银行还款方式的数学模型

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1、银行还贷方式的数学模型摘要当今，社会上好多人买房后让房贷压得喘不过气来. 想着早上起来就要欠人 家银行 100 块， 不但降低了物质生活的标准， 而且精神上也是蒙受着巨大的压力. 但是，银行还贷方式多种多样， 如何根据自己的实际情况， 选择合适的贷款还款 方式就显得越来越重要了. 本文就“等额本息还款”和“等本不等息还款”两种 经典的还款方式，建立数学模型进行了分析和比较. 在问题 1 中，我们分别建立了关于对应还款方式的数学模型，从模型中我们得出“等额本息还款”方式中，每月需还银行固定数额. 1)1 ()1(mmAX总共需向银行还款为. 1)1()1(mmmAP在图 1 中，可以看出 P为关

2、于月份 m的一次递增函数. 另一方面“等本不等息还款”方式，其向银行还款时逐月递减的，第k个月需向银行还款：),.,2,1(; n1nkBknnB，在图 2 中我们可以了解其大体还款趋势 . 在图 3 中， 则把两种还款方式的逐月累计向银行还款数目作了比较， 容易看出：“等本不等息还款”还款总数是要少于“等额本息还款”方式的. 在问题 2 中，我们根据实际生活中可能出现工作不稳定的情况，自行设计了 一种还款方式，引进了“向量因子” ，使这种还款方式更具灵活性. 关键字 ：银行贷款还款方式向量因子利率一、问题重述与分析银行目前有等额本息还款法和等本不等息递减还款法两种还款方式，且一般 推荐提供等

3、额本息还款法有人认为一笔20 万元、20年的房贷，两种还款方式 的差额有 1 万多元，认为银行在隐瞒信息， 赚消费者的钱所谓等额本息还款法， 即每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清； 而等本不等息递减还款 法（简称等额本金还款法） ，即每月偿还贷款本金相同，而利息随本金的减少而 逐月递减，直至期满还清 问题 1：我们对已给的两种还款方式进行建模分析，从每月还款数目和逐月 累计向银行还款数目两方面进行了求解并进行了比较，最终给出了两种还款方式 的实际向银行还款数目 . 说明这两种还款方式最终累计还款数额是存在差异的. 问题 2：针对房贷还款问题，我们再自行设计了一种还款方案，并建立模型

4、 进行了分析 . 根据不同的处境合理选择不同的还款方式，确实可以带来不少便利 . 二、模型假设2.1 假设在还款期间银行利率不发生变化；2.2 假设等额本息还款与等本不等息还款的月利率相同；2.3 假设贷款人在还款期间没有特大的变故；2.4 假设还款期间不会出现金融危机. 三、符号说明A：等额本息贷款总额；：等额本息银行月利率；m ：等额本息还款期数；X ：等额本息月还款额 . 为方便阅读，我们将部分符号在第一次出现时进行说明. 四、模型建立与求解4.1 问题 1 等额本息还款法与等本不等息还款法的比较分析 4.1.1 等额本息还款简单介绍等额本息还款法， 即借款人每月按相等的金额偿还贷款本息

5、，其中每月贷款 利息按月初剩余贷款本金计算并逐月结清. 由于每月的还款额相等，因此，在贷 款初期每月的还款中， 剔除按月结清的利息后， 所还的贷款本金就较少； 而在贷 款后期因贷款本金不断减少、 每月的还款额中贷款利息也不断减少，每月所还的 贷款本金就较多 . 这种还款方式， 实际占用银行贷款的数量更多、 占用的时间更 长，同时它还便于借款人合理安排每月的生活和进行理财（如以租养房等），对 于精通投资、擅长于“以钱生钱”的人来说，无疑是最好的选择. 4.1.2 等额本息还款模型的建立设贷款总额为 A，银行月利率为，总期数为 m（个月），月还款额设为 X ，则各个月所欠银行贷款为：第一个月：;)

