自动控制原理课件第4章根轨迹分析法

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1、2018年9月8日,第4章 根轨迹分析法,2018年9月8日,闭环系统的稳定性及性能主要由闭环极点（特征方程根）决定的。一个较完善的闭环控制系统其特征方程一般为高阶，直接用时域法求解困难。,2018年9月8日,4.1 根轨迹的基本概念 4.2 绘制根轨迹的基本规则 4.3 控制系统根轨迹的绘制 4.4 控制系统的根轨迹分析,2018年9月8日,1948年伊万斯提出求解闭环特征方程的根的图解方法根轨迹法。 考虑到开环零极点更易获取，在开环零、极点分布已知的情况下，可绘制闭环极点随系统参数变化（如放大系数）而在s平面上移动的轨迹（根轨迹）。 用途： 对系统的性能进行分析； 确定系统应有的结构、参数

2、； 进行设计和综合。,2018年9月8日,41 根轨迹的基本概念,2018年9月8日,一、根轨迹图 1.定义： 根平面：在一个复平面（s平面）上标出开环零、极点，并根据此描述闭环极点的性质，这个复平面就称为根平面。 根轨迹：指系统开环传递函数中某一参数（一般为Kg，根轨迹增益）变化时，闭环特征根在根平面上所走过的轨迹。,2018年9月8日,2.用解析法绘制根轨迹（实例） 例4-1：,系统开环传递函数为：,1.时间常数表示法主要用于频率分析中； 2.零极点表示法主要用于根轨迹分析中。,2018年9月8日,开环有两个极点： p1= 0， p2=2 开环没有零点。,可见，当Kg 变化，两个闭环极点也

3、随之连续变化。 当Kg 从0变化时，直接描点作出两个闭环极点的变化轨迹,闭环特征方程为： D(s) = s2 +2s + Kg = 0 解得闭环特征根（亦即闭环极点）,2018年9月8日,（1）当 Kg = 0时，s1 = 0、s2 = 2，此时闭环极点就是开环极点。 （2）当0Kg1时，s1、s2均为负实数，且位于负实轴的（2，0） 一段上。 （3）当Kg = 1时，s1 = s2 = 1，两个负实数闭环极点重合在一起。 （4）当1Kg时，s1，2 =1 ，两个闭环极点变为一对共轭复数极点。s1、s2的实部不随Kg变化，其位于过（1，0）点且平行于虚袖的直线上。 （5）当Kg时， s1 =

4、1+ j、s2 = 1j，此时s1、s2将趋于无限远处。,2018年9月8日,可根据根轨迹形状评价系统的动态性能和稳态性能： （1）根轨迹增益Kg从0时，根轨迹均在s平面左半部，在所有的Kg值下系统都是稳定的。 （2）当01时，闭环特征根为共轭复根，系统呈欠阻尼状态,其阶跃响应为衰减的振荡过程。 （5）有一个为0的开环极点，系统为型系统，其阶跃作用下的稳态误差ess为零。,2018年9月8日,由上述分析过程可知，系统的根轨迹分析的意义在于：由较易获取的开环零极点分布分析闭环极点的性质，从而，对系统的动态性能和稳态性能进行分析。但是，试探法不是绘制根轨迹的最合适方法，而且也太费时间。对于高阶系统

5、，用这种解析的方法绘制出系统的根轨迹图是很麻烦的。实际上，闭环系统的特征根的轨迹都是根据开环传递函数与闭环特征根的关系，以及已知的开环极点和零点在根平面上的分布，按照一定的规则用图解的方法绘制出来的。,2018年9月8日,二、根轨迹方程 绘制根轨迹的实质，在于由开环零极点在s平面寻找闭环特征根的位置。,闭环传递函数为,闭环特征方程为 即,m个开环零点n个开环极点 （根轨迹方程）Kg：根轨迹增益,在s平面上凡是满足上式的任意一个点s1、s2、 s，都是闭环特征根，即闭环极点。对应于Kg 从0 。,2018年9月8日,1、根轨迹的幅值条件方程和相角条件方程,为复数，故根轨迹方程是一个向量方程。,相

