自动控制理论第四章

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1、自动控制理论_第四章,下一张,最后一张,结束授课,返回首页,参考教材 绪论 主要参考资料 第一章 自动控制系统绪论 第二章 自动控制系统的数学模型 第三章 自动控制系统的时域分析 第四章 根轨迹法 第五章 频率法分析 第六章 控制系统的综合校正 第七章 非线性控制系统分析 第八章 线性离散控制系统,第四章 根轨迹法 第一节 根轨迹的基本概念 第二节 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 第三节 参量根轨迹和多回路系统的根轨迹 第四节 正反馈系统和零度根轨迹 第五节 利用根轨迹法分析系统的暂态性能指标 第六节 延迟系统的根轨迹 第七节 用数字计算机求取系统的根轨迹 本章小节、重点和练习题,第01 页,

2、第四章 根轨迹法,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,从前述章节可知,系统动态性能与闭环极点在S平面上的位置密切相关。因此,在分析系统性能时,需要定量研究系统的一个或者多个参量在一定范围内变化时,系统闭环极点的位置变化以及对系统性能的影响。系统闭环极点即为系统特征根。当系统的一个或几个参量变化时，闭环特征根在S平面上运动的轨迹称为根轨迹。为分析系统特征根的变化,通常需将特征多项式分解为因式,而这对于三阶以上系统并不容易做到。特别是当参数发生连续变化时（如系统开环增益）,需要反复计算,难以在实际中应用。1948年,伊万斯（W.R.Evans）根据反馈系统开、闭环传递函数之间的内在联系,提

3、出了直接由开环传递函数寻求闭环特征根（即闭环极点）移动轨迹的方法,建立了一套绘制根轨迹的规则,这就是被广泛应用的根轨迹法。该方法可以简便、直观地分析系统特征根与系统参数之间的关系。适用于单闭环系统,也可用于多闭环系统。根轨迹法作为经典控制理论的基本方法,与频率特性法互为补充,是分析和研究自动控制系统的有效工具。,第02页,第一节 根轨迹的基本概念,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,对下图所示二阶系统，系统开环传递函数为,系统闭环传递函数为,系统闭环特征根为,可将系统根轨迹增益K1从0向变化时，系统闭环特征根在复平面上的变化情况绘制为曲线，如下图所示。这样获得的曲线称为K1从0向变化时

4、系统的根轨迹。,第03页,可见，根轨迹图全面地描述了参数K1对闭环特征根分布的影响。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,利用根轨迹，可对系统动态特性进行下述分析：,（1）判断该系统在K1从0到变化时的稳定性； （2）判断系统在K1从0到变化时出根轨迹的条数； （3）判断该系统在K1取值在何范围时处于过阻尼、 临界阻尼和欠阻尼状态； （4）判断系统的“型”，从而计算系统稳态特性； （5）当K1值确定后，在根轨迹上找到闭环极点，从而计算系统闭环性能指标；或反之；,上述方法仅适用于典型二阶系统，难于用于高阶系统。一般地，绘制系统根轨迹时选择的可变参量可以是系统的任意参量。以系统根轨迹增益K

5、1为可变参量绘制的根轨迹称为常规根轨迹。以其它参数为变量绘制的根轨迹称为参量根轨迹。,第04页,第二节 绘制根轨迹的基本条件和基本规则,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,一、绘制根轨迹的基本条件讨论右图所示系统 ，特征方程为1G(s)H(S)=0 或 G(S)H(S)=-1 根据复数等式两边的幅值和相角应分别相等的原则，可得绘制系统根轨迹的基本条件： 即幅值条件和相角条件。以上条件是判断复平面上某点是否在系统根轨迹上的充要条件。开环传递函数G(s)H(s)写为以下两种因子形式时也可得到相应的条件，,特别是开环零极点形式，有,第05 页,一个重要推论：相角条件是决定决定闭环系统根轨迹的

6、充要条件。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,【例4-1】单位反馈系统的开环传递函数为:,试检验S1=-1.5+j2.5是否为该系统根轨迹上的点；如果是，则确定与它相对应的K1值是多少。 解 （1）确定开环零、极点,并标注到复平面上。p1=0,p2=-2,p3=-6.6, z1=-4，（2）将s1坐标带入相角条件,满足相角条件,S1=-1.5+j2.5是该系统根轨迹上的点。（3）利用幅值条件求得与S1相对应的K1值。 K1=12.15本例说明的是一种试探法绘制系统根轨迹的例子,十分烦琐。,由此可知：只要依据相角条件就可以绘制根轨迹，而幅值条件主要用于确定根轨迹上各点对应的根轨迹增益K

7、1值。,第06 页,二、绘制根轨迹的基本规则W.R.Evans（伊万斯）提出了一套绘制根轨迹的规则。该规则以根轨迹增益K1为变量。规则1：根轨迹的分支数和对称性。根轨迹的分支数等于特征方程的阶数n；根轨迹对称于实轴。规则2：根轨迹的起点与终点。起始点： K1=0时的闭环极点，即系统的开环极点。起始点与终止点个数相等，均为n；终止点：（1）有限值终止点：当K1时，有m条分支趋向开环零点；（2）无限远终止点：n-m条分支趋向无穷远处,需要确定其方位和 走向。 （证明略）规则3: 实轴上的根轨迹。实轴上某线段右边的开环实零点和开环实极点总数为奇数时，这些线段就是根轨迹的一部分。如上图所示。（证明略）

