《2018_2019高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质学案苏教版选修》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018_2019高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质学案苏教版选修（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12.3.22.3.2 双曲线的几何性质双曲线的几何性质学习目标 1.了解双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中a，b，c，e间的关系知识点一 双曲线的性质标准方程1x2 a2y2 b2(a0，b0)1y2 a2x2 b2(a0，b0)图形范围xa或xa，yR RxR R，ya或ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxb ayxa b性质离心率e ，e(1，)，其中cc aa2b2a，b，c间的关系c2a2b2(ca0，
2、cb0)知识点二 等轴双曲线思考 求下列双曲线的实半轴长、虚半轴长，并分析其共同点(1)x2y21；(2)4x24y21.答案 (1)的实半轴长为 1，虚半轴长为 1(2)的实半轴长为 ，虚半轴长为 .1 21 22它们的实半轴长与虚半轴长相等梳理 实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率为.21双曲线1 与1(a0，b0)的形状相同()x2 a2y2 b2y2 a2x2 b22双曲线1 与1(a0，b0)的渐近线相同()x2 a2y2 b2y2 a2x2 b23等轴双曲线的离心率为.()24离心率是的双曲线为等轴双曲线()2类型一 双曲线的几何性质例 1 求双曲线nx
3、2my2mn(m0，n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程解 把方程nx2my2mn(m0，n0)化为标准方程为1(m0，n0)，x2 my2 n由此可知，实半轴长a，m虚半轴长b，c，nmn焦点坐标为(，0)，(，0)，mnmn离心率e ，c amnm1nm顶点坐标为(，0)，(，0)，mm所以渐近线方程为yx，即yx.nmmnm引申探究将本例改为“求双曲线 9y24x236 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程” ，请给出解答解 将 9y24x236 变形为1，x2 9y2 4即1，x2 32y2 22所以a3，b2，c，13因此顶点坐标为(
4、3,0)，(3,0)，3焦点坐标为(，0)，(，0)，1313实轴长是 2a6，虚轴长是 2b4，离心率e ，渐近线方程为yxx.c a133b a2 3反思与感悟 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解题的关键(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值(3)由c2a2b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质跟踪训练 1 求双曲线 9y216x2144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程解 把方程 9y216x2144 化为标准方程1.y2 42x2 32由此可知，实半轴长a4，虚半轴长b3，c5，焦点坐标是(0，5)，(0,5)，a2b242
5、32离心率e ，渐近线方程为yx.c a5 44 3类型二 由双曲线的几何性质确定标准方程例 2 求适合下列条件的双曲线标准方程：(1)虚轴长为 12，离心率为 ；5 4(2)顶点间距离为 6，渐近线方程为yx；3 2(3)求与双曲线x22y22 有公共渐近线，且过点M(2，2)的双曲线方程解 (1)设双曲线的标准方程为1 或1(a0，b0)x2 a2y2 b2y2 a2x2 b2由题意知 2b12， ，且c2a2b2，c a5 4b6，c10，a8.所求双曲线的标准方程为1 或1.x2 64y2 36y2 64x2 36(2)当焦点在x轴上时，由 且a3，得b ，b a3 29 2所求双曲线
6、的标准方程为1.x2 94y2 81当焦点在y轴上时，由 且a3，得b2.a b3 24所求双曲线的标准方程为1.y2 9x2 4(3)设与双曲线y21 有公共渐近线的双曲线方程为y2k(k0)，将点(2，2)代x2 2x2 2入，得k(2)22，22 2双曲线的标准方程为1.y2 2x2 4反思与感悟 由双曲线的性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，其步骤为(1)判断：利用条件判断焦点的位置(2)设：设出双曲线的标准方程(3)列：利用已知条件构造关于参数的方程(4)求：解参数方程，进而得标准方程跟踪训练 2 (1)求与双曲线1 有共同的渐近线，且经过点M(3，2)的双曲线的y2 4x2
7、3标准方程；(2)已知双曲线1(a0，b0)的离心率e，过点A(0，b)和B(a,0)的直线与x2 a2y2 b22 33原点的距离为，求此双曲线的标准方程32解 (1)设所求双曲线的方程为(0)y2 4x2 3点M(3，2)在双曲线上， ，即2.4 49 3双曲线的标准方程为1.x2 6y2 8(2)e， ， ，2 33c a2 33a2b2 a24 3a23b2.又直线AB的方程为bxayab0，d，即 4a2b23(a2b2)aba2b232解组成的方程组，得a23，b21.双曲线的标准方程为y21.x2 3类型三 双曲线的离心率例 3 已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，
