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1、降落伞的选购模型摘要本模型研究的是降落伞的选购方案问题，目的是在满足空投要求的条件下， 使费用最少。 为了方便对降落伞进行受力分析，我们把降落伞和其负载的物资看 做一个整体， 忽略了伞和绳子的质量， 并假设降落伞只受到竖直方向上空气阻力 和重力的作用。通过对降落伞在空中的受力情况的分析建立起了高度与时间的方 程， 然后以高度与时间的方程作为拟合曲线与题中给出的时间与高度的数据进行 拟合，得出阻力系数 k 的值。我们建立了速度与质量的方程，并证明其为严格增 函数 （证明过程见建模与求解） 。 由于题中已限制降落伞的最大落地速度为20m/s， 所以当速度为 20m/s 时，伞的承载量最大。建立高度
2、与时间，速度与时间的方程 组，代入最大速度20m/s，高度 500m,伞的半径（题中已给出可能选购的每种伞 的半径） ，分别计算出每种伞的最大承载量。最后运用LINGO 软件进行线性规 划求解得： x1=0,x2=0,x3=6,x4=0,x5=0.即购买半径为 3m 的降落伞 6 个时总费用 最少为 4932 元。关键字：线性规划、空气阻力系数、拟合一、问题的重述为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞。已知空投高度为 500m ，要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s。降落伞面为半径r 的半球面， 用每根长 L, 共 16 根绳索连接的载重m的物体位于球心正下方球面处，每个降
3、落伞的价格由三部分组成。伞面费用C1由伞的半径 r 决定，见表 1；绳索费用 C2由绳索总长度及单价4 元/ 米决定；固定费用C3为 200 元。表 1 r（m ）2 2.5 3 3.5 4 费用（元）65 170 350 660 1000 降落伞在降落过程中受到重力作用外还受到的空气阻力，可以认为与降落速 度和伞的受力面积的乘积成正比。 为了确定阻力系数， 用半径 r=3m、 载重 m=300kg 的降落伞从 500m高度作降落试验，测得各时刻的高度，见表 2。表 2 时刻 t （s）0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 高度 h（m ）500 470 425 372 3
4、17 264 215 160 108 55 1 试根据以上条件确定降落伞的选购方案，即共需多少个， 每个伞的半径多大 （在表 1 中选择） ，在满足空投要求的条件下，使费用最低。二、模型的假设1、假设空投物资的瞬时伞已打开。 2、空投物资的总数2000kg可以任意分割。 3、空气的阻力系数与除空气外的其它因素无关。 4、降落伞和绳的质量可以忽略不计。 5、假设降落伞只受到竖直方向上的空气阻力作用。三、符号说明1、m 降落伞的负载重量 2、g 重力加速度 3、a 降落伞的加速度 4、k 空气的阻力系数 5、S 降落伞的伞面面积 6、v 降落伞的速度 7、H 降落伞的位移 8、h 降落伞离地高度
5、9、x1,x2,x3,x4,x5 分别为每种伞的个数四、问题的分析由题意可知每个伞的价格由三部分组成：三面费用C1、绳索费用 C2、固定 费用 C3。伞面费用由伞的半径r 决定；绳索费用 C2由绳索的长度及单价决定，由图一可知绳索的长度又由降落伞的半径决定即rL2； 固定费用为定值 200。因为题中已给出每种伞面的半径， 所以每种伞的价格为定值。 要想确定选购方案， 即共需半径 （在题中给出的半径中选择）为多大的伞的数量， 在满足空投物资要 求的条件下使总费用最少。 因此，我们需要确定每种伞的最大承载量。然后进行 线性规划，确定总费用和每种伞的个数。 要确定最大载重量，我们需对降落伞进行受力分
6、析（如图二）。降落伞在降 落过程中除受到竖直向下的重力作用外还受到竖直向上的空气阻力的作用，而由 题可知空气阻力又与阻力系数、运动速度、 伞的受力面积有关。 运动速度和受力 面积是已知的， 所以要想确定每种伞的最大承载量，就必须先要确定空气的阻力 系数。图一图二 对图二的分析可知降落伞的运动状态是做加速度趋近于0 的加速运动。因 此，我们可以建立一个位移与时间的函数关系式，在根据题中所给的数据拟合出 阻力系数 k 的值。然后再建立一个速度与时间的函数关系式，两个关系式联立求 解出最大载重量（其中高度和速度由题目已经给出）。最后用LINGO 软件进行 线性规划算出问题要的结果。五、建模与求解（1
7、）首先确定阻力系数K 为了方便对物资进行受力分析，我们把降落伞和物资看作一个整体如图二。 由假设 5 可知物体 A只受到竖直向上的空气阻力和竖直向下的重力作用。又由题 可知空气阻力与降落速度v 和伞的受力面积S 的乘积成正比。则物体A 在竖直 方向上受到的合外力为：kSvmgF合由运动学方程：maF合得mkSvmgmF a合由物体位移 H和时间的二次微分等于加速度建立方程得: mkSvmgtdHd22用 MATLAB 解微分方程得： ( 程序见附录【 1】) 222222)( SkgmkSmgte SkgmtHt mkS则222222500)( SkgmkSmgte Skgmtht mkS题目
8、已经给t-h 数据为：时刻 t （s）0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 高度 h（m ）500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1 对给定的数据以)(th为拟合函数进行拟合， r=3m,m=300kg,g=9.8,22rS, 得出k=2.9377 。 （程序见附录【 2】 ） （2）求解最大承载量 用速度对时间的微分等于加速度，且v0=0建立方程组得：mkSvmgdtdv00v用 MATLAB 解得(程序见附录【 3】) kSgmekSgmtvmkSt)(由前面的)(tH和)(tv函数建立方程组得：hHrSskgme skgmksm