8、,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,第07 页,规则4:根轨迹的渐近线。当系统的根轨迹增益K1时，趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条，它们趋向无穷远处的方位可由渐近线决定。（1）渐近线与实轴的倾角为：,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,（2）渐近线与实轴的交点坐标为：,【例4-2】设闭环系统的特征方程为：S（S+1）（S2）K10，当K1由0变化到时，试按一般步骤与规则绘制其根轨迹图。解 （1）本系统为3阶系统，有3条根轨迹；（2）求出系统开环传递函数的零、极点形式，得到：（3）起始点：系统没有开环零点，只有三个开环极点，分别为p1=0，p2=-1，p3=-2。,第08页,（

9、4）渐近线：K1时，有3条根轨迹趋向无穷远处，其渐近线的倾角为,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,渐近线与实轴的交点坐标为,（5）实轴上的根轨迹：在S平面实轴上0，-1和-，-2线段上存在根轨迹， 根轨迹草图如图所示,其中一条从p3=-2出发,随着K1的增加,沿着负实轴趋向无穷远处。另两条分支分别从p1=0和p2=-1出发,沿着负实轴向b点移动当K1值达到某一数值时,这两条分支相交于实轴上的b点,这时系统处于临界阻尼状态当K1继续增大时,这两条分支离开负实轴分别趋近-60o和-60o的渐近线,向无穷远处延伸在KbK1Kc时,系统处于欠阻尼状态,出现衰减振荡。而当K1=Kc时,系统成为

10、不稳定状态,第09页,规则5：根轨迹的分离点、会合点和分离角。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,上述方程是求取分离点或会合点的必要条件，是否确实为分离点或回合点，需要用相角条件进行判断。分离点或会合点可能在s平面上任何一点。,【例4-3】求例 4-2中分离点b的坐标。解 系统的特征方程为由此得：,因分离点必定位于O-1之间的线段上,故可确定S1=-0.423为分离点。对高阶系统,一般不便求出分离点或会合点,此时可用图解法等求解。 分离角：根轨迹离开重根点处的切线与实轴正方向的夹角被称为分离角,其计算公式为：,求得两个解分别为s1=-0.423,s2=-1.577,式中r为分离点处根

11、轨迹的分支数。,几条根轨迹在s平面上相遇后又分开的点称为根轨迹的分离点（或会合点）。分离点与会合点必须满足方程:,重根法与极值法本质上相同 教材中介绍的牛顿余数法也很有意义，特别是高次方程的情况。,第10页,规则6：根轨迹的出射角和入射角。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,在根轨迹上靠近起点P1较远处取一点S1,显然满足相角条件，有,当S1无限趋近于P1点时，m时，有 闭环极点之和： 闭环极点之积：,特别地当n-m2时，有:,即闭环极点之和等于开环极点之和。 这表明在开环极点确定的情况下，随着K1的变化，若有一些闭环特征根增大，则另一些特征根必然减小。即一些根轨迹右行时，另一些根轨

12、迹必左行。,【例4-5】已知与开环传递函数为,其根轨迹与虚轴的,交点为s1,2= j1.414,试求交点处的临界K1值及第三个特征根,解 系统的特征方程为,满足n-m 2的条件，利用式,利用幅值条件可得K1=6,可得s3=-3,第13 页,【例4-6】已知反馈控制系统的开环传递函数为 试绘制K1变化时的根轨迹。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,解 按照以下步骤绘制系统的根轨迹：（1）开环极点为p1=0，p2=-3， p1=-1j,无开环零点； （2）根轨迹分支数n=4条；（3）在实轴上-3，0之间为根轨迹段；（4）渐近线,n-m=4条：,（5）由特征方程求分离点,解得s1=-2.3

13、，s2,3=0.725j0.365。s1为分离点。分离角为90o。利用根轨迹的幅值条件可求得对应于分离点s1=-2.3的K1值为4.33 。,第14 页,（6）求出射角,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,根据对称性可知：p4 =71.6（7）求根轨迹与虚轴的交点。,令劳斯表中S1行的首项为零，求得K1=8.16。根据表,令s=j，K1=8.16代入上式，求得=1.1。根轨迹的两条分支与虚轴交于=1.1j处，,中S2行的系数写出辅助方程,对应的K1=8.16，系统根轨迹如上图所示,由特征方程并列出劳斯表：,第15 页,三、闭环极点的确定,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,【例

14、4-7】已知系统的开环传递函数如下，试绘制闭环系统的根轨迹。,根据上述规则，可以简便地绘制系统根轨迹的大致图形。当需要比较准确地确定某些局部图形时，可用相角条件逐点绘出。当K1值满足幅值条件时，对应的根轨迹上的点，就是闭环极点。有两个方面的工作要做：（1）利用式（5-9）的幅值条件，可以确定根轨迹上任一点所对应的K1值，也可在根轨迹上标出一些点的K1值。（2）在一些情况下，给出一对主导共轭极点的阻尼比，要求确定闭环极点及相应的根轨迹增益。为此可先画一条给定的线，根据它与复平面上根轨迹的交点确定一对共轭闭环极点，然后再求相应的根轨迹增益和实数极点。在例4-6中，若给定一对主导极点的阻尼比=0.5。根据=0.5线与根轨迹的交点，可以确定一对共轭极点为-0.4j0.7。对应的根轨迹增益K1值等于各开环极点至此点距离之积，即K1=0.84*1.86*2.74*0.68=2.91，用试探法可找到另外两个闭环极点：s=-1.4;s=-2.85,由此可求出系统闭环传递函数：,第16页,解：从开环传递函数公式中求出开环极点： p1=0，p2=-4，p3,4=-2j4,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,（4）出射角为,由对称性知p4=90o。,