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1、第七章 最优化计算方法,一、实验目的:,第一节 线性方程组的应用,1、了解线性规划问题及可行解、最优解的概念 ;,2、掌握Matlab软件关于求解线性规划的语句和方法。,二、实验原理和方法:,在生活实践中,很多重要的实际问题都是线性的(至少能 够用线性函数很好的近似表示),所以我们一般把这些问 题化为线性的目标函数和约束条件进行分析,通常将目标 函数和约束都是线性表达式的规划问题称为线性规划 。,它的一般形式是:,也可以用矩阵形式来表示:,线性规划的可行解是满足约束条件的解;线性规划的最优解是使目标函数达到最优的可行解。,线性规划关于解的情况可以是:,1、无可行解,即不存在满足约束条件的解;,
2、2、有唯一最优解,即在可行解中有唯一的最有解;,4、有可行解,但由于目标函数值无界而无最优解。,3、有无穷最优解,即在可行解中有无穷个解都可使目标函数达到最优;,一般求解线性规划的常用方法是单纯形法和改进 的单纯形法,这类方法的基本思路是先求得一个可行 解,检验是否为最优解;若不是,可用迭代的方法找 到另一个更优的可行解,经过有限次迭代后,可以找 到可行解中的最优解或者判定无最优解。,三、内容与步骤:,在Matlab优化工具箱中,linprog函数是使用单纯形法求解 下述线性规划问题的函数。,它的命令格式为:,其中:A为约束条件矩阵,b,c分别为目标函数的系数向量和 约束条件中最右边的数值向量
3、;也可设置解向量的上界vlb和 下界vub,即解向量必须满足vlb=x=vub;还可预先设置 初始解向量x0。如没有不等式,而只有等式时,A= ,b= ; 输出的结果:x表示最优解向量;fval表示最优值。,【例 1】,求解线性规划问题:,解:考虑到linprog函数只解决形如的线性规划。所以先要将线性规划 变为如下形式:,然后建立M文件如下:,c=-3;1;1;A=1 -2 1;4 -1 -2;b=11;-3; aeq=2 0 -1;beq=-1;vlb=0;0;0; x,fval=linprog(c,A,b,aeq,beq,vlb),Matlab程序:ch701.m,以ch701作为文件名
4、保存此M文件后,在命令窗口 输入ch701后即可得到结果:,x = 4.00001.00009.0000,同时返回fval=-2,对应到原来的线性规划中即知目标函数的最大值为2,此时 x1=4,x2=1,x3=9。,第二节 无约束规划计算方法,一、实验目的,1、了解无约束规划问题的求解原理与方法 ;,2、会用Matlab软件求解无约束规划问题。,二、实验原理和方法,无约束规划问题的解法一般按目标函数的形式分为两大类: 一类是一元函数的一维搜索法,如黄金分割法、插值法等; 另一类是求解多元函数的下降迭代法。,迭代的基本思想和步骤大致可分为以下四步:,三、实验内容与步骤,在Matlab软件中,求解
5、无约束规划的常用命令是:,x=fminunc(fun,x0),其中,fun函数应预先定义到M文件中,并设置初始 解向量为x0。,【例 2】,求解,取,解:首先建立函数文件fun702.m,以fun702为文件名保存此函数文件。,在命令窗口输入:,x0=-2;4; x=fminunc(fun702,x0),结果显示:,f =-1.0000,x =1.00001.0000,即极小值为-1,是x1=1,x2=1时取得。,Matlab程序:ch702.m,【例 3】,解非线性方程组,解:解此非线性方程组等价于求解无约束非线性规划问题:,然后建立函数文件fun703.m,在命令窗口输入:,x0=0;0;
6、 x=fminunc(fun703,x0),结果显示: f =5.2979e-011x =1.06730.1392,则非线性方程组的解为x1=1.0673,x2=0.1392。,Matlab程序:ch703.m,第三节 约束非线性规划计算方法,一、实验目的,1、了解约束非线性规划问题的求解原理与方法;,2、会用Matlab软件求解约束非线性规划问题。,二、实验原理和方法,对于约束非线性规划,随着目标函数和约束条件的不同, 解法也不同,一般来说,有两类方法:,(1)、将约束问题化为无约束问题的求解方法;,(2)、用线性规划来逼近非线性规划;,三、实验内容与步骤,约束非线性规划的一般形式为:,其中
7、,f(x)为多元实值函数;g(x)为向量函数,并且f(x),g(x)中至少有一个函数是非线性函数的(否则成为线性规划问题)。,x=fmincon(fun,x0,A,b) x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon),在Matlab优化工具箱中,fmincon函数是用SQP算法来 解决一般的约束非线性规划的函数,它的命令格式为:,【例 4】,求解约束非线性规划:,(初值为1;1),解:首先建立一个m文件fun7041.m f
8、unction y=fun7041(x) y=-exp(x(1)*x(2)2*(3-exp(x(1)-x(2)2); 存储为fun7041.m,首先将问题转化为matlab要求的格式;即求出fun,A,b,Aeq,Beq,X0,Lb,Ub,然后建立一个 m文件 fun7042.m function c,cep=fun7042(x) c=; % c为非线性不等式,且为c=0 cep=exp(x(1)+x(2)2-3; % cep为非线性等式 然后存储为fun7042.m,最后在命令窗口中输入: A=;b=;Aeq=;Beq=;Lb=;Ub=; x,f=fmincon(fun7041,1;1,fu
9、n7042) -f,因题目中有非线性约束条件,所以建立非线性约束m-文件。,Matlab程序:ch704.m,结果为:,x = 0.88520.7592 f = 6.2043e-016 ans= - 6.2043e-016,最后的结果为: - 6.2043e-016,【例 5】,求解约束非线性规划:,解:首先建立一个m文件 fun705.m function y=fun705(x) y=(x(1)-1)2+(x(2)-2)2+(x(3)-3)2+(x(4)-4)2; 存储为fun705.m文件.,x0=1;1;1;1;A=1 1 1 1;3 3 2 1; B=5;10;Aeq=;Beq=; Lb=0;0;0;0; x,g=fmincon(fun705,x0,A,B,Aeq,Beq,Lb),答案为: x = 0.00000.66671.66652.6668 g =6.3333,Matlab程序:ch705.m,