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1、降落伞的选择摘要：空投物资是一项重要而比较关键性的任务，在用降落伞向灾区空投物资时我们需要考虑到各个方面， 例如：降落伞的种类、 空投时所需要的的高度、 降落到目的地时的速度和每次空投时的费用等问题。本文是关于选购降落伞方案的优化问题。首先我们根据对题目的分析建立优化的目标函数。其次，找出约束条件。然后通过对问题的分析， 运用物理学和数学中的微积分方法找出各个关系量之间的关系，如伞在降落过程中的速度与时间的关系、下落高度h与时间 t 的关系、m 与 v 的关系、以及速度、 加速度与路程的微积分关系。从而确定物体的先加速后匀速的运动状态， 根据题目给出的有关数据运用线性最小二乘法，拟合得出空气的
2、阻力系数。再根据降落伞在任意时刻的速度是关于载重质量的严格增函数及在接近地面处达到20 米每秒的最大允许速度，求出每种半径的降落伞的最大承受质量以及其单价。 最后在满足约束条件和空投要求的条件下，运用数学中的线性规则的方法来建立整数规划的数学模型并利用Lindo 软件求解目标函数。关键字： 空气阻力系数最大载重量线性整数规划一、问题重述为向灾区空投一批救灾物资，共2000kg，需选购一些降落伞， 已知空投高度为500m ，要求降落伞落地时的速度不能超过20米每秒，降落伞的伞面为半径为r的半球面，用每根长 L共16根绳索连接的重 m 位于球心正下方球面处，如下图：每个降落伞的价格由三部分组成。伞
3、面费用1C由伞的半径 r 决定，见下表；绳索费用2C由绳索总长度及单价 4元/ 米决定，固定费用3C为200元。r 2 2.5 3 3.5 4 C1 65 170 350 660 1000 降落伞在降落过程中除受到重力外，受到空气的阻力，可以认为与降落的速度和伞的面积的乘积成正比。 为了确定阻力系数， 用的半径3rm， 载重300mkg的降落伞从500 m高度作降落试验，测得各个时刻的高度x，见下表。t(s) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 x(m) 500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1 试确定降落伞的选购方案，即共需多少个
4、伞，每个伞的半径多大( 在给定的半径的伞中选 )，在满足空投要求的条件下，使费用最低。二、问题分析：问题要求使总费用C最小，由于受 C1 、C2 、C3的影响，其中 C3固定， C1 、C2均受伞的半径 r 的影响，同时降落伞要受下降空气阻力和个数n 的影响，我们考虑这些影响因素。(1) 首先我们确定 C1、C2 ：C1可以由题目中的表1 得出； C2 根据半径 r 求出。(2) 其次确定阻力系数K和降落伞的重大载重量我 们 运 用 运 动 学 中 的 牛 顿 第 二 定 律 得 出Fmgf阻合，利用数学中有关微积分知识从数学的角度求解出降落伞在下落的过程中： 速度与时间的关系、下落高度与时间
5、的关系、下降过程中m与 v 的关系。在求解出下落高度与时间的关系后，运用题目中表2 的数据利用 Matlab 软件拟合出 K。在求解出速度与时间的关系过程中，我们可以根据Fm gf阻合（其中fk v s阻） ，分析出得出降落伞在降落过程中的运动状态：刚开始运动时，降落伞速度 v 增加，则阻力增大，那么加速度a 减小，但仍做加速度运动，即速度v在不断增大； 在某个时刻， 会有mgf阻，此时加速度 a=0, 之后降落伞就做匀速直线运动。可以得知在做匀速运动时的速度大小（且20mvs） ，从而求出空气阻力系数 K。在 g、K、r 已知的情况下我们可以知道载重量只与降落伞的速度有关系，在求解出下降过程
6、中m与 v 的关系时我们看是否可以进一步证明这种关系。我们假设其它几种降落伞也符合上述的运动规律，求得各种降落伞在速度达到 20m/s 时的时间和加速阶段下降的高度，然后观察 v 是否是随时间先成递增最后变成一定值和加速阶段下降的高度是否小于500m去验证假设。如果假设成立则可以由求得每种降落伞单个的最大载重量。(3)确定各种降落伞的个数n 和总费用 C 最后我们可以把求得的值代入找到的目标函数，在约束条件下利用Lindo的软件求解线性整数规划, 得出问题所要的结果。三、基本假设：（1）救灾物资 2000kg 可以任意分割；（2）降落伞落地时的速度不超过20 米每秒；（3）降落伞以及绳索的质量
7、是可以忽略的；（4）伞在降落过程中，只受到重力和一个可以认为是非重力因素共同作用的合力的空气阻力的作用；（5）空气阻力的阻力系数k 是定值，且与其他因素无关；（6）环境对降落伞的下降无影响。四、符号说明：M （r ）表示半径为 r 伞在满足空投的条件最大的载重量K 空气阻力系数t 降落伞从开始下降开始计时的时间H(t) 降落从降落位置到 t 时刻所下降的距离m 降落伞负重质量g 重力加速度s 降落伞伞面面积rn选购的半径为 r 的降落伞的个数五、模型的建立及求解（一）确定空气阻力系数k. 根据题意，降落伞在下降过程中受到重力和空气阻力的作用，而且初速度为0. ( )(0)0dVtkvsg dt
8、mV（）解得，.( )ksmm gm g eVt ksks（）设降落伞从降落位置到t时刻所下降的距离为( )Ht，则有0( )( )t H tV t dt（）积分求得222222( ).kstmmgtm gm gHte ksk sk s（）对给定的r=3米，m=300kg，取g=9.82m s，s=22r，有数据t(s) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 x(m) 500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1 处理，得：t(s) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 H(m) 0 30 75 128 183 236
