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1、,一、定积分的元素法,二、平面图形的面积,第七节 定积分的几何应用,三、旋转体的体积,四、平行截面面积已知的立体的体积,五、小结,回顾,曲边梯形求面积的问题,一、定积分的元素法,面积表示为定积分的步骤如下,（3）求和，得A的近似值,（4）求极限，得A的精确值,提示,元素法的一般步骤：,这个方法通常叫做元素法,应用方向：,平面图形的面积，体积。,经济应用。其他应用。,二、平面图形的面积,如何用元素法分析？,，,二、平面图形的面积,如何用元素法分析？,二、平面图形的面积,如何用元素法分析？,第二步：写出面积 表达式。,二、平面图形的面积,如何用元素法分析？,二、平面图形的面积,如何用元素法分析？,
2、二、平面图形的面积,如何用元素法分析？,二、平面图形的面积,第二步：写出面积 表达式。,如何用元素法分析？,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,解,两曲线的交点,选 为积分变量,于是所求面积,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,问题：,积分变量只能选 吗？,观察下列图形，选择合适的积分变量求其面积：,考虑选择x为积分变量，如何分析面积表达式？,观察下列图形，选择合适的积分变量：,考虑选择y为积分变量，如何分析面积表达式？,解,两曲线的交点,选 为积分变量,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫
3、做旋转轴,圆柱,三、旋转体的体积(volume of body),（1）,圆锥,圆台,三、旋转体的体积(volume of body),（3）,（2）,旋转体的体积为,解,直线 方程为,解,解,0,1,x,y,补充,利用这个公式，可知上例中,解,体积元素为,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,四、平行截面面积已知的立体的体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,五、小结,定积分的元素法,平面图形的面积,旋转体的体积,平行截面面积已知的立体的体积,思
4、考题1,思考题1解答,两边同时对 求导,积分得,所以所求曲线为,曲线 y = f (x) 及直线 y = kx + b ,所围成的曲边梯形, 求D绕直,线y = kx + b旋转所成立体的体积.,上有连续导数, D为,思考题2,如右图示,曲线在M点处的切线MT为：,思考题2解答,应用定积分的元素法，考虑子区间x, x+dx. 设相,应于x, x+dx的曲线弧段在直线L上的投影长为dl,则当子区间的长充分小时, 取切线MT上对应于右,端点x +dx的点 到垂线,的距离为dl, 则,而M点到直线L的距离为,从而得,所以曲边梯形D绕直线L旋转所成立体体积为,思考题3,思考题3解答,交点,立体体积,练
5、 习 题,！,练习题答案,第三步，用Y*替代Y，分别估计双对数线性模型与线性模型。并通过比较它们的残差平方和是否有显著差异来进行判断。,Zarembka（1968）提出的检验统计量为：,其中，RSS1与RSS2分别为对应的较大的残差平方和与较小的残差平方和，n为样本容量。,可以证明：该统计量在两个回归的残差平方和无差异的假设下服从自由度为1 的2分布。因此，拒绝原假设时，就应选择RSS2的模型。,例5.3.2 在4.3中国商品进口的例中，采用线性模型: R2=0.948;采用双对数线性模型: R2=0.973，但不能就此简单地判断双对数线性模型优于线性模型。下面进行Box-Cox变换。,计算原