8、PQ是经过F1且垂直于xx2 a2y2 b25轴的双曲线的弦，如果PF2Q90，求双曲线的离心率考点 双曲线的离心率与渐近线题点 求双曲线的离心率解 设F1(c,0)，将xc代入双曲线的方程得1，c2 a2y2 b2那么y.b2 a由PF2QF2，PF2Q90，知PF1F1F2，所以2c，所以b22ac，b2 a所以c22aca20，所以22 10，(c a)c a即e22e10，所以e1或e1(舍去)22所以双曲线的离心率为 1.2反思与感悟 求双曲线离心率的三种方法(1)若可求得a，c，则直接利用e 得解c a(2)若已知a，b，可直接利用e得解1(ba)2(3)若得到的是关于a，c的齐次
9、方程pc2qacra20(p，q，r为常数，且p0)，则转化为关于e的方程pe2qer0 求解跟踪训练 3 设双曲线1(ba0)的焦距为 2c，直线l过点A(a,0)，B(0，b)，x2 a2y2 b2已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为_34考点 双曲线的离心率与渐近线题点 求双曲线的离心率答案 2解析 如图所示，在OAB中，6OAa，OBb，OEc，34ABc.a2b2因为ABOEOAOB，所以ccab，34即(a2b2)ab，34两边同除以a2，得2 0，34(b a)b a34解得 或 (舍去)b a3b a33所以e 2.c aa2b2 a21(ba)21双曲线 3x2y2
10、3 的渐近线方程是_答案 yx3解析 双曲线方程可化为标准形式1，a1，b，双曲线的渐近线方程为x2 1y2 33yxx.b a32设P是双曲线1 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x2y0，F1，F2分别x2 a2y2 9是双曲线的左、右焦点，若PF13，则PF2_.答案 7解析 双曲线的一条渐近线方程为yx，3 2由题意得 ，b a3 2又b29，a2，由双曲线定义知，|PF1PF2|2a4，PF27.3若双曲线的实轴长与虚轴长之比为，则双曲线的离心率e_.2答案 62解析 由题意得 ，e.2a 2ba b21b2a26274设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为 2，焦距为 2，则双曲线的
11、渐近线方程为x2 a2y2 b23_答案 yx22解析 由条件知 2b2,2c2，3b1，c，a2c2b22，即a，32双曲线方程为y21，x2 2因此其渐近线方程为yx.225已知双曲线的离心率为 2，焦点是(4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为_答案 1x2 4y2 12解析 依题意知，焦点在x轴上，c4， 2，a2.c ab2c2a212.故双曲线的方程为1.x2 4y2 121双曲线离心率及其范围的求法：(1)双曲线离心率的求解，一般可采用定义法、直接法等方法(2)双曲线离心率范围的求解，涉及解析几何中“范围”问题的解法在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：与已知范
12、围联系，通过求值域或解不等式来完成；通过判别式0；利用点在曲线内部形成的不等式关系；利用解析式的结构特点，如a， ，|a|等非负性a2求双曲线的标准方程，当焦点不明确时，方程可能有两种形式，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2ny21(mn0)，从而直接求得；若已知双曲线的渐近线方程为yx，还可以将方程设为(0)避免焦点的讨论b ax2 a2y2 b28一、填空题1已知点(2,0)是双曲线x21(b0)的一个焦点，则b_.y2 b2答案 3解析 由题意知c2，a1，由c2a2b2，得b2413，所以b.32已知双曲线x21(m0)的离心率为 2，则m的值为_y2 m答案 3解析 由题意得，a
13、21，b2m，c，根据双曲线离心率e 2，得m3.1mc a1m13已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率为 ，则C的方程是_3 2答案 1x2 4y2 5解析 由题意可知c3，a2，b，故双曲线的方程为1.c2a232225x2 4y2 54设ABC是等腰三角形，ABC120，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为_答案 312解析 由题意 2cABBC，AC22csin602c，3由双曲线的定义，有 2aACBC2c2ca(1)c，33e .c a1311 325已知双曲线1(b0)的离心率为 2，则它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为x2 4y2 b2_答案 23解析
14、 由双曲线方程知a2，又e 2，所以c4，c a所以b2.c2a21239所以双曲线的一条渐近线方程为yxx，一个焦点为F(4,0)b a3焦点F到渐近线yx的距离d2.34 31 3236已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，且焦距与虚轴长之比为 54，则双曲线的标准方程是_答案 1x2 9y2 16解析 双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，则焦点在x轴上，且a3，焦距与虚轴长之比为 54，即cb54，解得c5，b4，则双曲线的标准方程是1.x2 9y2 167已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为 60的直线与x2 a2y2 b2双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是_答案 2，)解析 因为双曲线渐近线的斜率为k ，b a直线的斜率为ktan60，故有 ，3b a3所以e 2，c aa2b2 a213所以所求离心率的取值范围是e2.8已知圆C过双曲线1 的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则
