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1、,1.1.1 变化率问题,人教A版高中数学选修2-2,为了描写现实世界中运动、变化着的现象，,在数学中引入了函数.,刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念.,随着对函数的研究的不断深化,产生了微积分.,它是数学发展史上继欧氏几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造.,被誉为数学史上的里程碑.,创设情境,恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始、微积分的建立 称为17世纪数学的三大成就。,创设情境,导数是微积分的核心概念之一.,它是研究函数增减、变化快慢，最值 等问题的最一般、最有效的工具.,现有某市某年3月和4月某天日最高气温记载:,情境探究：气温变化,这几天的温度变化情况，
2、用曲线表示为:,（注: 3月18日为第一天）,问题1：A到B和B到C这两段时间哪一段的温度差较大？问题2：能不能说“温度差越大，气温变化越快？”问题3：用什么量来表示气温变化快慢程度？,观察、思考、回答：,情境探究：气温变化,问题2：能不能说“温度差越大，气温变化越快？”,问题1：A到B和B到C这两段时间哪一段的温度差较大？,AB段：,BC段：,温差,温差,=,=,=,=,时间差,=,时间差,=,=,=,情境探究：气温变化,问题3：用什么量来表示气温变化快慢程度？,情境探究：气温变化,问题4：如果把气温C看作时间t的函数，即C=f(t),则t1至t2这段时间内气温的平均变化率如何表示？,温度的
3、变化量,时间的变化量,情境探究：气温变化,例：某位运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：求该运动员在以下时间段内的平均速度：,解：,情境探究：高台跳水,情境探究：高台跳水,平均速度的大小,平均速度的正负,高度h变化快慢,h从小变大,h从大变小,问题：若我们把前面两个函数都记作 , 这两个问题的共同特征是什么？,函数值的变化量,自变量的变化量,数学建构，概念形成,=,我们把式子： 称为函数 从 到 的平均变化率。,平均变化率表示为：,数学建构，概念形成,1、式子中x 、y 的值可正、可负，但 的x值不能为0，y 的值可以为0。,2、变式:,数学建构，概念形
4、成,直线(割线）AB的斜率,平均变化率 的几何意义：,观察函数f(x)的图象， 平均变化率表示什么?,数学建构，概念形成,(1)曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,无形不直观无数不入微,(3)平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”.,注:,数学建构，概念形成,例1.（2）已知f(x)=x2,分别求其在下列区间上的平均变化率。,例1.（1）已知f(x)=3x+1,分别求其在下列区间上的平均变化率。,实践反馈，巩固新知,例1.（1）已知f(x)=3x+1,分别求其在下列区间上的平均变化率。,实践反馈，巩固新知,解： 3 因为,所以，f(x)在
5、 上的平均变化率为：,解：0 因为,例1.（2）已知f(x)=x2,分别求其在下列区间上的平均变化率。,实践反馈，巩固新知,所以，f(x)在 上的平均变化率为：,平均速度不能精确描述运动员的运动状态。,情境探究：高台跳水,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.,如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?,求：从2s到(2+t)s这段时间内平均速度,当t = 0.01时,当t = 0.01时,当t = 0.001时,当t =0.001时,当t = 0.0001时,当t =0.0001时,t = 0.00001,t = 0.00001,t = 0.000001,t =0.000001,平
6、均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.,如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?,当 t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 13.1.,从物理的角度看, 时间间隔 |t |无限变小时, 平均速度 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 13.1.,表示“当t =2, t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值 13.1”.,从2s到(2+t)s这段时间内平均速度,探 究:,1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示? 2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率
7、怎样表示?,定义:,函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是,称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作,或 , 即,定义:,函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是,称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作,或 , 即,由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:,求函数的改变量 2. 求平均变化率 3. 求值,一差、二化、三极限,例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 f (x) = x2 7x+15
8、 ( 0x8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.,解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是,和,根据导数的定义,所以,同理可得,在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 / h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5 / h的速率上升.,例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 f (x) = x2 7x+15 ( 0x8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.,练习:
9、 计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率, 并说明它们的意义.,课堂练习: 如果质点A按规律 则在t=3s 时的瞬时速度为 A.6 B.18 C.54 D.81,练习：,实践反馈，巩固新知,【变式】向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量 y 与水深 x 的函数关系的图像如图所示,那么水瓶的形状 ( ),H,实践反馈，巩固新知,B,1.学到了哪些知识？,请分享这节课你的学习收获！,2.用到了哪些方法？,函数的平均变化率的概念； 利用平均变化率来分析解决实际问题,数形结合的思想方法; 从特殊到一般、从具体到抽象的推理方法； “以直代曲”的思想,总结反思,有待于进一步精确化，建立新的数学模型.,研究对象,变化,数学模型,不足之处,变化的快慢,平均变化率,需要严格的数学定义!,对变化过程的反映不够精细!,y2y1,不能反映变化的过程!,问题情境,数量化,视觉化,总结反思,美国康奈尔大学曾经做过一个有名的“青蛙试验”.试验人员把一只健壮的青蛙投入热水锅中，青蛙马上就感到了危险,拼命一纵便跳出了锅子.试验人员又把该青蛙投入冷水锅中,然后开始慢慢加热水锅.刚开始,青蛙自然悠哉游哉,毫无戒备.一段时间以后,锅里水的温度逐渐升高,而青蛙在缓慢的水温变化中却没有感到危险,最后,一只活蹦乱跳的健壮的青蛙竟活活地给煮死了.,课堂拓展,
