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1、1 现代数学基础习题1 集合与映射-5 1 证明R)1 , 1(,其中R为实数集。2 证明:如果M是无限集,A是可数集合,则AMM 。3 记区间1 ,0中全体无理数所构成集合为D,证明:1 , 0D。4 证明:1 ,01 ,0。5 证明:niQrrrrQinn1,:,21是可列集合。2 实数集的紧理论-6 1 设(1)1nnn11A,则Ainf0,Asup23;(2),sin:0xxyyB,则Binf0,Bsup1。2 设1RE,Ehsup,则Exn,使得hxn。3 设1 21REE,则21EEinfinf,1Esup2Esup。4 设1RE有上 (或下 )确界,则其上(或下 )确界必唯一。5
2、证明:1R中单调有界数列必有极限。6 令n1knk1x,运用 Cauchy 收敛准则证明:nx发散。2 3 闭区间上连续函数性质 -1 1 设连续函数列xfn在区间ba,上一致收敛于函数xf,证明:babanndxxfdxxflim4 Lebesgue 可测集- 4 1 设cxkibxaxxxEkiiink1;,:,,则0Em*。2 设nRE是最多可数集,则0Em*。3 证明: (1) 若0Em*,则nmE;(2) 设0Em,EF,则nmF,且0Fm。4 设nmE,Z是零测集,则nmZE,且EmZEm。5 Lebesgue可测函数-11 1 设xf是可测集nRE上的函数,如果对Qr,rfE都是
3、可测集,则对1Rt,tfE是可测集。2 设f是可测集E上的实值函数,证明:下列诸命题等价:(1)f是E上的可测函数,即tfE是可测集;(2)对任意1Rt,集合tfE是可测集;(3) 对任意1Rt,集合tfE是可测集;3 (4) 对任意1Rt,集合tfE是可测集;3 设E是可测集,cxf,任意Ex,则f是E上的可测函数。4 设E可测,EA,AxAx01fA, ,则f是E上的可测函数A是可测集。5 证明: (1) 设f是n 21REE上的广义实值函数,f在1E和2E上均可测,则f在21EE上均可测。(2) 设f是E上的可测函数,EA可测,则将f视为A上函数时,此函数在A上可测。6 设xf是nRE上
4、的可测函数,则xcf(1Rc是常数 )是E上的可测函数;7 设xgxf,是nRE上的可测函数,则xgxf是E上的可测函数;8 设xgxf,是nRE上的可测函数,则xgxf是E上的可测函数。9 设nRE是可测集,则E上的连续函数均为可测函数。10 设xf是1R上连续函数,xg是nRE上的可测函数,则复合函数xgfxh是E上的可测函数。11 设nRE是可测集,xgxf,是E上函数,证明:如果Eeaxgxf,,则xf是E上的可测函数xg是E上的可测函数。4 6 Lebesgue积分的定义及性质-4 1 设xf和xg是可测集nRE上的 Lebesgue可积函数,证明:如果Eeaxgxf,,则EEdxx
5、gdxxf2 设xf是可测集nRE上的 Lebesgue可积函数,证明:若0xf,Ex,且0dxxfE,则Eea0xf,。3 设QxQxxD1 , 01 ,0, 1, 0,则1EdxxD。4 设QxQxxxD1 , 01 , 0, 1,,则1EdxxD。7 距离空间的基本概念-12 1设RxxxxxRinn:,21,令21 n1i2iiyxyxd,,nRyx,,证明:dRn,是距离空间。2 在空间baC,中令tytxyxd btamax,,baCyx,证明:dbaC,是距离空间。3 证明:距离空间dX ,中点列nx最多只能收敛于一点,即收敛点列极限是唯一的。4 设距离空间dX,,令yxdyxd
6、yxd,1,,证明:dX ,是距离空间。5 设d和d是非空集合X上的距离,定义函数1:RXXd如下:5 212211,yxdyxdyxd,XXyyyxxx2121,,证明:dXX,是距离空间。6 设实数集1R,定义111:RRRi分别为:(1) 2 1,yxyx;(2) yxyx,2,问:21,是否是1R上的距离。7 设Rxxxxlnn Nnn,sup:,令nn Nnyxyxds up,,lyx,证明:dl,是距离空间。8 设Rxxxsnn:, 令1nnnnnnyx1yx21yxd,,syx,证明:ds,是距离空间。9设RxxxxxRinn:,21,令niiiiyxyxd1,,nRyx,,其中
