《2018_2019高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆的标准方程学案苏教版选修》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018_2019高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆的标准方程学案苏教版选修（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 2.2.12.2.1 椭圆的标准方程椭圆的标准方程 学习目标 1.理解椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的标准方程及其所对应的 几何图形 知识点 椭圆的标准方程 思考 在椭圆的标准方程中abc一定成立吗？ 答案 不一定，只需ab，ac即可，b，c的大小关系不确定 梳理 (1)椭圆标准方程的两种形式 焦点位置标准方程焦点焦距 焦点在x轴上 1(ab0) x2 a2 y2 b2 F1(c,0)， F2(c,0) 2c 焦点在y轴上 1(ab0) y2 a2 x2 b2 F1(0，c)， F2(0，c) 2c (2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系 椭圆在坐标系中的位置 标准
2、方程 1(ab0) x2 a2 y2 b2 1(ab0) y2 a2 x2 b2 焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c) a，b，c的关系b2a2c2 (3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标： 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即 “谁大在谁上” 如方程为1 的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标 y2 5 x2 4 F1(0，1)，F2(0,1)，焦距F1F22. 2 1椭圆的标准方程只与a，b的大小有关() 2椭圆的标准方程中，有三个基本量，即a，b，c且a2b2c2.() 类型一 求椭圆的标准方程 命题角度
3、1 用待定系数法求椭圆的标准方程 例 1 求焦点在坐标轴上，且经过两点P，Q的椭圆的标准方程 ( 1 3， 1 3) (0， 1 2) 解 方法一 当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为1(ab0) x2 a2 y2 b2 依题意有Error! 解得Error! 由ab0 知不合题意，故舍去 当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为 1(ab0) y2 a2 x2 b2 依题意有Error! 解得Error! 所以所求椭圆的标准方程为1. y2 1 4 x2 1 5 方法二 设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn) 则Error!解得Error! 所以所求椭圆的方程为 5x24y
4、21， 故椭圆的标准方程为1. y2 1 4 x2 1 5 引申探究 求与椭圆1 有相同焦点，且过点(3，)的椭圆方程 x2 25 y2 915 解 据题可设其方程为1(9)， x2 25 y2 9 又椭圆过点(3，)，将此点代入椭圆方程，得 15 11(21 舍去)， 故所求的椭圆方程为1. x2 36 y2 20 3 反思与感悟 1.若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论， 也可设椭圆方程为mx2ny21(mn，m0，n0) 2与椭圆1(ab0)有公共焦点的椭圆方程为1(ab0，b2)， x2 a2 y2 b2 x2 a2 y2 b2 与椭圆1(ab0)有公共焦点
5、的椭圆方程为1(ab0，b2) y2 a2 x2 b2 y2 a2 x2 b2 跟踪训练 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(4,0)，F2(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等 于 10； (2)椭圆过点(3,2)，(5,1)； (3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1) 解 (1)设其标准方程为1(ab0) x2 a2 y2 b2 依题意得，2a10，c4，故b2a2c29， 所求椭圆的标准方程为1. x2 25 y2 9 (2)设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB)， 则Error!解得Error! 故所求椭圆的标准
6、方程为1. x2 91 3 y2 91 16 (3)设椭圆的标准方程为1(ab0) x2 a2 y2 b2 依题意得Error!解得Error! 所求椭圆的标准方程为y21. x2 4 命题角度2 用定义法求椭圆的标准方程 例 2 已知一动圆M与圆C1：(x3)2y21 外切，与圆C2：(x3)2y281 内切，试求 动圆圆心M的轨迹方程 解 依题意得C1(3,0)，r11，C2(3,0)，r29， 设M(x，y)，动圆的半径为R， 则MC11R，MC29R， 故MC1MC2106C1C2， 据椭圆定义知，点M的轨迹是一个以C1，C2为焦点的椭圆，且a5，c3，故 b2a2c216. 故所求动
7、圆圆心M的轨迹方程为1. x2 25 y2 16 4 反思与感悟 用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符 合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a，b的值 跟踪训练 2 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和 4 5 3 ，过点P作焦点所在的坐标轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程 2 5 3 解 设椭圆的两个焦点分别为F1，F2， 不妨取PF1，PF2， 4 5 3 2 5 3 由椭圆的定义，知 2aPF1PF22. 5 即a. 5 由PF1PF2知，PF2垂直于焦点所在的坐标轴 在 RtPF2F1中，4c2PFP