6、角条件：,幅值条件：,2018年9月8日,相角条件方程和kg无关，s平面上任意一点，只要满足相角条件方程，则必定同时满足幅值条件，该点必定在根轨迹上，即对应不同的kg时的闭环极点，相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件。（实、虚轴选用相同的比例尺刻度）,2018年9月8日,2、幅值条件和相角条件应用,为从一个开环零点指向s的向量为从一个开环极点点指向s的向量,向量的模为长度，即s平面上两点之间的距离； 相角为此向量指向方向与实轴之间的夹角， 逆时针为正，顺时针为负； 1.可以直接计算 ；2.或在图上直接测量,S为试探点,2018年9月8日,解：,不符合相角条件，s1不在根轨迹上。,满足相角

7、条件， s2在根轨迹上。,（1）.用相角条件求根轨迹（试探法）,例：已知系统的开环传递函数如下，试判断 是否在根轨迹上。,2018年9月8日,（2）. 用幅值条件确定kg的值,解：,例：求上例中根轨迹上 点对应的Kg 。,、 也可以用直尺测量向量的长度。,2018年9月8日,小结： 相角条件 判断是否闭环极点（根） 幅值条件 确定对应的根轨迹增益 图解法：注意坐标、比例但是控制系统的根轨迹图不能遍历s平面上所有的点来绘制。因为在满足根轨迹条件方程的基础上，根轨迹的图是有一些规律的。依据绘制轨迹图的一些基本法则，就可以绘制出控制系统的根轨迹草图。,2018年9月8日,42 绘制根轨迹的基本规则,

8、2018年9月8日,由开环零、极点当Kg为可变参数时，闭环极点的变化轨迹。,2018年9月8日,是Kg或其它参数的连续函数。当Kg从0+连续变化时，闭环极点连续变化，即根轨迹是连续变化的曲线或直线。,线性系统特征方程系数均为实数，闭环极点均为实数或共轭复数（包括一对纯虚根），根轨迹对称于实轴。,一、连续性与对称性,2018年9月8日,二、根轨迹的分支数开环传递函数为n阶，故开环极点和闭环数都为n个，当Kg从0+变化时，n个根在s平面上连续形成n条根轨迹。一条根轨迹对应一个闭环极点随Kg的连续变化轨迹。根轨迹的分支数=系统的阶数,2018年9月8日,三、 根轨迹的起点和终点,由幅值条件有：,1.

9、起点：Kg=0，等式右边= ，仅当,成立，n条根轨迹起始于系统的n个开环极点。,2018年9月8日,另外nm条根轨迹终止于处（，相角可为任意方向）。,结论：根轨迹以n个开环极点为起点；以m个开环零点为终点，另外nm条根轨迹终止于无穷远处。,2.终点：kg= ，等式右边=0,当,由于nm时，只有s 处,成立，m条根轨迹终止于m 个开环零点处；,2018年9月8日,四、根轨迹的渐近线,若nm，当Kg从0+时，有(nm)条根轨迹分支沿着实轴正方向夹角，截距为 的一组渐近线趋向无穷远处。,与实轴交点的坐标：,仅当s足够大时，根轨迹才向渐近线逐渐逼近， Kg，根轨迹才与渐近线重合。,一般直接取180。,

10、2018年9月8日,-2,-1,0,2018年9月8日,-2,-1,0,2018年9月8日,例4-1已知控制系统的开环传递函数为试确定根轨迹的支数、起点和终点。若终点在无穷远处， 试确定渐近线和实轴的交点及渐近线的倾斜角。,解 由于n=3，所以有3条根轨迹，起点分别在 由于m=0，开环传递函数没有有限值零点，所以三条根轨迹的终点都在无穷远处，其渐近线与实轴的交点及倾斜角 分别为,当 时， ；当 时， ；当 时， 。 根轨迹的起点和三条渐近线如图4.4所示。,2018年9月8日,五、实轴上的根轨迹, 、 两向量对称于实轴，引起的相角大小相等、方向相反；、 两向量也对称于实轴，引起的相角大小相等、

