸入的总量为 AT 升 答案： 每小时吸入空气的总量每次吸气时吸入的空气总量与1 小时内的呼吸次数之积 9、估计某医院在某时间内的就医人数 一家新的乡村精神医病诊所刚开张。对同类门诊的统计表明，总有一部分人第一次来过之后还要 来此治疗。如果现在有A 个病人第一次来此就诊，则

14、t 个月后，这些病人中)(tAf个病人还在此 治疗，这里 20 )( t etf，现设这个诊所最开始时接受了300 个人的治疗，并且计划从现在开始每 月接受 10 名新病人。试估算从现在开始15 个月后，在此诊所接受治疗的病人有多少？ 提示： 为了计算从现在开始的15 个月后内接受的病人在15 个月后还在此治疗的人数，将 15 个月的区间 15, 0t ,分为 n 个等距为t的小区间，令 j t表示第 j 个区间的左端点（ n j15 ） 。 既然每月要接受10 名新病人，于是在第j 个小区间内接受的新病人人数为t10 ，于是 )15(10 j tt病人将从 j t开始， j t15个月后还要

15、来此治疗。所以从现在开始15 个月后新接受 的病人还要在此治疗的人数总和为： n j j ttf 1 )15(10 答案： P247024 10、尿素的清除率答案： 肾的一个重要功能是清除血液中的尿素。临床上在尿量少时，为减少尿量变动对所测尿素清除率 的影响， 通常采用尿素标准清除率计算法，即 P VU C其中 U 表示尿中的尿素浓度，V 表示美 分析出的尿量，P 表示血液中的尿素浓度，正常人尿素标准清除率为54。某病人的实验室测量值 为 U=500,V=1.44,P=20, 则 C=30。若某一测量值的误差最大不超过1%，估计 C 的最大绝对值误差 和相对误差。 提示： 利用全微分方程 答案

16、 :C 的最大绝对值误差为0.75，最大相对误差为2.5%。 第八章多元函数微分法及其应用 1、最大利润问题 某公司在生产使用a,b 两种原料，已知a,b 两种原料分别使用x 单位和 y 单位可生产U 单位 的产品，这里并且第一种原料每单位的价格为10 美元，第二种的价格为4 美元，产品每单元的 售价为 40 美元，求该公司的最大利润。 提示： 多项式的极值，求驻点。 答案： 28189 美元。 2、如何购物最满意 日常生活中，人们常常碰到如何分配定量的钱来购买两种物品的问题。由于钱数固定，则如果 购买其中一种物品较多，那么势必要少买（甚至不在购买）另一种物品，这样就不可能很令人满 意。如何划分给定量的钱，才会得到最满意的效果呢？经济学家试图借助效用函数来解决这一问 题。所谓效用函数，就是描述人们同时购买两种产品各x 单位 y 单位时满意程度的量。常见的形 式有： UU(x,y)=x+y 或UU(x,y)=lnx+lny 等。而当效用函数达到最大值时，人们 购买分配的方案最佳。 例如：小孙由200 元钱，他决点该购买二种急需品