《高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.3空间图形的基本关系与公理课件文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.3空间图形的基本关系与公理课件文（63页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8.3 空间图形的基本关系与公理,第八章 立体几何与空间向量,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.四个公理 公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过 的三点，有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 过该点的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 .,知识梳理,两点,不在一条直线上,有且只有一条,平行,(2)异面直线所成的角 定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的 叫作异面直线a与b所成的角(或夹角).范围： .,2.直线与直线的
2、位置关系 (1)位置关系的分类,平行,相交,任何,锐角(或直角),3.直线与平面的位置关系有 、 、_三种情况. 4.平面与平面的位置关系有 、 两种情况. 5.等角定理 空间中如果两个角的 ，那么这两个角相等或互补.,直线在平面内,直线与平面相交,直线与,平面平行,平行,相交,两边分别对应平行,1.唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 2.异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直
3、线.,【知识拓展】,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.( ) (2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线.( ) (3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( ) (4)经过两条相交直线，有且只有一个平面.( ) (5)没有公共点的两条直线是异面直线.( ) (6)若a，b是两条直线，是两个平面，且a，b，则a，b是异面直线.( ),基础自测,1,2,4,5,6,3,题组二 教材改编 2.如图所示，已知M，N分别是正方体ABCDA1B1C1D1中BB1和B1C1的
4、中点，则MN与CD1所成的角为_.,1,2,4,5,6,解析,3,答案,解析 连接AD1，AC，因为M，N分别是正方体ABCDA1B1C1D1中BB1和B1C1的中点， 所以AD1MN，故AD1C为MN与CD1所成的角或其补角， 由于ACAD1D1C，故AD1C60， 则MN与CD1所成的角为60.,60,3.如图，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱 AB，BC，CD，DA的中点，则 (1)当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为正方形.,1,2,4,5,6,答案,3,ACBD,解析,解析 四边形EFGH为菱形， EFEH，故AC
5、BD.,解析 四边形EFGH为正方形，EFEH且EFEH，,ACBD且ACBD,题组三 易错自纠 4.若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则 A.过点P有且仅有一条直线与l，m都平行 B.过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直 C.过点P有且仅有一条直线与l，m都相交 D.过点P有且仅有一条直线与l，m都异面,解析,1,2,4,5,6,答案,3,解析 A项，设过点P的直线为n，若n与l，m都平行，则l，m平行，与l，m异面矛盾，A错； B项，l，m只有唯一的公垂线，而过点P与公垂线平行的直线只有1条，B对；,1,2,4,5,6,3,C项，如图所示，在正方体ABCDABCD中，设AD为直线l，A
6、B为直线m，若点P在P1点，显然无法作出直线与两直线都相交，C错；,D项，若P在P2点，则直线CC及DP2均与l，m异面，D错.,5.下列命题正确的有_.(填序号) 若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内； 若直线l上有无数个点不在平面内，则l与平面平行； 若直线l与平面相交，则l与平面内的任意直线都是异面直线； 如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交； 若直线l与平面平行，则l与平面内的直线平行或异面.,1,2,4,5,6,答案,3,解析,解析 正确； 错误，直线l与平面相交时，仍有无数个点不在平面内； 错误，直线l与平面内过该交点的直线不是异面直线； 错误，
7、另一条直线可能在该平面内； 正确.,1,2,4,5,6,3,解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位 置的变化， 则AB，CD，EF和GH在原正方体中， 显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线， 而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行. 故互为异面的直线有且只有3对.,6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为_.,解析,1,2,4,5,6,答案,3,3,题型分类 深度剖析,典例 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证： (1)E，C，D1，F四点共面；,题型一 平面基本
8、性质的应用,师生共研,证明,证明 如图，连接EF，CD1，A1B. E，F分别是AB，AA1的中点，EFBA1. 又A1BD1C，EFCD1， E，C，D1，F四点共面.,(2)CE，D1F，DA三线共点.,证明,证明 EFCD1，EFCD1， CE与D1F必相交， 设交点为P，如图所示. 则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD. 同理P平面ADD1A1. 又平面ABCD平面ADD1A1DA， P直线DA，CE，D1F，DA三线共点.,共面、共线、共点问题的证明 (1)证明点或线共面问题的两种方法：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所
9、有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合. (2)证明点共线问题的两种方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.,跟踪训练 已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，ACBDP，A1C1EFQ，求证： (1)D，B，F，E四点共面；,证明,证明 如图.EF是D1B1C1的中位线， EFB1D1. 在正方体AC1中，B1D1BD， EFBD. EF，DB确定一个平面， 即D，B，F，E四点共面.,(2)若A1C交平面BD
10、EF于R点，则P，Q，R三点共线.,证明,证明 在正方体AC1中，设A1ACC1确定的平面为，平面BDEF为. QA1C1，Q. 又QEF，Q，则Q是与的公共点， PQ. 又A1CR，RA1C，R，且R，则RPQ，故P，Q，R三点共线.,典例 (1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是 A.l与l1，l2都不相交 B.l与l1，l2都相交 C.l至多与l1，l2中的一条相交 D.l至少与l1，l2中的一条相交,解析,题型二 判断空间两直线的位置关系,师生共研,答案,解析 方法一 由于l与直线l1，l2分别共面， 故直线l与l1，l2要
11、么都不相交， 要么至少与l1，l2中的一条相交. 若ll1，ll2， 则l1l2，这与l1，l2是异面直线矛盾. 故l至少与l1，l2中的一条相交. 方法二 如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交， 故A，B不正确； 如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.,(2)(2017唐山一中月考)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_.(填上所有正确答案的序号),解析,答案,解析 在图中，直线GHMN； 在图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，NGH， 因此直线GH与MN异面； 在图中，连接GM，G
12、MHN，因此GH与MN共面； 在图中，G，M，N共面，但H平面GMN，GMN， 因此GH与MN异面. 所以在图中GH与MN异面.,空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.,解析 若直线a和直线b相交，则平面和平面相交； 若平面和平面相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交， 故选A.,跟踪训练 (1)(2016山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”
13、的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件,答案,解析,(2)已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论： 若ab，ac，则bc；若ab，ac，则bc；若ab，bc，则ac. 其中正确的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3,答案,解析 在空间中，若ab，ac， 则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面， 所以错，显然成立.,解析,题型三 求两条异面直线所成的角,师生共研,典例 (2018南宁模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，则异面直线A1B 与AD1所成角的余弦值为,解析,答案,解析 连接
14、BC1，易证BC1AD1， 则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1， 由AB1，AA12，,AB1，AA1t.,解答,用平移法求异面直线所成的角的三步法 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角； (3)三求：解三角形，求出所作的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.,跟踪训练 在如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱B1B，AD的中点，则异面直线BF与D1E所成角的余弦值为,答案,解析,解析 如图，过E点作EMAB， 过M点作MNAD，取MN
15、的中点G， 所以平面EMN平面ABCD，EGBF， 异面直线BF与D1E所成的角，转化为D1EG， 不妨设正方体的棱长为2，,典例 已知m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题： 若m，n，mn，则； 若m，n，mn，则； 若m，n，mn，则； 若m，n，则mn. 其中所有正确的命题是_.(填序号),构造模型判断空间线面位置关系,思想方法,答案,思想方法指导,解析,思想方法指导 本题可通过构造模型法完成，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后利用模型直观地对问题作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误.对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断.,