11、方向相反。,开环复平面上的开环零、极点，由于是共轭复数对，对实轴上任一点s1的相角影响为0，对于实轴上根轨迹的判别来说不影响幅角条件。 判断 s1是否落在根轨迹上，共轭零、极点不考虑。,2018年9月8日,位于s1左边的实数零、极点： 、 向量引起的相角为0 判断 s1是否落在根轨迹上，位于s1左边的零、极点不考虑。,位于s1右边的实数零、极点： 每个零、极点提供180相角。,结论：s1右边的实数零、极点（开环）个数的总和为奇数，则s1位于根轨迹上。,2018年9月8日,例4.2设系统开环传递函数为 试求实轴上的根轨迹。 解 系统的开环零点为0.5，开环极点为0（二重极点），1，1.5，4（如

12、图4.5 所示）。根据实轴上根轨迹的判别条件可以得到区间4，5右方的开环零点数 和极点数总和为5，以及区间1，0.5右方的开环零点数和极点数总和为3，均 为奇数，故实轴上根轨迹在上述两区间内如图中所示。,2018年9月8日,六、根轨迹的分离点和会合点,若两条根轨迹在复平面上的某一点相遇后又分开，称该点为根轨迹的分离点或会合点。此点对应于二重根（实根和共轭复数根）。一般多出现在实轴上。,分析：1.如图， ， 为实轴上的根轨迹。两条根轨迹分别由-p1和-p1出发，随kg的增大，会合于a点继而又分开，离开实轴，进入复平面，再回到实轴，会合于b点再离开，一条终止于-z1，另一趋于负无穷远处。,2018

13、年9月8日,2.规律： 若实轴上两相邻开环极点之间存在根轨迹，之间必有分离点； 若实轴上相邻开环零点（一个可视为无穷远）之间存在根轨迹，之间必有会合点； 若实轴上开环零点与极点之间存在根轨迹，则其间可能既有分离点也有会合点，也可能都没有。,2018年9月8日,3.求分离角（会合角）：,在分离点（会合点）上，根轨迹切线与正实轴的夹角， l为相分离的根轨迹分支数。,2018年9月8日,4. 分离点的求取,消Kg得：,特征方程：,s 分离点, 重根法特征方程：A（s）=0 具有重根， 则：,2018年9月8日, 极值法, 牛顿余数定理的使用（二阶以上）,2018年9月8日,举例：已知控制系统的开环传

14、递函数如下，试求根轨迹在实轴上的分离点。,解：（用重根法）,2018年9月8日,判断：开环极点有三个, 在实轴上 为根轨迹 ，则 s1满足，为分离点。,-2,-1,0,-0.423,2018年9月8日,七、根轨迹的出射角和入射角,出射角：始于开环极点的根轨迹在起点的切线与正实轴的夹角 入射角：止于开环零点的根轨迹在终点的切线与正实轴的夹角,：由其它各开环零点指向 的向量的幅角：由其它各开环极点指向 的向量的幅角,入射角：,出射角：,2018年9月8日,例4.4设开环传递函数极、零点如图4.10所示，试确定根轨迹离开共轭复数极点的出射角。,解 利用公式（4.30），由作图可得,考虑到幅角的周期性

15、，取 =26.6。同理，可得 =+26.6。,2018年9月8日,八、根轨迹与虚轴的交点,随着Kg，根轨迹可能由s左半平面右半平面，系统会从稳定不稳定，根轨迹与虚轴的交点，即闭环特征方程出现纯虚根，出现临界稳定。求解方法（两种方法）：,劳斯判据：第一列有0元素（纯虚根），代入辅助方程，此处的增益临界根轨迹增益Kgp。, 令s=j代入闭环特征方程A（s）=0 ，再令,求出、交点坐标和Kg。,2018年9月8日,例：已知系统的开环传递函数，求根轨迹与虚轴的交点、临界根轨迹增益kgp。,解：, 交点坐标：,得：,（舍去）,令s=j代入有,2018年9月8日,当 时， s1 行等于0，有一对纯虚根，辅助方程,1 2 3 0,