6、商品进口样本的几何平均值为：,计算出新的商品进口序列：,以Mt*替代Mt，分别进行双对数线性模型与线性模型的回归，得：,RSS1=0.5044,RSS2=1.5536,于是，,在=5%下，查得临界值20.05(1)=3.841 判断：拒绝原假设，表明双对数线性模型确实“优于”线性模型。,5.4从传统建模理论到约化建模理论,一、传统建模理论与数据开采问题 二、“从一般到简单”约化建模型理论 三、非嵌套假设检验 四、约化模型的准则,一、传统建模理论与数据开采问题,传统计量经济学的主导建模理论是“结构模型方法论” 以先验给定的经济理论为建立模型的出发点， 以模型参数的估计为重心， 以参数估计值与其理
7、论预期值相一致为判断标准，,是一个“从简单到复杂”的建模过程（simple-to-general approach）:对不同变量及其数据的偿试与筛选过程。,传统建模方法主要的缺陷：建模过程的所谓“数据开采”（Data minimg）问题。 数据开采:对不同变量及其数据的偿试与筛选。 这一过程对最终选择的变量的t检验产生较大影响,当在众多备选变量中选择变量进入模型时，其中t检验的真实的显著性水平已不再是事先给出的名义显著性水平。 显著性水平意味着将一个无关变量作为相关变量选入模型而犯错误的概率。,罗维尔（Lovell）给出了一个从c个备选变量中选取k个变量进入模型时，真实显著性水平*与名义显著性
8、水平的关系：*=1-(1- )c/k,例如： 给定=5%，如果有2个相互独立且与被解释变量无关的备选变量，误选一个进入模型的概率就成了 1-(1-0.05)2=0.0975 传统建模方法的另一问题是它的“随意性”。其结果是：对同一研究对象，使用同一数据，但不同的建模者往往得出不同的最终模型。,二、“从一般到简单”约化建模型理论,该理论认为：在模型的最初设定上，就设立一个“一般”的模型，它包括了所有先验经济理论与假设中所应包括的全部变量，各种可能的“简单”模型都被“嵌套”（nested）在这个“一般”的模型之中。然后在模型的估计过程中逐渐剔除不显著的变量，最后得到一个较“简单”的最终模型。这就是
9、所谓的“从一般到简单”（general-to-specific）的建模理论。,(1)约化建模理论提出了一个对不同先验假设的更为系统的检验程序；(2)初始模型就是一个包括所有可能变量的“一般”模型，也就避免了过度的“数据开采”问题；(3)由于初始模型的“一般”性，所有研究者的“起点”都有是相同的，因此，在相同的约化程序下，最后得到的最终模型也应该是相同的。,特点：,例题：,例3.5.1曾建立了一个中国城镇居民食品消费模型：Q=f(X,P1,P0) 然而，有理由认为X、P1、P0的变化可能会经过一段时期才会对Q起作用，因为消费者固有的消费习惯是不易改变的。于是，可建立如下更“一般”的模型：,在估计
10、该模型之前，并不知道食品消费需求是怎样决定的，但可以考察几种可能的情况:,例如认为，对食品的消费需求是一个“静态”行为，只有当期的因素发生作用：,（*）,也可以认为，由于食品是必需品，P1的变化并不对Q产生影响，但仍受P0与X变动的影响，然而后者的影响却有着一期的滞后：,可以看出，(*)、(*)都是原一般模型的特例，即都可通过对原一般模型施加约束得到。,（*）,如果一个模型可通过对“一般”模型施加约束得到，则称该模型“嵌套”在一般模型之中。,一个“一般模型”具有如下两个重要特性： 第一，与所考察问题相关的不同的先验理论与假设都“嵌套”在该一般模型中；第二，能较好地拟合数据，并能满足模型设定偏误
11、的各种检验。该两条性质是相互关联的。例如，如果某一重要理论被忽略，则相关的变量也就被排除在该“一般”模型之外，从而使得该模型不能通过模型设定偏误的多种检验。一个“一般”的模型是能够进行诸如遗漏相关变量、多选无关变量以及误设函数形式的多种设定偏误检验的。,从一般到简单的约化建模过程,一旦建立了一个“一般”模型，就可对其进行约化（simplification research），寻找可能的简单模型。这往往是通过检验“嵌套”于其中的各种简单模型进行的。主要包括（1）各种“约束”检验与（2）设定偏误检验，等。,一般模型的约化过程，是一个自上而下（top-down）逐级化简的建模过程。只有当观测数据不支