9、gttHe ksmgksmgtvmkstmkst5002)()(2222222k=2.9377,g=9.8,r=2 2.5 3 3.5 4 因为降落伞在下落过程中其质量是不变的，所以我们把)(tv关系式中 t 看做一个定值，则关于 m的方程为kSgmekSgmmvmkSt)(从上式我们可以知道)( mv是关于 m的单调递增函数（证明见附件【7】），并 且如 果存 在平 衡 状 态 则 必须 满足kvsmg， 那么 ksmgv而 又 通 过对mkste ksmgksmgtv)(分析，只有在 ksmgtvt)(时，才有，这与实际矛盾，故降落伞是一直做加速度减小的加速运动，不存在平衡状态。 因此，求
10、最大载重量取伞在下降到地面的瞬间达到最大速度smtv/20)(, 此时500)(tH， 由方程组调用 MATLAB 分别解得半径为 r 的降落伞在满足空投条件下的最大载重量)(rM如下表：（程序见附录【5】）r（m ）2 2.5 3 3.5 4 最大承载 （kg）150.6787 235.4355 339.0272 461.4536 602.7150 取整(kg) 150 235 339 461 602 （3）线性规划求解数量和费用 由分析可知每种伞的单价：321CCCC由题可知1C为: r （m ）2 2.5 3 3.5 4 费用（元）65 170 350 660 1000 2C为：4216
11、2rC3C为固定值即：2003C由以上数据求得每种伞的单价见下表：r（m ）2 2.5 3 3.5 4 单价 C 446 596.3 821.5 1176.8 1562 取整446 596 822 1177 1562 我们设每种伞分别取x1,x2,x3,x4,x5个, 则其目标函数为：z=446x1+596x2+822x3+1177x4+1562x5对其进行优化求解z 的最小值，就是所需的最小费用。 由分析可知其限制条件如 下：s.t. 150x1+235x2+339x3+461x4+602x5=2000; (x1，x2，x3，x4，x5)N; 用LINGO 求解得（程序见附件【 6】 ） x
12、1=0,x2=0,x3=6,x4=0,x5=0。 最少总费用为 4932元。六、模型的评价与改进优点： 1、本模型的求解过程大量的运用了电脑软件，使得计算更加精确。 缺点： 1、本模型未考虑降落伞打开的时间， 将其假设成在下降时伞就已经打开。 2、由于在实际生活中降落伞还受到风向的影响，本模型假设的是理想的 状态下（无风）改进：由于本模型假设的是在物资抛落的瞬时伞已打开，而在实际情况中物资抛 落后应有一段自由落体运动。 在模型的改进时应考虑到这一点，以便让模型更切 合实际。七、参考文献1、数学实验萧树铁主编高等教育出版社 1999 7 1 附录【 1】求解位移的程序H=dsolve(m*D2H
13、+k*S*DH=m*g,H(0)=0,DH(0)=0,t) 解得： g/k2/S2*m2*exp(-k*S/m*t)+g/k/S*m*t-1/k2/S2*m2*g 附录【 2】拟合 k 程序建立一个名为 myfun 的 m文件function F=myfun(x,xdata) s=2*pi*32; m=300; g=9.8; F=500-m2*g/(x(1)2*s2)*exp(-x(1)*s*xdata/m)-m*g*xdata/(x(1)*s)+m2*g/(x(1)2*s2); 在 matlab command window 中输入下列命令： xdata=0 3 6 9 12 15 18 2
14、1 24 27 30; ydata=500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1 ; x0=1; x=lsqcurvefit(myfun,x0,xdata,ydata) 附录【 3】求解速度程序v=dsolve(m*Dv+k*S*v-m*g=0,v(0)=0,t) 解得：t mkSe kSgmkSgmtv)(附录【 4】在 v-t,m 函数中对 m求二阶导数syms m t g S k f=g*m/(k*S)-g*m/(k*S)*exp(-k*S*t/m); diff(f,m 2) 求得： -g/m3*t2*k*s*exp(-k*s/m*t) 附录【 5】求
15、最大载重量在 matlab 中建立一个名为 myfun 的 m文件，如下： function F=myfun(x) r=2.5; g=9.8;k=2.9377; s=2*pi*r2; F=x(1)2*g/(k2*s2)*exp(-k*s*x(2)/x(1)+x(1)*g*x(2)/(k*s)-x(1)2*g/ (k2*s2)-500; g*x(1)/(k*s)-g*x(1)/(k*s)*exp(-k*s*x(2)/x(1)-20; 在 matlab 中 command window中输入以下命令：x0 = 1; 1; % 初始点 options=optimset(Display,iter);
16、% 显示输出信息 x = fsolve(myfun,x0,options) 在 m文件中更改 r 的值， 然后在命令窗口重复输入以上命令就可分别求出不同半 径的降落伞的最大载重量。 分别求解可得最大载重量如下表： r（m ）2 2.5 3 3.5 4 m 150.6787 235.4355 339.0272 461.4536 602.7150 附录【 6】优化求解min=446*x1+596*x2+822*x3+1177*x4+1562*x5; 150*x1+235*x2+339*x3+461*x4+602*x5=2000; x1=0; x2=0; x3=0; x4=0; x5=0; gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(x5); 求解得： Global optimal solution found. Objective value:
