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1、钦州学院数学与计算机科学学院数 学 实 验 报 告专业 : 数学与应用数学班级姓名学号：实验完成日期 :2010 年 11 月 4 日，第十 周，星期四成绩等级 （五级分制）评阅教师评阅日期年月日数学实验报告填写要求：思路清晰，中间结果和最终结果真实；字迹工整，报告完整。 实验题目及内容 实验题目：求定积分baxxxf32 . 0)(2 的黎曼和实验内容：通过矩形法和梯形法求定积分的黎曼和。 问题描述 （用自己组织的相关数学语言重述现实问题；注意对约定的条件作说明）求定积分的黎曼和，可通过数学公式求原函数，再另取取值范围内两点来求和。矩形法和梯形法求定积分黎曼和是利用靠分割面积的方法来使得所求
2、面积逼近真实面积来求和。分割的模块越多越精细，所求的面积越靠近真实的面积。通过比较两种方法不同的分割值n 来确定哪种方法逼近真实面积的速度更快，从而选择速度快的一种方法来计算定积分的黎曼和。 模型建立或思路分析 （建立合理，可解释的数学模型，通过公式、表格或图形直观明确地描述模型的结构；无法通过建立模型解决的，给出解题的思路及办法。）1.要求定积分的黎曼和，首先要绘制出函数在坐标轴上的图，定义坐标， 将参数选项定义为十万分之一，新建函数并绘制函数图像。2.在x轴上取两点A、B，求出点A、B的横坐标Ax、Bx； 计算)(Axf和)(Bxf；以Ax为横坐标，以)(Axf为纵坐标，绘制出曲线)(xf
3、上的点C；以Bx为横坐标，以)(Bxf为纵坐标，绘制出曲线)(xf上的点D。作线段AC和BD。3.新建参数2n，计算1n、n1，以点A为中心，以 n1为标记比对点B进行缩放得象点B，求出点B的横坐标Bx，计算)(Bxf；以Bx为横坐标，以)(Bxf为纵坐标，绘制出曲线)(xf上的点E；作直线EB。4.过点C作EB的垂线j，并作j和EB的交点F，隐藏直线j和直线EB（暂不隐藏点F） ；作线段FB和CF，构建四边形FCBA内部，并由 nxxxfAB A)(计算四边形FCBA的面积。将C、F、E、D四点隐藏。5.新建参数0s，计算snxxxfAB A)(。6.在x轴上取点G，求出点G的横坐标Gx，以
4、Gx为横坐标，以s四边形ECBA的面积为纵坐标，绘制点H。依次选定参数2n、0s、点A、点G和1n，按下Shift 键，进行带参数迭代，初象分别为1n、snxxxfAB A)(、点B、点H。选择“完整迭代”；在【结构】 下拉菜单中选择“所有对象的象” ，不选 “生成迭代数据表” 。选定迭代象点，点击【变换】菜单中的【终点】，得迭代象点的终点I。求出点I的纵坐标Iy，Iy的值就是n个小长方形面积的和（即黎曼和）。7.新建函数，计算出)()(ABxgxg的值，这个值就是dxxfba)(的值。8.以上步骤是矩形法求定积分的黎曼和，至于梯形法求黎曼和的步骤与矩形法的步骤差不多，只要改变构建四边形FCB
5、A内部，把四边形改为提醒内部，把计算四边形内部面积公式改为求梯形面积公式，同时也把迭代初象改为，其他步骤不变即可得出得迭代象点的终点 I, Iy的值就是n个小长方形面积的和（即黎曼和）。 实验结果 （通过数学表达式、列表或图形图像的方式显示实验结果。）1.通过矩形法所得的模型为：2.通过梯形法所得的模型为： 结果分析及结论（对实验结果进行定量分析、合理性分析或误差分析；对所讨论的问题重新认识或提出相关类似问题的拓延；给出自己的意见和合理建议。）两个模型的阴影部分都是当n取值为 2所得，从图形可以看出不管是矩形法还是梯形法所截的面积与真实的面积的误差都比较大，无法比较到底是通过哪种方法构建黎曼和
6、其逼近定积分的速度会快些。当n取值较小时两种方法构建的面积都有误差而且很大，但改变 n的值使之趋于无穷则可以提高黎曼和的准确性。 求解方法或解题步骤 （针对所建模型或解题思路，给出具体的求解方法或解题步骤。对通过编程解决的问题，画出流程图，给出细节部分的算法，给出相关软件的代码；其他方法解决的，给出详细的解题步骤。）对矩形法和梯形法的的图的x 轴各取两个点作为取值范围，分别对函数在所取范围内积分，即)()(ABxgxg的值，再分别改变两种方法中的n 值，比较矩形法和梯形法的逼近定积分的速度。1.对矩形法分析，取不同的的 n值，得出的数据显示如下：n=2，Iy=17.22098；n=10 ，Iy=21.64109 ； n=50 ，Iy=22.18361 ； n=200 ，Iy=22.27266 。)()(ABxgxg=22.30145。2.对梯形法分析，取不同的n值，得出的数据显示如下：n=2，Iy=19.16119；n=10 ，Iy=20.82660 ； n=50 ，Iy=20.89321 ； n=200 ，Iy=20.89582 。)()(ABxgxg=20.89599。通过对 n值的改变的比较可以看出，梯形法逼近黎曼和的速度比矩形法逼近黎曼和的速度快。
