电梯调度许雪敏-胡磊-袁志凯

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1、2009 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D 中选择一项填写）： 我们的参赛报名

2、号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名） ：河南科技大学 参赛队员(打印并签名 ) ：1. 袁志凯 2. 许雪敏 3. 胡磊 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名 )： 日期： 2010 年 8 月 30 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2009 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 1 高层办公楼电梯问题 一、摘要 商用写字楼的电梯拥挤

3、情况给公司及个人都带来了严重的不便。所以，对于一个商 用写字楼，对电梯进行合理的调度是至关重要的。 本文的目的就是建立合理的电梯调度方案，以解决某写字楼的电梯拥挤情况。 对于问题一， 首先采用极端假设的方法建立一个极端模型，即只考虑电梯的运行时 间，不考虑其他任何因素，对乘客进行运送。在不考虑实际情况时，此模型的运送时间 是最少的，但是，结果显示所需时间仍然超出了给定的40 分钟限制，这说明了在此前 情况下，无论如何都是无法完成对所有人的运送。然后考虑到该模型的不实际性，在此 基础上改进模型，即对所有楼层进行分段，每个电梯专门负责特定的楼层，并对此模型 进行求解，得到了在目前情况下的最优解。

4、对于问题二，在问题一的分析基础上，想要完成对所有人员的运送，必须对大楼的 电梯进行改进，比如可以适当的增加电梯，或者改用其他类型的电梯。针对此，我们建 立与问题一相反的模型，即固定电梯的运行速度（即类型），根据限定的时间倒推出需 要的最少电梯数目。并与实际情况（电梯费用等）相结合提出改进电梯的合理方案。 关键字：逆推法、动态规划、多目标规划 2 二、问题重述 在早上 8 点 20 分到 9 点 00 分这段时间里， 商用写字楼里上班的人陆续到达，底楼 等电梯的地方人山人海，电梯显得供不应求，这就让候梯的人焦急万分。公司为了从根 本上解决这个问题，强烈要求设计一个合理有效的电梯调度运行方案。 (

5、1) 各层楼的办公人数如下表： 表 l 各楼层办公人数（个）一览表 楼层人数楼层人数楼层人数楼层人数 1 2 3 4 5 6 7 8 208 177 222 130 181 191 236 9 10 11 12 13 14 15 16 236 139 272 272 272 270 300 264 17 18 19 20 21 22 23 24 200 200 200 200 207 207 207 207 25 26 27 28 29 30 205 205 140 136 132 132 转化为柱状图之后： 0 50 100 150 200 250 300 350 1357911131517

6、192123252729 系列1 图 1 每层楼人数分布柱状图 由此看出各楼层人数相差不大，近似相等。 (2) 第一层的高度为 762m ，从第二层起相邻楼层之间的高度均为39l m ； (3) 电梯的最大运行速度是304.8mmin，电梯由速度 0 线性增加到全速， 其加速度 为 1.22ms2； (4) 电梯的容量为 19 人每个乘客上、下电梯的平均时间分别为0.8s 和 0.5s ，开 关电梯门的平均时间为3s，其它损失时间 ( 如果考虑的话 ) 为上面3 部分时间总和的 10； (5) 底楼最大允许等候时间最好不超过1 分钟； 问题一： 假如现有 6 部电梯， 请你设计一下电梯调运方案

7、， 使得在这段时间内电梯能尽可能 地把各层楼的人流快速送到，减少候梯时间。 问题二： 如果大厦管理者想重新安装改造电梯，除满足以上运行要求外， 还考虑电梯安装的 安装成本， 比如用较少的电梯比更多的电梯花费少，一个速度慢的电梯比一个速度快的 电梯花费少，能选用电梯分别有快速，中速，慢速三种，请给管理者写一个方案，提出 3 一些合理的建议来实现 （如需用数据分析说明， 可设选用电梯的最大速度分别是243.8 m min，304.8 mmin，365.8mmin） 。 三、模型假设 1. 所有工作人员均在 8：209：00 这段时间内到达； 2. 电梯每次都满载运行（最后不够满载的情况除外）； 3

8、. 电梯一直处于正常工作的状态； 4. 所有人都不走楼梯； 5. 电梯载人的时候等待人员充足； 6. 只考虑乘客的上行，不考虑下行； 四、符号约定 ( )rt 表示电梯从启动到停止当运行距离为 r层楼时的运行时间； C 表示电梯每次从门厅出发时平均搭乘的乘客数目； n t 表示电梯每次停靠的平均时闻( 包括开门时间和关门时间 ) ； p t 表示每个乘客走进电梯和走出电梯的乘客转移时间； N 表示该大楼的总楼层数； n表示某个电梯服务区域所含有的楼层数； b表示电梯服务的最低层； L表示大楼装备的电梯数量； RT T表示电梯往返运行时间； (/)v ms 电梯的最大运行速度为： ()Tx( )

9、s电梯从始点启动到终点静止需要运行()x m，要运行的时间为： 2 (/)a ms电梯的加速度为：； (2,., 30) i Ti =求电梯运行到从第一层启动到第i 层停靠，再下行到第一层所需的时 间为： 3 t、 4 t 设乘客上、下电梯的时间分别为： ； 5 t电梯开门、关门的时间为： ； l 电梯一次满载的人数为：； f 电梯的运载能力为：； 五、问题分析 如何合理地调控使用现有电梯，提高电梯的服务效率， 尽量减少人流的乘梯等待时 间和乘梯时间，是电梯管理中的一个首要任务。在上班高峰的情况下，如果按照传统的 方法使每部电梯都服务于所有楼层，则将使乘客的等待时间过长，存在明显的不足。采 用

