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1、实验课题名称：常微分方程数值解法专业班级：信息1401学号： 2014212040114姓名：徐星卉一、实验目的及要求：1.掌握求解常微分方程初值问题的欧拉方法、改进的欧拉方法、梯形法；2.了解龙格 - 库塔方法和线性多部法等常微分方程初值问题的求解方法。二、实验仪器：装有 windows 的电脑一台三、实验内容：1.模型建立食饵 ( 食用鱼 ) 和捕食者 ( 鲨鱼 ) 在时刻 t 的数量分别记作x ( t), y( t),因为大海中资源丰富, 假设当食饵独立生存时以指数规律增长 ,( 相对 ) 增长率为 r, 即x(t)= rx(t),而捕食者的存在使食饵的增长率减小, 设减小的程度与捕食者
2、数量成正比 , 于是 x( t)满足方程x( t) = x( r - ay) = rx - axy (1) 比例系数 a 反映捕食者掠取食饵的能力. 捕食者离开食饵无法生存, 设它独自存在时死亡率为d, 即y = -dy,而食饵的存在为捕食者提供了食物, 相当于使捕食者的死亡率降低 , 且促使其增长 . 设这种作用与食饵数量成正比, 于是 y( t)满足y(t) = y( - d + bx) = - dy + bxy (2) 比例系数 b 反映食饵对捕食者的供养能力. 2. 模型分析方程 (1),(2)没有解析解 , 我们分两步对这个模型所描述的现象进行分析 . 首先 , 利用数学软件求微分方
3、程的数值解, 通过对数值结果和图形的观察 , 猜测它的解析解的构造; 然后 , 从理论上研究其平衡点及相轨线的形状 , 验证前面的猜测 . 3. 模型求解数值解 : 记食饵和捕食者的初始数量分别为x(0) = x0 , y(0) = y0 (3) 为求微分方程 (1),(2)及初始条件 (3) 的数值解 x( t), y( t) ( 并作图 ) 及相轨线y( x),设 r = 1, d = 0. 5, a = 0. 1, b = 0. 02, x0 = 25, y0 = 2,用 M A T L A B 软件求解如下：M文件: function xdot=sheir(t,x) r=1;d=0.5
4、;a=0.1;b=0.02; xdot=(r-a*x(2).*x(1);(-d+b*x(1).*x(2); ts=0:0.1:15 x0=25,2 t,x=ode45(shier,ts,x0);t,x plot (t,x),grid,gtext(x(t),gtext(y(t), pause plot(x(:,1),x(:,2),grid, 4. 结果分析x( t), y( t) 是周期函数 , 与此相应地 , 相轨线 y( x) 是封闭曲线 ,从数值解近似地定出周期为10. 7, x 的最大、最小值分别为 99.3 和2.0, y 的最大最小值分别为28. 4 和2. 0, 并且用数值积分容易算出 x( t), y( t)在一个周期的平均值为x = 25, y =10。物理分析：当食饵数量居于高位时，捕食者数量必然增加，导致食饵数量逐步减少。 由于捕食者获取食物来源减少，其数量随之减少。当捕食者数量在低位徘徊时，为食饵繁殖创造了条件，其数量随之增加，从而又带动捕食者数量增加。如此循环，生物圈呈现着周期性变化。实验小结：通过本节实验，了解并掌握了沃尔泰拉模型的实验计算方法。