9、 285 340 392 445 499 作出() ()Hmt s的关系图：从图中可以看出() ()Hmt s在后阶段基本是线性关系，即降落伞是作匀速运动。故可得v17ms，由mgkvs，估算出k3.0583 另一方面，由.( )kstmmgmg eVt ksks代入r=3 米，m=300kg，取g=9.82m s，s=22r，k=2.9 ，作出图二，从中可以看出( )Vt一开始的增长是较快的， 但由于负项是成负指数衰减的，所以很快就接近极限值mgks至此，在 9 秒以后是近似匀速运动是可以肯定的了。下面就 9 秒以后的数据运用最小二乘法进行拟合。设( )HtVtb，其中符合正态分布输入：X=
10、 9 12 15 18 21 24 27 30 H= 128 183 236 285 340 392 445 499 调用 MATLAB 命令 p=ployfit(X,H,1) p= 17.5794 -29.2976；所以，v=17.5794（m s） ，故空气阻力系数 K=2.9575 （二）取半径为 r 的降落伞在满足空投的条件最大的载重量M（r） 。由ksemgksmgmVmkst)(知：V(m)是关于 m的增函数。特别的，在给定从 500米的高空空投时， 降落伞在落 地瞬 间的 速度 在给 定g、s、 K， 又 有 等式 约 束500)(tH， 即 ：222222500kstmm gt
11、mgmge ksksks的情况下 V(m)是关于 m的增函数。 反之，其反函数 m （v）也是关于 V的增函数。所以，要求取半径为r 伞在满足空投的条件最大的载重量M （r ） 。就是要在 v 去最大值时取得。即取v=20m/s，求出制定半径的M （r） 。即由以下方程组确定：222222( ) ()( )kstmkstmm gm geVt ksksVm gtmgmgHte ksksks由方程组导出：)(/1ln222VI ksmvsk mgksvgmH如前所述，取 H（t）=500，smv20得到方程：) (50020/201ln222VI ksmsk mgksgm代入参数 g=9.8,k=
12、2.9575. )(500 9575.2209575.2/ 8.99575.2201ln8.9222VII sms msm由22rs，分别代入 r=2，r=2.5，r=3，r=3.5，r=4. 调用 Matlab 的命令 solve分别解得半径为r伞在满足空投的条件最大的载重量M（r）如下：M（2）kg M（2.5）kg M（3）kg M（3.5）kg M（4）kg 151.6947 237.0229 341.3130 464.5649 606.7787 （取整） 152 237 341 465 607 （三）计算每种伞的单价如下：单位（元）半径 r 2 2.5 3 3.5 4 C1 65 1
13、70 350 660 1000 C2 181.0193 226.2742 271.5290 316.7838 362.0387 C3 200 200 200 200 200 C 446.0193 596.2742 821.5290 1176.7838 1562.0387 C(取整) 446 596 822 1177 1562 （四）求最优解现在每种伞的单价和最大载重量()Mr都已经求得，原问题就成了如下一个线性整数规划的问题。设rn为选购的半径为 r 的降落伞的个数，则有22.533.54min44659682211771562nnnnn22.533.542 ,2.5 ,3,3.5 ,4152
14、2373414656072000nnnnnn nn nn 为 非 负 整 数（）运用 Lindo 软件求解输入： min 22.533.5444659682211771562nnnnnsubject to 22.533.541522373414656072000nnnnnend gin 5 结果：22.533.540,0,6,0,0nnnnn故目标函数 C=C1+C2+C3 =822*6=4932 （元）六、模型的检验及推广检验：在求解空气阻力系数k 时，我们分析数据得出在运动后期降落伞作近似的匀速运动，并以此为前提对数据进行拟合求出了k 下面在问题已经解决后， 运用获得的数据对降落伞的运动情
15、况进行检验。如下表：r 2 2.5 3 3.5 4 M（r）151.6947 237.0229 341.3130 464.5649 606.7787 2S2r25.1327 39.2699 56.5487 76.9690 100.5310 M S6.035740 6.035739 6.035739 6.035739 6.035739 可以看出M S几乎是常数，又有mgf阻=kvs是降落伞后期运动为匀速运动的充分必要条件，即mkv sg为常数，而看 k，g为常数，所以降落伞在运动后期作近似匀速运动。 因此，在求空气阻力系数k 时假设后期运动为近似匀速运动是合理的。推广： （1）由图二可以看出降落
16、伞加速过程很快就结束，并且变化幅度很大， 对给定的伞和给定的承载质量很快就进入接近匀速运动，而且速度与空投高度物基本无关，所以空投高度并不十分重要，只要能保证空投位置准确， 高一些投放也是可以的，这样可以降低空投难度。（2）题目中给的是 2000kg 的救灾物资， 如果数据有所变动， 只需将（）式的第一个约束条件不等号右边的数据做相应的调整。然后在运用Lindo 软件，求解线性整数规划 , 得出问题所要的结果。参考文献：1萧树铁主编，数学实验，高等教育出版社，1999.6 2解可新 韩立兴 林友联，最优化方法，天津大学出版社，1997.1 3同济大学数学研究室，高等数学（下册），第四版，高等教育出版社，1996.12 4张智星 Matlab 程序设计与应用，清华大学出版社，2002.4