10、基于动态规划的动态分区控制方法可有效地解决该问题，使乘客的候梯时间和乘梯时 间达到最小，系统性能达到最优。 因为电梯匀速运行速度为： 0 304.8/ m in5.08/vmms= 一层楼的高度为： 3.91h = ， 4 则电梯做匀速运动时需要的时间为： 1 0 0.769685 h ts v = 而 当 电 梯 由于 在 某楼 层停 靠 而 进 行 匀 加 速 和 匀 减 速运 动需 要 的 时 间 是 ： 2 2/23.91 /1.223.580457thas=； 21 3.5804570.7696852.810772tt-=-=； 由此可以看出：由于电梯加速和减速而额外花费的时间大约是

11、 2.810772s，另外再 加上每次电梯开关门的时间3s， 电梯停靠一次浪费的时间是相当大的，所以设计方案时， 我们应尽量减少电梯停靠次数，以节省时间，即采用电梯分区来设计具体方案。并且， 当分区越多时，所花费时间越少。 问题一、先考虑最简单的情形， 不考虑乘客到来的随机性， 不考虑乘客的等待时间， 且乘客只在 8：209：00 的时候到达，电梯每次都是满载，且运送为同一层的员工。 这样得到了一个简化的模型，此模型运送乘客的时候所花费时间是最短的，但是，模型 结果证明了无法在40 分钟内运送完所有乘客。 我们对模型的方案进行修改；因为不可能每次都是同一层的人乘坐，虽然上一个模 型简单且是最省

12、时的，但它的适用性及实用性不强，因此我们要对模型进行改进，由以 上分析得：我们可以对楼层进行分区规划，将整个楼层分为多段，六台电梯依据服务时 间大致相同的原则平均分配到每个阶段，这样花费时间会相对较少， 电梯运行一个来回 的时间会减少，则乘客等候的时间会大大降低。 问题二、 六、模型建立与求解 问题一、 按照假设，不考虑乘客到来的随机性和乘客的等待时间，我们来求电梯在这四十分 钟的最大运载能力。 RTT ：电梯上下来回运行一次的时间=包括电梯上行的时间 +乘客上、下电梯的时间 +电梯 开、关所需的时间 +电梯下行运行的时间 +10% 的损耗时间。 在电梯满载的情况下， 影响电梯 RTT的主要是

13、电梯停靠的次数和电梯一次运行的高 度；通过文献知道电梯在上行的时候停靠的次数越少，耗费的时间就越少。 所以考虑电梯每次运行运载的乘客都为某一层的员工，即电梯每次只在某一层停靠， 从 而得到了简化模型。 模型一、 Step1: 对于电梯问题的求解，首先从电梯的基本运行开始。 1电梯的基本运行规律 设电梯的最大运行速度为(/)v ms，从始点启动到终点静止需要运行()x m，要运行 的时间为()Tx( )s，加速度为 2 (/)a ms。 如果不考虑变速问题，则() v Tx a =； 考虑速度变化，则电梯由初速度为0 增加到最大速度v满足v a t= ，从而加速到最 5 大速度的时间为： 0 v

14、 t a =，其运行的距离为 2 2 10 1 22 v sa t a =。 考虑到电梯运行中先加速后减速的问题，以及加速和减速的对称性， 分为两种情形： 情形 1：当 1 2 x s 时，电梯的运行不可能达到最大速度v，能够达到的最大速度为 1 vax=，加速过程的运行时间为: 1 x t a =, 由加速和减速的对称性可得，2 x t a =， 情形 2：当 1 2 x s 时，电梯运行的过程为先加速到最大速度v，再以最大速度v匀速 运行一段时间 2 t，再减速到 0； 匀速的时间为 1 2 2xsxv t vva - =-, 所以总时间 02 2 xv ttt va =+=+； Step

15、2： 求电梯运行到从第一层启动到第i 层停靠，再下行到第一层所需的时间为 (2,., 30) i Ti =，按照 step1 的规则， 设乘客上、下电梯的时间分别为： 3 t、 4 t；电梯开门、关门的时间为 5 t； 电梯一次满载的人数为 l；其它损耗时间为上面三部分时间的10% ；所以得： 345 21.1 ()2, (2,., 30) i Ttl ttti=+=； 用 matlab 软件编程得到如下结果： /43.76746.0674849.751.255 52.79554.33455.87357.41358.95260.492 62.03163.5765.1166.64968.1886

16、9.728 71.26772.80774.34675.88577.42578.964 80.50382.04383.58285.12186.66188.2 表格 1 Step3：每层楼需要运行的次数为 (2,., 30) i di =；,(2,., 30) i i di l = 第 层 的 人 数 ；用 MATLAB 软件计算出 (2,., 30) i di =，结果如下： / 1091169 10121271414 141415131010 101010101010 6 10107766 表格 2 Step4: 由表格 1 可以看出，时间 i T随着楼层的增加而增加，所以要使6 台电梯在四十分 钟运载能力最大，故从运行时间低的楼层开始，用MATLAB 计算，当运送到第 22 层的时 候，时间就不剩了。由此得出这种情况下电梯的最大运载能力 72%f = 6台 电 梯 40分 钟 运 送 完 的 乘 客 总 的 乘 客 ； 结果分析 ： 在不考虑乘客等待时间的时候，电梯的最大运载能力约为72% ，也就是说，在上班 高峰的 40 分钟