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1、1、解一元二次方程有哪些方法？直接开平方法配方法公式法因式分解法2、一元二次方程常见应用题有哪些类型？（1）增长率问题（2）商品定价（3）储蓄问题（4）趣味问题（5）古诗问题（年龄问题）（6）情景对话（7）等积变形（8）动态几何问题1）增长率问题例 1恒利商厦九月份的销售额为200 万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6 万元，求这两个月的平均增长率分析：本题设这两个月的平均增长率是x，十月份的销售额为200（1-20%）万元，十一月份的销售额为200（1-20%） （1+x）万元，十二月份在十一月份的基础上增加
2、x，变为 200（1-20%） （1+x） （1+x）即 200（ 1-20%） （1+x）2 万元，进而可列出方程，求出答案解答：解：设这两个月的平均增长率是x，十一月份的销售额达到200（1-20%）+200（1-20%） x=200（1-20%） （1+x） ，十二月份的销售额达到200（1-20%） （1+x）+200（1-20%） （1+x）x=200（1-20%） （1+x） （1+x）=200（1-20%） （1+x）2， 200（1-20%） （1+x）2=193.6，即（ 1+x）2=1.21，所以 1+x=1.1，所以 x=-11.1，即 x1=0.1，x2=-2.1（舍去
3、）答：这两个月的平均增长率是10%点评：此类题目旨在考查增长率，要注意增长的基础，另外还要注意解的合理性，从而确定取舍 2）商品定价例 2某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20 件，每件盈利40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2 件，若商场平均每天要盈利1200 元，每件衬衫应降价多少元？分析：设每件衬衫应降价x 元，则每件盈利40-x 元，每天可以售出20+2x，所以此时商场平均每天要盈利（40-x） （20+2x）元，根据商场平均每天要盈利=1200 元，为等量关系列出方程求解即可解：设每件
4、衬衫应降价x 元，则每件盈利40-x 元，每天可以售出20+2x，由题意，得（ 40-x） （20+2x）=1200，即： （x-10） （x-20）=0，解，得 x1=10，x2=20，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以x 的值应为 20，所以，若商场平均每天要盈利12O0 元，每件衬衫应降价20 元点评：本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解3）储蓄问题例 3王红梅同学将1000 元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行” ，到期后将本金和利息取出，并将其中的500 元捐给“希望工程” ，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到
5、第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）解 设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意，得1000(1+x)500(1+0.9x)530. 整理，得 90x2+145x30. 解这个方程，得x10.02042.04%，x2 1.63. 由于存款利率不能为负数，所以将x2 1.63 舍去 . 答 第一次存款的年利率约是2.04%. 4）趣味问题例 4一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4 米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2 米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人
6、教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解：设竹竿的长度为X，那么 X2=(X-4)2+(X-2)2=X2-8X+16+X 2-4X+4=2X2-12X+20, 平移过来， X2-12X+20=0 (X-10)x（X-2）=0 X取 10 或 2，由于 2 不符合标准，故舍去，得X=10米 答：竹竿长10 米5）古诗问题（年龄问题）例 5读诗词解题： （通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）. 大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解：设十位是X ，则个位数是 (X+3
7、) 两位数就表示成10X+(X+3)=11X+3 所以用“各位平方与寿符”做等量，列方程11X+3=(X+3)2 X2-5X+6=0 (X-2)(X-3)=0 X1=2 或 X2=3 X1+3=5 X2+3=6 可得两组解，25 或 36，因为已知“而立之年督东吴”（而立之年为30 岁） ， 所以一定比30 大. ，25 就要舍去。可得周瑜去世的年龄为36 岁。6）情景对话例 6春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000 元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？分析：设该单位这次共有
8、x 名员工去天水湾风景区旅游依题意列方程求解解答：解：设该单位这次共有x 名员工去天水湾风景区旅游因为 100025=2500027000，所以员工人数一定超过25 人可得方程 1000-20（x-25）x=27000整理得 x2-75x+1350=0，解得 x1=45，x2=30当 x1=45 时， 1000-20（x-25）=600700，故舍去x1；当 x2=30 时， 1000-20（x-25）=900700，符合题意答：该单位这次共有30 名员工去天水湾风景区旅游点评：本题考查的是一元二次方程的应用，难度不大7）等积变形 例 7将一块长 18 米，宽 15 米的矩形荒地修建成一个花园
9、（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）（1）设计方案1（如图 2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路. （2）设计方案2（如图 3）花园中每个角的扇形都相同. 以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2 中的小路的宽和图3 中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由. 分析： （ 1）设出小路的宽度为x 米，表示出两条小路的面积，而小路的面积为原来荒地面积的三分之一，列出方程解答即可；（2）设出扇形的半径为y 米，则四个扇形的面积和恰好等于一个圆的面积，而四个扇形的面积和为原来荒地面积的三分之一，列出方程解答即可解答：解：（1）设小路的宽度为x 米，根据题意列
10、方程得，图如果人数超过 25 人， 每 增加 1 人，人均旅游费用降 低 20 元，但人均旅游费用 不得低于 700 元.如果 人数不 超 过 25 人，人均旅游费用 为 1000元.图 18x+15x-x2=181513，解得 x1=3，x2=30（不合题意，舍去） ；答：图中小路的宽为3 米（2）设扇形的半径为y 米，根据题意列方程得，y2=181513，解得 y15.4，y2-5.4（不合题意，舍去） ；答：扇形的半径约为5.4 米点评：此题主要考查长方形和扇形面积的计算方法，解答时注意题目中蕴含的数量关系8）动态几何问题例 8如图 4 所示，在 ABC中， C90， AC6cm，BC8
11、cm，点 P从点 A 出发沿边 AC向点 C以 1cm/s 的速度移动，点Q 从 C点出发沿CB边向点 B 以 2cm/s 的速度移动 . （1）如果 P、Q 同时出发，几秒钟后，可使PCQ的面积为8 平方厘米？（2）点 P、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得PCQ的面积等于 ABC 的面积的一半 .若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由. 分析： （ 1）设果 P、Q 同时出发， x 秒钟后， AP=xcm，PC= （6-x）cm，CQ=2xcm ，此时PCQ的面积为：122x（ 6-x） ，令该式 =8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；（2） ABC 的面积的一半等于12
12、12AC BC=12cm2，令122x（6-x） =12，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在解答：解：（1）设 xs 后，可使 PCQ的面积为8cm2由题意得， AP=xcm，PC= （6-x）cm，CQ=2xcm，则 12?(6-x)?2x=8整理，得x2-6x+8=0，解得 x1=2，x2=4所以 P、 Q 同时出发， 2s 或 4s 后可使 PCQ的面积为8cm2（2）由题意得：SABC=12 AC?BC=1268=24，即： 122x（ 6-x）=1224，x2-6x+12=0，=62-412=-12 0，该方程无解，所以，不存在使得PCQ的面积等于ABC的面积的一半的时刻点评：本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于找出等量关系列出方程求解QPCBA图 4