6、1(XA第二个月：);1(1)1()1()1(2XAXXA第三个月：;)1 ()1 (1)1()1()1 (23XAXXA由此可得第 n 个月后所欠银行贷款为：; 1)1()1 ()1(.)1()1 (1 )1(12nn nnXAXA由于还款总期数为 m，也即第 m月刚好还完银行所有贷款，因此有：; 0 1)1()1(mmXA由此求得：. 1)1()1 (mmAX则 m个月总共向银行还款为：. 1)1()1 (mmmAP01002003001.27991.27991.281.281.28011.2801x 104等 额 本 息 还 款月 份月还款数x=(A*b*(1+b).m)/(1+b).m

7、-1)010020030000.511.522.53x 106等 额 本 息 还 款 累 计 数月 份第n个月累计向银行还款数y图 1 等额本息还款4.1.3 等本不等息还款法的简单介绍即借款人每月按相等的金额（贷款金额/ 贷款月数）偿还贷款本金，每月贷 款利息按月初剩余贷款本金计算并逐月结清，两者合计即为每月的还款额. 这种还款方式相对等额本息而言，总的利息支出较低，但是前期支付的本金 和利息较多，还款负担逐月递减.等本不等息还款法是一种计算非常简便，实用 性很强的一种还款方式.基本算法原理是在还款期内按期等额归还贷款本金，并 同时还清当期未归还的本金所产生的利息.方式可以是按月还款和按季还

8、款.4.1.4 等本不等息还款法模型的建立设贷款总额为 B，银行月利率为，总期数为 n（个月） ， n个月累计向银 行还款为 Y ，则各月需还银行贷款为：第一个月：; nnBnnBBB第二个月：;1n)(BnnBnBBnB第三个月：;2n)2(nBnnBBnBB第 k 个月：),.,2, 1(; n1)1(nnkBknnBBnkBB第 n个月：;1)1(nBnnBBnnBB则由以上各式求和，可得：. 21nBBY010020030002000400060008000100001200014000等 本 不 等 息 还 款 法月 份第k个月的还款数x=B/n+(n-k+1)./n)*B*a010

9、02003000246810121416x 105等 本 不 等 息 还 款 第 k个 月 累 计 还 款 数月 份第k个月的累计还款数图 2 等本不等息还款各月份还款数额4.1.5 等额本息还款法与等本不等息还款法的比较分析两种还款方法都是随着剩余本金的逐月减少，利息也将逐月递减， 都是按照 客户占用管理中心资金的时间价值来计算的.由于“ 等额本金还款法 ” 较 “等额不 等息还款法” 而言同期较多地归还贷款本金， 因此以后各期确定贷款利息时作为 计算利息的基数变小，所归还的总利息相对就少. 05010015020025000.511.522.53x 106等 额 本 息 还 款 与 等 本

10、 不 等 息 还 款 比 较 图月 份第k个月的累计还款数等 额 本 息 还 款等 本 不 等 息 还 款图 3 等额本息还款与等本不等息还款的比较举例来说， A、B 两人同时申请个人住房公积金贷款10 万元，期限 10 年， 合同生效时间为2005 年 6 月 20 日.A 选择等额本息还款法， B 选择等本不等息 还款法 .如不考虑国家在利率方面的调整因素， A 每月的还款额相同， 都为 1032.05 元，期满后共需偿付本息123846元.B 第一个月还款额为1200.83 元，以后随着 每月贷款期末余额的减少而逐月减少还款额.最后一个月还款额为836.40元，期 满后共需偿付本息122

11、233.90元（注：计算 B 的还款额时， 假定每月都为 30 天， 实际还款应以每月实际天数计算）.所以，在相同贷款金额、利率和贷款年限的 条件下， “等本不等息还款法” 的利息总额要少于 “等额本息还款法”， 以贷 10 万 10 年为例， B 比 A 要少支付利息 1612.10元. 4.2 问题 2 其他房贷还款方式的提出及分析考虑到还款时本金逐渐减少，随之利息也逐渐减少的特点，我们设计了一 种等差还贷的还款模式，其具体思路如下：仍设贷款总额为 A，银行季率为，总期数为 m，还款人每季等额归还本金数额为 c.（c=贷款本金 贷款期季数），并且将上一季产生的利息还清. 第n季的本金数额为

