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1、1 现代数学基础习题1 集合与映射-5 1 证明R)1 , 1(，其中R为实数集。2 证明：如果M是无限集，A是可数集合，则AMM 。3 记区间1 ,0中全体无理数所构成集合为D，证明：1 , 0D。4 证明：1 ,01 ,0。5 证明：niQrrrrQinn1,:,21是可列集合。2 实数集的紧理论-6 1 设(1)1nnn11A，则Ainf0，Asup23；(2),sin:0xxyyB，则Binf0，Bsup1。2 设1RE，Ehsup，则Exn，使得hxn。3 设1 21REE，则21EEinfinf，1Esup2Esup。4 设1RE有上 (或下 )确界，则其上(或下 )确界必唯一。5
2、证明：1R中单调有界数列必有极限。6 令n1knk1x，运用 Cauchy 收敛准则证明：nx发散。2 3 闭区间上连续函数性质 -1 1 设连续函数列xfn在区间ba,上一致收敛于函数xf，证明：babanndxxfdxxflim4 Lebesgue 可测集- 4 1 设cxkibxaxxxEkiiink1;,:,，则0Em*。2 设nRE是最多可数集，则0Em*。3 证明： (1) 若0Em*，则nmE；(2) 设0Em，EF，则nmF，且0Fm。4 设nmE，Z是零测集，则nmZE，且EmZEm。5 Lebesgue可测函数-11 1 设xf是可测集nRE上的函数，如果对Qr，rfE都是
3、可测集，则对1Rt，tfE是可测集。2 设f是可测集E上的实值函数，证明：下列诸命题等价：(1)f是E上的可测函数，即tfE是可测集；(2)对任意1Rt，集合tfE是可测集；(3) 对任意1Rt，集合tfE是可测集；3 (4) 对任意1Rt，集合tfE是可测集；3 设E是可测集，cxf，任意Ex，则f是E上的可测函数。4 设E可测，EA，AxAx01fA, ，则f是E上的可测函数A是可测集。5 证明： (1) 设f是n 21REE上的广义实值函数，f在1E和2E上均可测，则f在21EE上均可测。(2) 设f是E上的可测函数，EA可测，则将f视为A上函数时，此函数在A上可测。6 设xf是nRE上
4、的可测函数，则xcf(1Rc是常数 )是E上的可测函数；7 设xgxf,是nRE上的可测函数，则xgxf是E上的可测函数；8 设xgxf,是nRE上的可测函数，则xgxf是E上的可测函数。9 设nRE是可测集，则E上的连续函数均为可测函数。10 设xf是1R上连续函数，xg是nRE上的可测函数，则复合函数xgfxh是E上的可测函数。11 设nRE是可测集，xgxf,是E上函数，证明：如果Eeaxgxf,，则xf是E上的可测函数xg是E上的可测函数。4 6 Lebesgue积分的定义及性质-4 1 设xf和xg是可测集nRE上的 Lebesgue可积函数，证明：如果Eeaxgxf,，则EEdxx
5、gdxxf2 设xf是可测集nRE上的 Lebesgue可积函数，证明：若0xf，Ex，且0dxxfE，则Eea0xf,。3 设QxQxxD1 , 01 ,0, 1, 0，则1EdxxD。4 设QxQxxxD1 , 01 , 0, 1,，则1EdxxD。7 距离空间的基本概念-12 1设RxxxxxRinn:,21，令21 n1i2iiyxyxd,，nRyx,，证明：dRn,是距离空间。2 在空间baC,中令tytxyxd btamax,，baCyx,证明：dbaC,是距离空间。3 证明：距离空间dX ,中点列nx最多只能收敛于一点，即收敛点列极限是唯一的。4 设距离空间dX,，令yxdyxd
6、yxd,1,，证明：dX ,是距离空间。5 设d和d是非空集合X上的距离，定义函数1:RXXd如下：5 212211,yxdyxdyxd，XXyyyxxx2121,，证明：dXX,是距离空间。6 设实数集1R，定义111:RRRi分别为：(1) 2 1,yxyx；(2) yxyx,2，问：21,是否是1R上的距离。7 设Rxxxxlnn Nnn,sup:，令nn Nnyxyxds up,，lyx,证明：dl,是距离空间。8 设Rxxxsnn:， 令1nnnnnnyx1yx21yxd,，syx,证明：ds,是距离空间。9设RxxxxxRinn:,21，令niiiiyxyxd1,，nRyx,，其中
