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1、第五章 解线性方程组的直接方法,内容提要 5.1 引言与预备知识 5.2 高斯消去法 5.3 矩阵三角分解法 5.4 向量与矩阵的范数 5.5 误差分析,5.1 引言,关于线性方程组的数值解法一般有两类： 1、直接解法：经过有限次的算术运算，可求得方程组精确 解的方法（若计算过程中没有舍入误差）。但实际计算中由 于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得线性方程组 的近似解。本章主要研究此类问题的解法。 2、迭代法：用某种极限过程去逐步逼近现行方程组精确解 的方法。迭代法具有需要计算机的存储单元较少、程序设计 简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点。,5.2 高斯消去法 （一）高斯消去法
2、,在求解三角方程组,得,高斯消去法的条件,（二） 高斯主元素消去法,列主元消去法,5.3 矩阵三角分解法,Ax=b是线性方程组,A是nn方阵,并设A的各阶顺序主 子式不为零。令 A(1)=A,当高斯消元法进行第一步后,相当于 用一个初等矩阵左乘A(1) 。不难看出，这个初等矩阵为,重复这个过程，最后得到,一般地,这就是说，高斯消去法实质上产生了一个将A分解为 两个三角形矩阵相乘的因式分解，于是我们得到如下重要 定理。,当A进行LU分解后，Ax=b就容易解了. 即Ax=b等价于:,追赶法在一些实际问题中， 例如解常微分方程边值问题，热传导方程以及船体数学放样中建立三次样条函数等，都会要求解系数矩
3、阵为对角占优的三对角线方程组,其中|i-j|1时,aij=0,且满足如下的对角占优条件: (1)|b1|c1|0,|bn|an|0 (2)|bi|ai|+|ci|, aici0, i=2,3,n-1.,5.5 向量和矩阵的范数,定义1 ( 向量范数) x 和 y 是 Rn 中的任意向量 , 向量范数是定义 在 Rn上的实值函数, 它满足:,(1) x 0, 并且当且仅当 x=0 时, x =0;,(2) k x =|k| x , k 是一个实数;,(3) x + y x + y ,常使用的向量范数有三种,设 x=(x1,x2,xn)T,常使用的矩阵范数有三种,设 x=(x1,x2,xn)T,5
4、.6 误差分析,知 识 结 构 图 五,直 接 法 解 方 程 组,高斯消 去法,矩阵的正交三 角化及应用,定义 常用范数 范数的性质,初等反射阵 平面旋转变换矩阵 矩阵的QR分解 应用：求解超定方程组,高斯消去法 高斯若当消去法 列主元消去法,矩阵三角 分解法,LU分解 平方根分解 LDLT分解,追赶法解三对角方程组,向量和矩 阵的范数,矩阵条件数及迭代改善法,第六章解线性代数方程组 的迭代法,内容提要 6.1 引言 6.2 基本迭代法 6.3 迭代法的收敛性,也就是 AX=b 低阶稠密的线性方程组用直接法(如高斯消去法和三角分解法)是有效的，但对于由工程技术中产生的大型稀疏矩阵方程组,利用
5、迭代法求解是适合的。,考虑线性方程组,6.1 引言,大型稀疏非带状的线性方程组(n很大,且零元素很多.如偏微方 程数值解产生的线性方程组,n104)的求解问题？ 在计算机内存和运算两方面，迭代法通常都可以利用A中有大 量零元素的特点。 本章将介绍迭代法的一般理论及雅可比迭代法、高斯塞德尔 迭代法、超松弛迭代法，研究它们的收敛性。,6.2 基本迭代,一、雅可比迭代法,二、高斯塞德尔迭代法,SOR迭代法的计算公式:对k=0,1,三、逐次超松驰(SOR)迭代法,说明: 1)=1,即为GS（高斯-赛德尔迭代法）;2)1超松驰,1低松驰;,例6-3 用SOR迭代法解线性代数方程组,6.3 迭代法的收敛性
6、 一、一阶定常迭代法的基本定理,迭代的统一格式：x(k+1)=Bx(k)+f,1) 雅可比迭代法: BJ=D-1(L+U)，fJ=D-1b; 2) 高斯-赛德尔迭代法: BG=(D-L)-1U，fG= =(D-L)-1b; 3) SOR迭代法: BSOR=(D-wL)-1(1-w)D+wU，fSOR= w(D-wL)-1b.,例6-5 考察用雅可比迭代法求解线性方程组,二、某些特殊方程组的迭代收敛性,定义3 （1）按行严格对角占优,（2）按行弱对角占优,上式至少有一个不等号严格成立。,定理6(对角占优定理)若矩阵A按行(或列)严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优且不可约；则矩阵A非奇异。,定
7、理7 若矩阵A按行(或列)严格对角占优,或按行(或列)弱对角占优不可约；则Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代都收敛。,定理9 对于线性方程组Ax=b，若A为对称正定矩阵，则当02时，SOR迭代收敛。,定理10 对于线性代数方程组Ax=b， 若A按行(或列)严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优不可约；则当0w1时，SOR迭代收敛。,知 识 结 构 图 六,迭 代 法 解 方 程 组,迭代法基本概念,高斯-赛德 尔迭代法,迭代格式 收敛条件（充要条件、充分条件四个）,SQR迭代法,迭代法收敛速度,雅可比迭代法,迭代格式 收敛条件（充要条件、充分条件四个）,迭代格式 收敛条件（充要条件、必要条件、充分条件五个）,End!,
