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1、2018/9/8,1,第四章 解析函数的级数表示,4.1 复数项级数 4.2 复变函数项级数 4.3 泰勒级数 4.4 洛朗级数,2018/9/8,2,4.1 复数项级数,1. 复数序列的极限,2018/9/8,3,2018/9/8,4,2. 复数项级数,2018/9/8,5,2018/9/8,6,定理2将复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题.,2018/9/8,7,2018/9/8,8,解 1) 因 发散 ; 收敛, 故原级数发散.,2018/9/8,9,2018/9/8,10,2018/9/8,11,(1)发散; (2)绝对收敛; (3)收敛,条件收敛; (4)绝对收敛; (5)
2、绝对收敛.,2018/9/8,12,4.2 复变函数项级数,1.复变函数项级数,2018/9/8,13,2018/9/8,14,2.幂级数,(阿贝尔定理),2018/9/8,15,2018/9/8,16,2018/9/8,17,2018/9/8,18,2018/9/8,19,2018/9/8,20,2018/9/8,21,4. 幂级数的运算和性质 象实变幂级数一样, 复变幂级数也能进行有理运算. 设,2018/9/8,22,这个代换运算, 在把函数展开成幂级数时, 有着广泛的应用.,2018/9/8,23,2018/9/8,24,3) f(z)在收敛圆内可以逐项积分, 即,2018/9/8,2
3、5,4.3 泰勒级数,2018/9/8,26,利用泰勒展开式, 我们可以直接通过计算系数:,把 f (z)在z0展开成幂级数, 这被称作直接展开法,例如, 求 ez 在 z = 0处的泰勒展开式, 由于(ez)(n) = ez, (ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2,.) ， 故有,因为ez在复平面内处处解析, 上式在复平面内处处成立, 收敛半径为+.,2018/9/8,27,同样, 可求得sin z与cos z在z=0的泰勒展开式:,除直接法外, 也可以借助一些已知函数的展开式, 利用幂级数的运算性质和分析性质, 以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式, 此方法称为间接展开法.
4、 例如sin z在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:,2018/9/8,28,解 由于函数有一奇点z=-1, 而在|z|1内处处解析, 所以 可在|z|1内展开成z的幂级数.,因为,例1 把函数 展开成z的幂级数.,2018/9/8,29,例2 求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式.,解 ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的, -1是它的奇点, 所以可在|z|1展开为z的幂级数.,2018/9/8,30,推论1:,推论2：,推论3:幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点.(即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛),2018/9/8,31,推论4：,例如
5、：,它有两个奇点i, 而这两个奇点都在此函数的展开式的收敛圆周上, 所以这个级数的收敛半径只能等于1. 因此, 即使我们只关心z的实数值, 但复平面上的奇点形成了限制.,1-z2+z4-,如复变函数,2018/9/8,32,2018/9/8,33,2018/9/8,34,4.4 洛朗级数,2018/9/8,35,一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的, 这个级数就是 f (z)的洛朗级数.,根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以用代数运算, 代换, 求导和积分等方法去展开, 以求得洛朗级数的展开式.,2018/9/8,36,解： 函数 f (z) 在圆环域 i) 0 |z| 1; ii) 1| z| 2; iii) 2 |z| + 内是处处解析的, 应把 f (z)在 这些区域内展开成洛朗级数.,2018/9/8,37,先把 f (z)用部分分式表示:,ii) 在1 |z| 2内：,2018/9/8,38,iii) 在2|z|+内:,2018/9/8,39,例2 把函数,解 因有,2018/9/8,40,