7、niRi1 ,证明：dRn,是距离空间。10 设距离空间dX,中点列nx收敛于点0x，则对Xy0，数列0nyxd,有界。11 设距离空间dX ,，dY,，Xx，T是X到Y的映射，则T在0x连续对Xxn，0nxx，有0nTxTx12设距离空间dX ,，Xyxnn,，且xxn，yyn，6 证明：yxdyxdnn,。8 距离空间中的点集9 距离空间的完备性-11 证明：距离空间中任意收敛点列必是Cauchy 点列；反之未必。10 赋范线性空间的基本概念-10 1 设赋范线性空间,X，在X上定义函数1:RXXd如下：yxyxd,，证明：d是X上的距离，即dX,是距离空间。2 设域F上的赋范线性空间,X
8、；Xyxnn,，且xxn，yyn；证明： (1)xxn，进而nx有界；(2)yxyxnn。3 设域F上 的 赋 范 线 性 空 间,X；Xxn， 且xxn；Fn， 且n，证明：xxnn。4 设RxxxxxRinn:,21，7 令2121nxxxx，其中n nRxxxx21，证明：是nR上的范数。5 在闭区间1 , 0上的连续函数空间1 ,0C中定义：txx t1,0max，其中1, 0Ctxx，证明：证明：是1 ,0C上的范数。6 在2R中，对2,Ryxz，令yxz,max，证明：是2R中的范数。7 在2R中，对2,Ryxz，令yxz，证明：是2R中的范数。8 令1, 0P为1, 0区间上所有
9、多项式所构成集合，对1 ,00Pxaxpnkk k，令nkkap 0，证明：是1 ,0P中的范数。9 设Rxxxxlnn Nnn,sup:，令n Nnxxsup，lx证明：是l中的范数。10 设数域F上线性空间X按d构成距离空间，且d满足：yxdyxd,0,，0,0,xdxd，Xyx,，F，令0 ,xdx，8 证明：是X中的范数。11 群的基本概念-12 1 证明： (1) 群的单位元唯一；(2) 群中任意元素的逆元唯一；(3) 群中消去律成立，即ayaxyx(左消去律 )； yaxayx(右消去律 )。2 设群G，GH，证明：下列命题等价：(1) GH；(2) 对Hba,，恒有Hab和Ha1
10、；(3) 对Hba,，恒有Hab1(或Hba1)。3 设群G和G，GG:是群同态映射，证明：ee；11aa，Ga。4 证明,RR证明：令RR:，xex，则是,R到,R的同构映射。5 设Zn，令1zzn n:，证明：n关于普通的数的乘法构成群。6 记FMmn为数域F上所有mn矩阵构成的集合，令0,:AFMAAFGLnnn，证明：FGLn关于矩阵乘法构成群。9 7 记RMmn为实数域R上所有mn矩阵构成的集合，令令IAARMAAROT nnn,:，则ROn关于矩阵乘法构成群8 设R是实数集，0,:,aRbabaM，在M上定义运算如下：badacdcba,，证明：M关于运算构成群。9 证明：如果群G
11、中任意元素x满足ex2，则群G是交换群。10 设a是群G中任意元素，证明：群G中所有与a可交换的元素构成的集合是群G的子群。11 设u是群,G的任意固定元素，令运算为：buaba1，Gba,，证明：集合G对运算构成群。12 证明：在群中只有单位元素满足方程xx2。12 环与域的基本概念-51 在ZZM上定义运算如下：Mdcba,，dbcadcba,，bdacdcba,，证明：,M是环。10 2 数域K上所有 n 阶方阵集合KMnn关于矩阵加法和乘法构成环,KMnn。3 设环,R，证明： (1)000aa，Ra；(2) bababa，Rba,。4 设环R，记RZ为环中与环中所有元素可交换的元素所成集合，证明：RZ是R的子环。5 设环R，如果Rx满足xx2，则称R为布尔环。证明：在布尔环中，有(1) 0xx，Rx；(2) yxxy，Ryx,。
