条件概率及全概率公式

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1、条件概率及全概率公式,在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.,一、条件概率,1. 条件概率的概念,如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).,一般 P(A|B) P(A),P(A )=1/6，,例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出2点，,B=掷出偶数点，,P(A|B)=？,已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，,于是P(A|B)= 1/3.,B中共有3个元素，它们的出现是等可能的，其中只有1个在集A中，,容易看到,P(A|B),P(A )=3/10，,又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.

2、 现从这10件中任取一件，记,B=取到正品,A=取到一等品，,P(A|B),P(A )=3/10，,B=取到正品,P(A|B)=3/7,本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.,A=取到一等品，,计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件.,这好象给了我们一个“信息”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.,若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B已发生, 故B变成了新的样本空间 , 于是 有(1).,设A、B是两个事件，且P(B)0,则称(1),

3、2. 条件概率的定义,为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.,3. 条件概率的性质(自行验证),设B是一事件，且P(B)0,则,1. 对任一事件A，0P(A|B)1;,2. P ( | B) =1 ；,而且，前面对概率所证明的一些重要性质 都适用于条件概率.,2)从加入条件后可用缩减样本空间法,4. 条件概率的计算,1) 用定义计算:,P(B)0,P(A|B）=,B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数,在缩减样本空间 中A所含样本点 个数,例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?,解法1:,解法2:,解: 设A=掷出点数之和不小于10 B=第一

4、颗掷出6点,应用定义,在B发生后的 缩减样本空间 中计算,例2 设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4。如果现在有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？,解 设A表示“能活到20岁以上”， B表示“能活到25岁以上”。,则,由已知,从而所求的概率为,条件概率与无条件概率 之间的大小无确定关系,若,一般地,二、乘法公式,由条件概率的定义：,定理1.1若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2),若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).,若P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (3),(2)和(3)式都

5、称为乘法公式,利用 它们可计算两个事件同时发生的概率,多个事件的乘法公式,则有,这就是n个事件的乘法公式,例1 在100件产品中有5件是次品，从中连续无放回地抽取3次，问第三次才取得次品的概率。,解：设A表示“第i次取得次品”(i=1,2,3),B表示“第三次才取到次品”，则,例2 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止求取了n次都未取出黑球的概率 解：,则,由乘法公式，我们有,返回主目录,乘法公式应用举例,乘法公式应用举例,一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具

6、有相同颜色的球. 这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.,（波里亚罐子模型）,于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球. ”,随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.,解: 设Wi=第i次取出是白球, i=1,2,3,4,Rj=第j次取出是红球， j=1,2,3,4,用乘法公式容易求出,当 c0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.,=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3

7、),P(W1W2R3R4),全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.,综合运用,加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互斥,乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)0,三、全概率公式和贝叶斯公式,例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.,解：记 Ai=球取自i号箱,i=1,2,3; B =取得红球,即 B= A1B+A2B+A3B， 且 A1B、A2B、A3B两两互斥,B发生总是伴随着

8、A1，A2，A3 之一同时发生，,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),运用加法公式得,1,2,3,将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.,对求和中的每一项 运用乘法公式得,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),代入数据计算得：P(B)=8/15,1.全概率公式:,A1,A2,An,.,BA1,BA2,.,BAn,定义1.6 设 为试验 E 的样本空间，为 E 的一组事件。若满足(1)(2) 则称 为样本空间 的一个划分。,1.全概率公式:,则,设A1,A2,An是两两互斥的事件，且P(Ai)0， i =1,2,n, 另有一事件

9、B, 它总是与A1, A2, ,An之一同时发生，即 ，,定理1.2,全概率公式的证明,由条件：,得,而且由,A1,A2,An,.,BA1,BA2,.,BAn,所以由概率的可列可加性，得,代入公式（1），得,返回主目录,全概率公式的使用,我们把事件B看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,则我们可用全概率公式计算结果发生的概率,返回主目录,例1 有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的.其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占20%,甲厂产品中正品率为95%,乙厂产品正品率为90%,丙厂产品正品率为85%,如果从这批产品中随机抽

10、取一件,试计算该产品是正品的概率多大?,解 设A、B、C分别表示抽得产品是甲厂、乙厂、丙厂生产的，D 表示抽得产品为正品，,则由已知，,从而任取一件产品为正品的概率可由全概率公式得到：,例2 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率 解：,由全概率公式，有,例3 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7 .飞 机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,

11、若三人都击中,飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.,设B=飞机被击落Ai=飞机被i人击中, i=1,2,3,由全概率公式P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3),则 B=A1B+A2B+A3B,求解如下:,可求得:,为求P(Ai ) , 设 Hi=飞机被第i人击中, i=1,2,3,将数据代入计算得: P(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14.,于是 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B |A3),=0.458,=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1,例4

12、 要验收一批 ( 100 件) 乐器。验收方案如下：自该批乐器中随机地抽取 3 件测试 ( 设 3 件乐器的测试是相互独立的），如果至少有一件被测试为音色不纯，则拒绝接受这批乐器。设一件音色不纯的乐器被测试纯的概率为 0.95，而一件音色纯的乐器被误测为不纯的概率为 0.01。如果这件乐器中恰有 4 件是音色不纯的，问这批乐器被接受的概率是多少？,纯、纯、纯,纯、纯 、纯 接受,p,p,p,不纯、 纯、 纯,q,纯、 纯 、纯 接受,p,p,H1：,H0：,H2：,p =1-0.01=0.99, q =1-0.95=0.05,解：以 Hi ( i=0,1,2,3 )表示事件“随机取出的 3 件

13、乐器中恰有 i 件音色不纯”，以 A 表示事件“这批乐器被接受”，即 3 件都被测试为音色纯的乐器。由测试的相互独立性得 ：,不纯、 纯、 不纯,q,纯、 纯 、纯 接受,p,q,不纯、不纯、 不纯,q,纯、 纯 、纯 接受,q,q,H3：,返回主目录,p=1-0.01=0.99, q=1-0.95=0.05,纯、纯 、纯,纯、纯 、纯 接受,不纯、纯 、纯,纯、纯 、纯 接受,不纯、纯 、不纯,纯、纯 、纯 接受,都 不 纯,纯、纯 、纯 接受,H0 H1 H2 H3,p,p,p,q,q,q,q,q,q,p,p,p,另外，,该球取自哪号箱的可能性最大?,这一类问题在实际中更为常见，它所求的是

14、条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.,某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.,或者问:,实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因”,有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率 .,1,1红4白,某人从任一箱中任意摸出 一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.,记 Ai=球取自i号箱, i=1,2,3; B =取得红球,求P(A1|B).,运用全概率公式 计算P(B),将这里得到的公式一般化，就得到,贝

15、叶斯公式,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.,2.贝叶斯公式：,设A1,A2,An是两两互斥的事件，且P(Ai)0，i=1,2,n, 另有一事件B，它总是与A1,A2,An 之一同时发生，则,Bayes公式的使用,我们把事件B看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用Bayes公式,例5 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应。由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为2:3:5，混合在一起。,（1）从中任取一件，求此产品为正品的概率；,（2）现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？,由已知,