12、持约束条件时，才退回到上一级，检验其他可能的约束，或者得到最终模型。,“从一般到简单”的建模程序面临的主要问题在于无法在两个没有嵌套关系的模型间进行选择。,这时，可能通过通常的拟合优度检验、池赤信息准则来帮助决策，更主要的检验是非嵌套假设检验。,三、非嵌套假设检验,假设要检验下面两个非嵌套模型：H0: Y=0+ 1X+ 2Z+H1: Y=0+ 1X+2W+,该两模型之间没有嵌套关系，无法进行约束检验。同时，H0与H1不是对立假设，拒绝假设H0未必意味着接受假设H1。因此，通常的假设检验程序无法直接使用。,于是，可针对一般模型(*)分别检验H0与H1 。,(*),为此，一种称为包容性F检验（en
13、compassing F tests）被提了出来。这种检验是人为地构造一个“一般”模型：,包容性F检验主要存在以下问题: (1)人为构造的一般模型没有实际的经济意义，尤其在H0与H1分别反映两种对立的经济理论的情况下更是如此； (2)有可能出现同时接受或拒绝H0与H1的现象； (3)当Z与W高度相关时，往往导致既不能拒绝H0 ，也不能拒绝H1 ，因为在一般模型中去掉任何一个变量，都不会使拟合优度下降很多。,另一个解决办法是建立如下的一般模型：,如果=0，则为模型H0，如果=1，则为模型H1。因此，可通过检验施加的约束=0是否为真来判断H0是否为正选模型。问题：由该模型无法直接估计出的值。戴维森
14、（Davidson）和麦金农（Mackinnon）建议通过下面步骤估计：,第一步，对模型H1进行OLS估计，得到：,第二步，用估计的代替“一般模型”中的 0+ 1X+2W，并进行OLS估计：,戴维森和麦金农证明：在大样本下，H0为真时，的OLS估计量的t统计量服从标准正态分布：tN(0,1)。,因此，如果的t统计量的绝对值大于给定显著性水平下的临界值，就拒绝模型H0。,如果要检验模型H1是否为真，仍可通过上面两个步骤进行，但需先对H0进行OLS估计，得到，以它为另一解释变量估计如下模型：,如果显著地异于0，则拒绝模型H1为真的假设。,该非嵌套假设检验也被称为J检验 （J test），因为需将两
15、非嵌套模型联合起来进行参数的联合估计（joint estimation）。 注意：(1)拒绝H0(或H1)不意味着接受H1(或H0)；(2)J检验仍然存在同时接受或拒绝H0与H1的现象。,四、约化模型的准则,从一般到简单的建模过程，同样存在着数据开采问题。一个“一般”模型经过k步约化后得到最终的简化模型，可以证明，每一步中的名义显著性水平与最终模型中各种检验的实际显著性水平*间有如下关系：*=1-(1- )k,然而，与“从简单到复杂”这一传统建模方法相比，“从一般到简单”的建模过程能够展现模型建立的全过程； 同时建模过程的程式化（systematic manner）也避免了过度的“数据开采”问
16、题。 由于一定程度的数据开采不可避免， “从一般到简单”建模理论倡导更加关注模型的样本外预测（out-of-sample forecast）。,“从一般到简单”的建模方法，初始模型就可能包括了所有的相关变量，没有必要再进行遗漏相关变量的设定偏误检验。 “从一般到简单”的建模过程本身就是一项 十分艰巨复杂的工作。各约化步骤往往是需要反复进行的，约化步骤的顺序也需要灵活按排。,从实践上看，由于各种因素的影响，所建立的最终的简化模型不一定就是最“理想”的模型。 亨德瑞给出了一个约化模型的基本准则：第一，模型必须具有数据一致(data-coherent)性，即模型能够正确地解释已有的数据。约化过程中需不断进行设定偏误检验。第二，模型必须与经济理论相一致（consistent with economic theory）。,
