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1、中国校长网 2007 年高考数学分类汇编详解导数问题2 8 （全国二文）已知曲线 2 4 x y的一条切线的斜率为 1 2 ，则切点的横坐标 为（） A1 B2 C3 D4 22 （全国二文本小题满分 12 分） 已知函数 32 1 ()(2)1 3 fxaxbxb x 在 1 xx处取得极大值，在 2 xx处取得极小值，且 12 012xx （1）证明 0a； （2）若 z=a+2b,求 z 的取值范围。 22解：求函数()fx的导数 2 ()22fxaxbxb （）由函数()fx在 1 xx处取得极大值，在 2 xx处取得极小值，知 12 xx， 是()0fx的两个根 所以 12 ()()
2、()fxa xxxx 当 1 xx时，()fx为增函数，()0fx，由 1 0xx， 2 0xx得 0a （）在题设下， 12 012xx等价于 (0)0 (1)0 (2)0 f f f 即 20 220 4420 b abb abb 化简得 20 320 4520 b ab ab 此 不 等 式 组 表 示 的 区 域 为 平 面 aO b上 三 条 直 线 ： 20320 4520babab， 所围成的 ABC的内部，其三个顶点分别为： 46 (2 2)(4 2) 77 ABC ， ， 中国校长网 z在这三点的值依次为 16 6 8 7 ， 所以z的取值范围为 16 8 7 ， （22）
3、（山东理本小题满分 14 分） 设函数 2 ()ln(1)fxxbx，其中 0b （）当 1 2 b时，判断函数()fx在定义域上的单调性； （）求函数()fx的极值点； （）证明对任意的正整数n，不等式 23 111 ln1 nnn 都成立 21 （山东文本小题满分 12分） 设函数 2 ()lnfxaxbx，其中0ab 证明：当 0ab 时，函数()fx没有极值点；当 0ab 时，函数()fx有且 只有一个极值点，并求出极值 20.(陕西理本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=, 2 2 aaxx c 其中 a 为实数. ()若 f(x)的定义域为 R,求 a 的取值范围 ; ()当
4、f(x)的定义域为 R 时，求 f(x)的单减区间 . 20 （本小题满分 12 分） 解： （）()fx的定义域为R， 2 0xaxa恒成立， 2 40aa， b a 2 1 2 4 O 46 77 A， (4 2)C， (2 2)B， 中国校长网 04a，即当04a时 ()fx的定义域为R （） 22 (2)e () () x x xa fx xaxa ，令()0fx ，得(2)0x xa 由()0fx，得 0x或2xa，又04a， 02a时，由 ()0fx得 02xa； 当2a时，()0fx ；当24a时，由()0fx得20ax， 即当02a时，()fx的单调减区间为(0 2)a，； 当
5、24a时，()fx的单调减区间为(20)a， 21. (陕西文 本小题满分 12 分) 已知cxbxaxxf 23 )(在区间 0,1上是增函数 ,在区间), 1(),0,(上是减 函数,又. 2 3 ) 2 1 (f ()求)(xf的解析式 ; ()若在区间,0m(m0)上恒有)( xfx 成立,求 m 的取值范围 . 21 （本小题满分 12 分） 解： （） 2 ()32fxaxbxc，由已知(0)(1)0ff， 即 0 320 c abc ， ， 解得 0 3 2 c ba ， 2 ()33fxaxax， 1333 2422 aa f， 2a， 32 ()23fxxx （）令()fxx
6、，即 32 230xxx ， (21)(1)0xxx， 1 0 2 x 或 1x 又()fxx在区间0m，上恒成立， 1 0 2 m 中国校长网 19、已知函数 2 (0,) a fxxxaR x （1）判断fx的奇偶性 （2）若fx在2,是增函数，求实数a的范围 1. a=0时候是偶函数a不为 0 时候为非奇非偶函数 2. a 16 (22)(四川理本小题满分 14 分) 设函数 ), 1,( 1 1)(NxnNn n xf n 且. ()当 x=6 时,求 n n 1 1的展开式中二项式系数最大的项; ()对任意的实数x,证明 2 )2()2(fxf );)()()(的导函数是xfxfxf
7、 ()是否存在 Na ,使得 an n kk1 1 1na)1(恒成立 ?若存在 ,试证明你 的结论并求出 a 的值;若不存在 ,请说明理由 . （22）本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等 内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新 意识。 （）解：展开式中二项式系数最大的项是第4 项，这项是 3 35 6 3 120 1C nn （）证法一：因 22 11 2211 n fxf nn 中国校长网 22 11 211 n nn 11 211 n nn 1 2 1 n n 11 2 1ln1 2 n n 11 21ln12 n fx nn 证法二：因 2
