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1、1,概率论与数理统计,第一章 随机事件及其概率,如掷一颗均匀骰子，出现2点为随机事件 出现点数小于7为必然事件 出现点数大于6为不可能事件,如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .,掷出奇数点,掷出1点,随机事件,3,二、事件间的关系及其运算,2、事件的包含 ：A发生则B发生,1、事件A发生：A中的一个样本点出现时.,3、事件的相等,4、事件的并(和),表示 A,B至少有一个发生,n个事件的并(和),表示 至少有一个发生,4,5、事件的交(积),：A,B同时发生,6、事件的差A-B：,7、互斥事件A,B ：,8、对立事件A,B：,记作,. 显然,A发生而B不发生,（A,B不可能同时发生）,若 两两
2、互斥，且,则称 为完备事件组,或称 为 的一个划分,9、完备事件组 ：,6,10、交、并事件的运算规律,b) 结合律:,a) 交换律:,c) 对偶律:,7,例1、从一批产品中进行3次不放回抽样检查，,(1) 用事件的运算符号表示下列事件：,c) 三次中恰有两次取到合格品,8,例1、从一批产品中进行3次不放回抽样检查，,(2) 用文字叙述下列事件：,：三次中至少有一次取到次品,：三次都取到次品,：前两次都取到次品,：后两次中至少有一次取到次品,9,练习1：一名射手连续向某个目标射击三次,Ai=该射手第i次射击时击中目标 (i=1,2,3).,试用事件的运算符号表示下列事件：,(1)第二次未中：,
3、(2)三次中至少一次中：,(3)三次中只有第三次中：,(4)三次都击中：,10,(5)后两次至少有一次未中：,(7)三次都不击中：,(6)三次中恰好两次中：,11,三、古典概型,例1、从一副扑克牌任取一张，为K的概率是从一副扑克牌任取两张，为两张K的概率是,4/54 = 2/27.,12,例2、一个箱子中有4个红球，8个白球，试分别以： （1）从箱子中任取一个球，观看颜色后放回箱中，再任取一个球； （2）从箱子中任取一个球，不放回箱子，再任取一个球； （3）从箱子中一次性取两个球；这三种取球方式求事件A=取得两个红球、 B=取得一个红球一个白球 的概率.,13,14,例3：两封信随机地投至、
4、4个邮筒，求第2个邮筒恰好被投入一封信的概率。,解：,15,练习2：7件产品中有3件次品4件合格品，从中任取4件，求其中恰有2件次品的概率.,解：,16,练习3：将4个人随机地分到10间房中，每间房能容纳的人数不限，求下列事件的概率： （1）A=恰有4间房中各有一人 （2）B =第一间房是空的,解：,17,练习4：10把钥匙中有3把能打开大门，今任取两把，求能打开大门的概率。,解：即求任取两把钥匙中至少有一把可以打开大门的概率，它包含的事件如下1把钥匙可以打开大门；两把钥匙都可以打开大门；因此 所求概率为,18,四、概率的性质,19,例1、已知P(A)=1/4， P(B)= 1/2 ，就下列三
5、种情况求,20,例2、已知,求,21,练习5：已知P(A)=1/4， P(B)= 1/2 ，就下列三种情况求,解：,22,五、条件概率,1、条件概率的计算方法,（1）利用公式 求得； （2）缩减样本空间法。,24,例2、给定甲乙两城市，设A=甲市下雨， B=乙市下雨，已知,求,25,练习、掷一颗均匀骰子一次，A=掷出2点， B=掷出偶数点，C=掷出奇数点，,求P(A|B)， P(A|C),26,六、乘法法则,例1（1）,ABC,27,解：,（可直接按古典概型算,例1（2）,ABC,28,解：,29,（可直接按古典概型算,30,七、全概率定理与贝叶斯定理,若事件 （原因）都可以导致事件B（结果）
6、发生，且 发生的概率 以及 在 发生的条件下事件B发生的概率都是已知的，则,(1) 全概率公式定理(由因推果)：事件B发生的概率,全概率公式,（由原因推结果）,32,七、全概率定理与贝叶斯定理,若事件 （原因）都可以导致事件B（结果）发生，且 发生的概率 以及 在 发生的条件下事件B发生的概率都是已知的，则,(2) 贝叶斯公式(由果寻因)：事件B发生是由事件 Ai 引起的概率,全概率和贝叶斯公式的使用,我们把事件B看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,则我们可用全概率公式计算结果发生的概率,如果已知结果B已经发生，要求此时是由第 i
7、个原因引起的概率， 则用贝叶斯公式,34,例1、市场上供应的灯泡中，70来自甲厂， 30来自乙厂，已知甲乙两厂灯泡的次品率分 别是5和20。若用事件 分别表示灯泡来自甲乙两厂， 事件B 表示灯泡为次品， （1）求市场上灯泡的次品率； （2）假如现在从市场上抽出1个次品，试判断它是由甲厂生产的概率。,35,36,八、独立事件,1、事件独立的定义：若P(A|B)= P(A)，则称 事件A、B相互独立，简称A、B独立.,2、A、B独立的充要条件是,由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立 .,（即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率）,注 在实际应用中，我们一般是根据问题的实际
8、意义去判断两事件是否相互独立.,38,(1) 若 相互独立，则中每一对事件都相互独立；,(2) 若 相互独立，则,(3) 若 相互独立，则,3、事件独立的性质,例1 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？,解：将三人编号为1，2，3，,所求为 P(A1+A2+A3),记 Ai=第i个人破译出密码 i=1,2,3,1,2,3,39,已知, P(A1)=1/5, P(A2)=1/3, P(A3)=1/4,P(A1+A2+A3),40,练习7,加工某一零件共需经过四道工序,设第一、,二、三、四道工序的次品率,3%,假定各道工序是互不影响的,求加工出来的,零件的次品率.,分别是2%, 3%, 5%,解,设,为四道工序发生次品事件,41,42,4、n重伯努利试验：在每次试验中，事件A或者发生或者不发生且P(A)= p (0p1). 假设各次试验结果相互独立，则将这样的n次重复试验称为n重伯努利试验。,5、伯努利定理：n重伯努利试验中，设 则事件A恰好发生k次的概率为,43,例2、一条自动生产线上产品的一级品率为0.6, 现检查了10件, 求至少有两件一级品的概率.,解：,44,