7、niRi1 ,证明:dRn,是距离空间。10 设距离空间dX,中点列nx收敛于点0x,则对Xy0,数列0nyxd,有界。11 设距离空间dX ,,dY,,Xx,T是X到Y的映射,则T在0x连续对Xxn,0nxx,有0nTxTx12设距离空间dX ,,Xyxnn,,且xxn,yyn,6 证明:yxdyxdnn,。8 距离空间中的点集9 距离空间的完备性-11 证明:距离空间中任意收敛点列必是Cauchy 点列;反之未必。10 赋范线性空间的基本概念-10 1 设赋范线性空间,X,在X上定义函数1:RXXd如下:yxyxd,,证明:d是X上的距离,即dX,是距离空间。2 设域F上的赋范线性空间,X
8、;Xyxnn,,且xxn,yyn;证明: (1)xxn,进而nx有界;(2)yxyxnn。3 设域F上 的 赋 范 线 性 空 间,X;Xxn, 且xxn;Fn, 且n,证明:xxnn。4 设RxxxxxRinn:,21,7 令2121nxxxx,其中n nRxxxx21,证明:是nR上的范数。5 在闭区间1 , 0上的连续函数空间1 ,0C中定义:txx t1,0max,其中1, 0Ctxx,证明:证明:是1 ,0C上的范数。6 在2R中,对2,Ryxz,令yxz,max,证明:是2R中的范数。7 在2R中,对2,Ryxz,令yxz,证明:是2R中的范数。8 令1, 0P为1, 0区间上所有
9、多项式所构成集合,对1 ,00Pxaxpnkk k,令nkkap 0,证明:是1 ,0P中的范数。9 设Rxxxxlnn Nnn,sup:,令n Nnxxsup,lx证明:是l中的范数。10 设数域F上线性空间X按d构成距离空间,且d满足:yxdyxd,0,,0,0,xdxd,Xyx,,F,令0 ,xdx,8 证明:是X中的范数。11 群的基本概念-12 1 证明: (1) 群的单位元唯一;(2) 群中任意元素的逆元唯一;(3) 群中消去律成立,即ayaxyx(左消去律 ); yaxayx(右消去律 )。2 设群G,GH,证明:下列命题等价:(1) GH;(2) 对Hba,,恒有Hab和Ha1
10、;(3) 对Hba,,恒有Hab1(或Hba1)。3 设群G和G,GG:是群同态映射,证明:ee;11aa,Ga。4 证明,RR证明:令RR:,xex,则是,R到,R的同构映射。5 设Zn,令1zzn n:,证明:n关于普通的数的乘法构成群。6 记FMmn为数域F上所有mn矩阵构成的集合,令0,:AFMAAFGLnnn,证明:FGLn关于矩阵乘法构成群。9 7 记RMmn为实数域R上所有mn矩阵构成的集合,令令IAARMAAROT nnn,:,则ROn关于矩阵乘法构成群8 设R是实数集,0,:,aRbabaM,在M上定义运算如下:badacdcba,,证明:M关于运算构成群。9 证明:如果群G
11、中任意元素x满足ex2,则群G是交换群。10 设a是群G中任意元素,证明:群G中所有与a可交换的元素构成的集合是群G的子群。11 设u是群,G的任意固定元素,令运算为:buaba1,Gba,,证明:集合G对运算构成群。12 证明:在群中只有单位元素满足方程xx2。12 环与域的基本概念-51 在ZZM上定义运算如下:Mdcba,,dbcadcba,,bdacdcba,,证明:,M是环。10 2 数域K上所有 n 阶方阵集合KMnn关于矩阵加法和乘法构成环,KMnn。3 设环,R,证明: (1)000aa,Ra;(2) bababa,Rba,。4 设环R,记RZ为环中与环中所有元素可交换的元素所成集合,证明:RZ是R的子环。5 设环R,如果Rx满足xx2,则称R为布尔环。证明:在布尔环中,有(1) 0xx,Rx;(2) yxxy,Ryx,。