8、F， 2 12 2 60 9 c2 ， 5 3 b2a2c2. 10 3 又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上， 故所求的椭圆方程为1 或1. x2 5 3y2 10 3x2 10 y2 5 类型二 椭圆中焦点三角形问题 例 3 已知P是椭圆1 上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且F1PF230，求 y2 5 x2 4 F1PF2的面积 解 由椭圆的标准方程，知a，b2， 5 c1，F1F22. a2b2 又由椭圆的定义，知PF1PF22a2. 5 在F1PF2中，由余弦定理得F1FPFPF2PF1PF2cosF1PF2， 2 22 12 2 即 4(PF1PF2)22PF1PF
9、22PF1PF2cos30， 即 420(2)PF1PF2， 3 PF1PF216(2) 3 12 F PF SV PF1PF2sinF1PF2 1 2 16(2) 84. 1 23 1 23 反思与感悟 1.在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆 5 的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形这个三角形中一条边长等 于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数 2在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义MF1MF22a及三角形中的有 关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解 跟踪训练 3 在椭圆C：1(ab0)的焦点三角形PF1
10、F2中，F1PF2，点P的坐 x2 a2 y2 b2 标为(x0，y0)，求证：PF1F2的面积 1 2 PF F SV b2tan. 2 证明 在PF1F2中，根据椭圆定义，得PF1PF22a. 两边平方，得PFPF2PF1PF24a2. 2 12 2 根据余弦定理，得PFPF2PF1PF2cos4c2. 2 12 2 ，得(1cos)PF1PF22b2， 所以PF1PF2. 2b2 1cos 根据三角形的面积公式，得 1 2 PF F SV PF1PF2sin sinb2. 1 2 1 2 2b2 1cos sin 1cos 又因为tan， sin 1cos 2sin 2 cos 2 2c
11、os2 2 sin 2 cos 2 2 所以 1 2 PF F SV b2tan. 2 类型三 求与椭圆有关的轨迹方程 例 4 已知B，C是两个定点，BC8，且ABC的周长等于 18.求这个三角形的顶点A的轨 迹方程 解 以BC的中点O为坐标原点，过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴， 建立平面直角坐标系xOy，如图所示 由BC8 可知点B(4,0)，C(4,0) 由ABACBC18 得ABAC108BC， 因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和 2a10，但点A不在x轴上 由a5，c4， 6 得b2a2c225169. 所以点A的轨迹方程为1
12、(y0) x2 25 y2 9 反思与感悟 求动点的轨迹方程常用的方法 (1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义直接 求解 (2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点 的轨迹方程 (3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨迹方程 跟踪训练 4 如图，设定点A(6,2)，P是椭圆1 上的动点，求线段AP中点M的轨 x2 25 y2 9 迹方程 考点 椭圆标准方程的求法 题点 定义法求椭圆的标准方程 解 设M(x，y)，P(x1，y1) M为线段AP的中点， Error! 又1， x2 1 25 y2
13、 1 9 点M的轨迹方程为 . x32 25 y12 9 1 4 1椭圆 8x23y224 的焦点坐标为_ 答案 (0，)，(0，) 55 解析 椭圆方程可化为1，它的焦点位于y轴上，且c， y2 8 x2 35 故两焦点坐标分别为(0，)，(0，) 55 2已知椭圆1 的焦距为 6，则k的值为_ x2 20 y2 k 答案 11 或 29 解析 当焦点在x轴上时，20k32，解得k11；当焦点在y轴上时，解得 7 k2032，即k29. 3设P是椭圆1 上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为 2，则PF1F2是 x2 16 y2 12 _三角形 答案 直角 解析 根据椭圆的定义知PF1PF
14、28. 又PF1PF22，所以PF15，PF23. 而F1F24，所以F1FPFPF， 2 22 22 1 所以PF1F2是直角三角形 4 “mn0”是“方程mx2ny21 表示焦点在y轴上的椭圆”的_条件 答案 充要 解析 方程可化为1. x2 1 m y2 1 n 若mn0，则 0 0，可得mn0. 1 n 1 m 5已知椭圆1 上一点P与椭圆两焦点F1，F2的连线夹角为直角，则 x2 49 y2 24 PF1PF2_. 答案 48 解析 依题意知，a7，b2，c5， 64924 F1F22c10. 由于PF1PF2， 所以由勾股定理得PFPFF1F， 2 12 22 2 即PFPF100
15、. 2 12 2 又由椭圆定义知PF1PF22a14， (PF1PF2)22PF1PF2100， 即 1962PF1PF2100.解得PF1PF248. 1椭圆的定义式：PF1PF22a(2aF1F2)在解题过程中将PF1PF2看成一个整体，可简 化运算 2椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定 点” 、 “距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决 8 3凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义MF1MF22a(M为椭圆上 的点，F1，F2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标M(x0，y0)适合 椭圆的方程，然后再进行代数运算 一、填空题 1椭圆1 的焦距等于 2，则m的值为
