《§1.1波函数的统计诠释§1.2Schrdinger方程§1.3量子态叠》由会员分享，可在线阅读，更多相关《§1.1波函数的统计诠释§1.2Schrdinger方程§1.3量子态叠（66页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.1 波函数的统计诠释 1.2 Schrdinger 方程 1.3 量子态叠加原理,第 1 章 波函数与Schringer方程,1.1.1 实物粒子的波动性,假定：与一定能量 E 和动量 p 的实物粒子相联系的波（称之为“物质波”）的频率和波长分别为：,根据Planck-Einstein 光量子论，光具有波动粒子二重性，以及Bohr量子论，启发了de. Broglie，他 （1）仔细分析了光的微粒说与波动说的发展史； （2）注意到了几何光学与经典力学的相似性，提出了实物粒子 （静质量 m 0 的粒子）也具有波动性。也就是说，粒子 和光一样也具有波动-粒子二重性，二方面必有类似的关系 相联系。
2、,1.1 波函数的统计诠释,这就称为de. Broglie关系。,举例,(1) 气体分子的热运动,气体分子的热运动的动能为,相应的物质波的波长为,(2)原子中电子的运动,(3)原子中原子核的运动，核子的动能约为E20MeV,如对氧分子，室温下可得0.026nm，远小于分子的自由程， 因此分子的热运动可作经典力学处理。,电子的动能约为10eV，其波长0.39nm，与原子半径的量级 相同，需要用量子力学处理,(4) 宏观粒子的德布罗意波长,(1) 汤姆逊实验,1927年，Davison and Germer在实验中，让电子束通过薄金属膜后射到照相底片上，结果发现，与X射线通过金箔时一样，也产生了清
3、晰的电子衍射图样。,(2) 电子通过狭缝的衍射实验： 1961年，约恩孙 (Jonsson)制成长为50mm，宽为0.3mm ， 缝间距为1.0mm的多缝。用50V的加速电压加速电子，使电 子束分别通过单缝、双缝等，均得到衍射图样。,实验验证,60个碳原子所组成 外型象英式足球 对称性最高的球状分子 迄今为止实验上观测到其波动性的质量 最重、结构最复杂的粒子,(3) 最大的实物粒子的波动性实验：C60的双缝干涉实验,C60的双缝干涉实验示意图,(4) 量子围栏 1993年，Crommie等人用扫描隧道显微镜技术，把蒸发到铜（111）表面上的铁原子排列成半径为7.13nm的圆环形量子围栏，用实验
4、观测到了在围栏内形成的同心圆状的驻波(“量子围栏”)，直观地证实了电子的波动性。,R. P. Feynman: “-a phenomenon which is impossible, absolutely impossible, to explain in any classical way, and which has in the heart of quantum mechanics, -we can not make the mystery go away by explaining how it works. We will just tell you how it works.” 一
5、个处于量子力学核心的、不可能、绝对不可能用任何 经典方法解释的现象。我们解释不了它的神秘之处，只 能描述它是如何形成的。,实物粒子波动性的理解,经典粒子与经典波的双缝实验,子弹,经典波,子弹的密度分布,对经典波,子弹经过缝1(2)的运动轨道与缝2(1)的存在与否没有关系,对于子弹,分别打开缝1和缝2时的声波,两缝齐打开时的声波,由于存在干涉项，经典波的强度分布与经典粒子的密度分布大不相同,声波的强度,用电子代替声波会得到相似的结果，如何理解?,问题1：每个电子是如何通过小孔的？说：一个电子不是通过孔1 就是通过孔2 是否正确？,结论： 电子作为粒子总是以完整的颗粒形式到达屏，电子到达屏 上某处
6、的概率分布就像波的强度分布。正是从这个意义上 说，电子的行为有时像粒子，有时像波。,问题2： 能够设计出一种仪器来确定电子时经过哪个小孔，同时 又不使电子受到足以破坏其干涉图样？,1.1.2 波粒二象性分析,1. 电子是波包 把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。 什么是波包？ 波包是各种波数（长）平面波的迭加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的， 与实验事实相矛盾。,两种错误观点
7、,在电子衍射实验中，电子波碰到晶体后发生衍射，衍射波沿不同 方向传播出去。如果将电子看成是三维波包，则在空间不同方向 观测到的只能是“电子的一部分”。但实验上测得的总是一个个 的电子，各具有一定的质量和电荷。,电子时三维空间中连续分布的某种物质波包,在非相对论情况下，自由粒子的能量为,利用de Broglie关系可得电子的园频率为,波包的群速度(波包中心的运动速度)为,但,即自由粒子的物质波包必然要扩散。,结论： 物质波包的观点夸大了波动性的一面，而抹杀了粒子性的 一面,2.波由粒子组成的疏密波,如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子
8、衍射实验。电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。,事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。,电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ 实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小1 。 以现代的实验精度极限，已经证实，在量级为10-8m 的尺度下，未观测到电子有尺度效应。 “ 电子既不是粒子也