12、：cA) 1n(-， 还款额为：)1(ccnA；第)1n(季的本金数额为：ncA，还款额为：ncAc；相邻两季的差为：cncAccnc)1(. 因此还款人将按等差数列形式还款，等差cd.该数列的首项，即第一季还款额为：Aca1. 故 m 季还款总额为：1121(1)/ 2mTaaam am md针对那些刚刚获得稳定工作的年轻人，根据他们的收入特点， 我们还可以在 上述设计中引入一调节向量因子，由于一般刚开始时收入都比较低，所以该调节 向量中前几个分量应设置较低， 等到他们工作环境相对宽松时， 便相对地提高其 归还本金数， 到还款后期， 本金数额已经大大减小， 每季产生的利息数额也相对 较少，于

13、是可以适当降低还款数额，据此我们设计其向量因子为：112233( 1,) ,( 1,) ,(1,) )r bmr bmr bm其),1 ( nb中代表一行 n 列的行向量1r3r，将此向量因子引入后，重新计算总还款数：前1m季的还款数额：1111 1(1 )mnsr cAnr c中间2m季的还款数额：222112 1(1 )mnsr cAm r cnr c后3m季的还款数额为：32211223 1(1 )mnsr cAm r cm r cnr c总还款数额为：2123Tsss五、模型分析的评价对于问题 1，我们分别根据两种还款的定义，分别建立对应的数学模型进行 了分析，求得了对应月份的还款表达

14、式以及累计还款表达式，并作图比较， 这样 两种还款模式的区别就得到了很好的体现. 问题 2，我们根据现实情况，更进一步的考虑了人们工作的稳定性，或刚参 加工作到逐步稳定的这样一个过程的条件，设计了一种较合理的还款方案， 并作 了分析，这种方案更贴近生活实际，所以有一定的研究价值. 六、模型的不足及改进针对问题 1 我们考虑的都比较单一，没能兼顾其他一些因素的分析，例如： 是否出现可以提前还款的情况，规定期间没能还款等情况. 如果能把这些因素加 进来并且考虑银行月利率有小幅度变化的情况下建立数学模型进行分析将更好. 问题 2 中，我们只就贷款方出发分析了还款的便利条件，而没有主要从银行 的角度提

15、出方案，若能兼顾贷款方和银行两方的状况，那么模型将更好. 八、参考文献 1 戴朝寿、孙世良，数学建模简明教程，北京：高等教育出版社，2007. 2 胡良剑、孙晓君， MATLAB 数学实验，北京：高等教育出版社，2006. 3 习在筠、宿洁、刘桂真、马建华，运筹学，北京：高等教育出版社，2007. 4 张德丰、 MATLAB/Simulink 建模与仿真实例精讲，北京：机械工业出版 社,2010.1. 九、附录（1）作图的 MATLAB 代码 clear;A=200000;b=0.064;m=1:10:240;x=(A*b*(1+b).m)/(1+b).m-1);y=m.*x;subplot(

16、1,2,1);plot(m,x,ro);title( 等额本息还款 );xlabel( 月份 );ylabel( 月还款数 x=(A*b*(1+b).m)/(1+b).m-1);subplot(1,2,2);plot(m,y,gp);title( 等额本息还款累计数 );xlabel( 月份 );ylabel( 第n个月累计向银行还款数y );clear;B=200000;a=0.064;n=240;k=1:10:240;x=B/n+(n-k+1)./n)*B*a;subplot(1,2,1);plot(k,x,ro);title( 等本不等息还款法 );xlabel( 月份 );ylabel( 第k 个月的还款数 x=B/n+(n-k+1)./n)*B*a);y=k./n+(2*n-k+1).*k.*B.*a)./(2*n);subplot(1,2,2);plot(k,y,gp);