8、2 11 2211 n fxf nn 22 11 211 n nn 11 211 n nn 而 11 22 1ln1 n fx nn 故只需对 1 1 n 和 1 ln1 n 进行比较。 令ln1gxxx x，有 11 1 x gx xx 由 1 0 x x ，得 1x 因为当 01x时， 0gx，gx单调递减；当1x时， 0gx，gx 单调递增，所以在1x处g x有极小值 1 故当 1x时，11gxg， 从而有ln1xx，亦即ln1lnxxx 故有 11 1ln1 nn 恒成立。 所以 222fxffx，原不等式成立。 （）对mN，且1m 有 2 012 11111 1 mkm km mmm
9、mm CCCCC mmmmm 2 11112 1 111 11 2! km m mm mmkm m mkmmm 111121111 2111111 2 ! km mkmmmmmm 中国校长网 1111 2 2 !3!km 1111 2 213211k km m 1111111 21 22311kkmm 1 33 m 又因 1 02, 3, 4, k k m Ckm m ，故 1 213 m m 1 213 m m ，从而有 1 1 213 k n k nn k 成立， 即存在2a，使得 1 1 213 k n k nn k 恒成立。 20、 （四川文本小题满分 12分）设函数 3 ()fxax
10、bx c ( 0)a为奇函数， 其图象在点(1,(1)f处的切线与直线670xy垂直，导函数()fx的最小值 为12 （）求a，b，c的值； （）求函数()fx的单调递增区间，并求函数()fx在1,3上的最大值和 最小值 解析：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用 等基础知识，以及推理能力和运算能力 （）()fx为奇函数， ()()fxfx 即 33 axbxcaxbxc 0c 2 ()3fxaxb的最小值为12 中国校长网 12b 又直线670xy的斜率为 1 6 因此，(1)36fab 2a，12b，0c （） 3 ()212fxxx 2 ()6126(2)(2)fxx
11、xx，列表如下： x(,2 ) 2 (2 ,2 ) 2 (2,) ()fx 00 ()fx 极大极小 所以函数()fx的单调增区间是(,2 )和(2,) (1)10f，(2 )82f，(3)18f ()fx在1,3上的最大值是(3)18f，最小值是(2 )82f 20 （天津理本小题满分 12分） 已知函数 2 2 21 ()() 1 axa fxx x R，其中aR （）当1a时，求曲线()yfx在点(2(2)f，处的切线方程； （）当 0a时，求函数()fx的单调区间与极值 20本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数， 利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能
12、力及分类讨 论的思想方法满分12分 中国校长网 （）解：当1a时， 2 2 () 1 x fx x ， 4 (2) 5 f， 又 22 2222 2(1)2222 ( ) (1)(1) xxxx fx xx ， 6 (2) 25 f 所以，曲线()yfx在点(2(2)f，处的切线方程为 46 (2) 525 yx， 即62320xy （）解： 22 2222 2(1)2 (21)2()(1) () (1)(1) a xxaxaxaax fx xx 由于 0a，以下分两种情况讨论 （1）当 0a时，令()0fx，得到 1 1 x a ， 2 xa当x变化时，()()fxfx， 的变化情况如下表：
13、 1 a ， 1 a 1 a a ，a(a， (fx 0 0 (fx 极小值极大值 所以()fx在区间 1 a ，()a， 内为减函数，在区间 1 a a ，内为增函 数 函数()fx在 1 1 x a 处取得极小值 1 f a ，且 2 1 fa a ， 函数()fx在 2 1 x a 处取得极大值()fa，且()1fa （2）当 0a时，令()0fx，得到 12 1 xax a ，当x变化时，()()fxfx， 的变化情况如下表： a，a 1 a a ， 1 a 1 a ， + (fx 0 0 中国校长网 (fx极大值极小值 所以()fx在区间()a， 1 a ， + 内为增函数，在区间 1 a a ，内为减函 数 函数()fx在 1 xa处取得极大值()fa，且()1fa 函数()fx在 2 1 x a 处取得极小值 1 f a ，且 21 fa a