9、不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们也可以说， “ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。,1.1.3 概率波、多粒子体系的波函数,电子单缝实验的再分析,1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍 射图样;,2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样.,在底片上r点附近干涉花样的强度： 在r附近感光点的数目 在r 附近出现的电子数目 电子出现在r附近的概率。,衍射波波幅用 (r) 描述，与光学相似，衍射花纹的强度则用 |(r)|2 描述，但意义与经典波不同。,|(r)|2 的意义是代表电子出现
10、在 r 点附近几率的大小， 确切的说，|(r)|2 xyz 表示在 r 点处，在体积元xyz中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）与在这点找到粒子的几率成比例，,概率波（Born, 1926)：量子力学中波函数所描述的，并不像经典 波那样代表实际物理量的波动，只不过时刻画粒子在空间的概率 分布的概率波(probability wave)而已。 它把微观粒子的原子性（颗粒性）与波的相干性统一起来了。,据此，描写粒子的波可以认为是几率波，这种几率波反映了微观客体运动的一种统计规律性，波函数(r)有时也称为几率幅。这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释，它是量子力学的基
11、本原理（基本假定）。,按照波函数的统计诠释，自然要求粒子在空间各点出现的概率 之和为1，即波函数应满足下面的归一化条件,在空间各点的相对概率分布,显然，与C所描述的相对概率分布式相同的，这点与经典波不同。,波函数的归一化：,波函数的相位不确定性,根据Born统计解释 (r, t) = *(r, t) (r, t)是粒子在t时刻出现在 r点的几率密度，这是一个确定的数，所以要求(r, t)应是 r, t的单值函数且有限； 又因为Schrdinger 方程是微分方程，所以要求(r, t)应连续。这样就得到了,波函数标准条件：波函数应单值、有限、连续。,则,多粒子体系的波函数,两粒子体系的波函数,表
12、示测得粒子1在空间体元(r1,r1+dr1)中，同时粒子2在空间体元 (r2,r2+dr2)中的概率。,N个粒子体系的波函数,物理意义：,物理意义：,表示,测得粒子1在空间体元(r1,r1+dr1)中， 同时粒子2在空间体元(r2,r2+dr2)中， 同时粒子N在空间体元(rN,rN+drN)中的概率。,归一化条件,引进符号,代表对体系的全部坐标空间进行积分，如,对一维粒子，,对二维粒子，,对三维粒子，,对N个粒子组成的体系，,归一化条件,练习 1 设,求粒子位置的概率分布。此波函数能否归一化？,练习 2 设,为常数，求归一化常数A,求粒子位置的概率分布。此波函数能否归一化？,练习 3 设,求
13、在(x, x+dx)范围内找到粒子的概率。,练习 4 设粒子的波函数是,求： (1) 粒子在球壳(r, r+dr)范围内被测到的概率。 (2) 在（，）方向的立体角d=sin d d 中找到粒子 的概率,练习 5 设用球坐标表示，粒子的波函数是,1.1.4 动量分布概率,波函数的Fourier展开,其中,问题：按波函数的统计诠释，波函数模的平方代表在空间r点 找到粒子的概率密度？如果测量其它力学量，其概率分布如何？,粒子的动量为p的概率正比于,可证明：,电子的动量分布如何测量 -电子衍射实验分析,证明：,设电子（动量p）沿垂直方向入射到单 晶表面，即入射波是具有一定波长的平 面波，则衍射波将按
14、照一定的角度衍射， 衍射角由Bragg公式确定,如果入射波是一个波包，它的每一个Fourier分波将按各自的角 分布出射，衍射波将分解成一个波谱。沿角衍射的波的幅度 f()正比于入射波包中相应的Fourier分波的幅度。,衍射过程中，波长未变，即粒子的动量大小未变，只有方向改变， 因此衍射波谱的分布反映了衍射前粒子的动量分布。,1.1.5 不确定度关系,波函数的统计诠释：保留了经典波的相干叠加性，摒弃了实在物 理量在三维空间中的波动性；保留了经典粒子的原子性或颗粒性， 摒弃了经典粒子运动的概念。,经典粒子的概念究竟在多大程度上用微观世界？,1927， W. Heisenberg 不确定性关系,
15、例题1 设一维粒子具有确定的动量p0，即动量的不确定度为p=0， 相应的波函数为,则,即粒子在空间各点的概率相同，粒子位置完全不确定,例题2 一维粒子具有确定的位置x0，即位置不确定度为x=0，相应 的波函数为,其Fourier展开为,则,即粒子动量取各种值的概率相同，动量完全不确定， p=,例题3 Gauss波包,则,粒子主要局限在,即,(x)的Fourier展开是,则,所以,则对Gauss波包，有,利用德布罗意关系得,微观粒子的位置（坐标）和动量不能同时具有完全确定的值，这是 波粒二象性的反映。,不确定性关系,或者表述为：假如对任一客体进行测量，以不确定量p测定其 动量的x分量时，就不可能
16、同时测定其位置比x=h/p更准确。,问题1 不确定性关系与我们的日常生活有无矛盾?,如一粒尘埃，直径1m, 质量m10-12g，速度v0.1cm/s， 则其 动量p=mv10-13g cm/s.设其位置精度x1埃，由不确定性关系 可得p10-19g cm/s,则p/p10-6 ，而对这种粒子的任何实际测 量的相对精度都没达到10-6，因此即使像尘埃那样的粒子经典力学 的概念仍然适用。,问题2 原子核的组成问题,考虑衰变(原子核自发地放出高速电子)。原子核的半径10-12m, 若电子时原子核的组成粒子，则其位置不确定度x10-12m, 由不确定性关系得p10-15gcm/s. 从数量级上考虑p p,因此电子的能量,而所有原子核在衰变中放出电子的能量,结论：在衰变中放出的电子并不是原子核的一个组成粒子，而是 在衰变过程中产生的。,问题3 估计物质结构的不同层次的特征能量,
