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1、1第第 2 2 章章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程1 利用椭圆的定义解题椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明1求最值例 1 线段AB4，PAPB6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是_解析 由于PAPB64AB，故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为原点，A，B为焦点的椭圆，且a3，c2，b.于是PM的长度的最小值是b.a2c255答案 52求动点坐标例 2 椭圆1 上到两个焦点F1，F2的距离之积最大的点的坐标是_x2 9y2 25解析 设椭圆上的动点为P，由椭圆的定义可
2、知PF1PF22a10，所以PF1PF22225，(PF1PF2 2)(10 2)当且仅当PF1PF2时取等号由Error!解得PF1PF25a，此时点P恰好是椭圆短轴的两端点，即所求点的坐标为(3,0)答案 (3,0)点评 由椭圆的定义可得“PF1PF210” ，即两个正数PF1，PF2的和为定值，结合基本不等式可求PF1，PF2乘积的最大值，结合图形可得所求点P的坐标3求焦点三角形面积例 3 如图所示，已知椭圆的方程为1，若点P在第二象限，且PF1F2120，x2 4y2 3求PF1F2的面积2解 由已知，得a2，b，3所以c1，F1F22c2.a2b2在PF1F2中，由余弦定理，得PFP
3、FF1F2PF1F1F2cos120，2 22 12 2即PFPF42PF1，2 22 1由椭圆定义，得PF1PF24，即PF24PF1.将代入，得PF1 .6 5所以SPF1F2PF1F1F2sin1201 2 2，1 26 5323 35即PF1F2的面积是.3 35点评 在PF1F2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于PF1，PF2的方程组，消去PF2可求PF1.从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解2 如何求椭圆的离心率1由椭圆的定义求离心率例 1 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于 4 个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点
4、恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为_解析 如图所示，设椭圆的方程为1(ab0)，焦距为 2c，由题意知F1AF290，x2 a2y2 b2AF2F160.AF2c，3AF12csin60c.3AF1AF22a(1)c.3e 1.c a2313答案 13点评 本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决2解方程(组)求离心率例 2 椭圆1(ab0)的左焦点为F1(c,0)，A(a，0)，B(0，b)是两个顶点，如x2 a2y2 b2果F1到直线AB的距离为，则椭圆的离心率e_.b7解析 如图所示，直线AB的方程为 1，x ay b即bxayab0.点F1
5、(c,0)到直线AB的距离为，b7b7|bcab|a2b2|ac|，即 7a214ac7c2a2b2.7a2b2又b2a2c2，整理，得 5a214ac8c20.两边同除以a2并由e 知，8e214e50，c a解得e 或e (舍去)1 25 4答案 1 23利用数形结合求离心率4例 3 在平面直角坐标系中，已知椭圆1(ab0)，圆O的半径为a，过点Px2 a2y2 b2作圆O的两条切线，且这两条切线互相垂直，则离心率e_.(a2 c，0)解析 如图所示，切线PA，PB互相垂直，PAPB.又OAPA，OBPB，OAOB，则四边形OAPB是正方形，故OPOA，2即a，e .a2 c2c a22答
6、案 224综合类例 4 设M为椭圆1 上一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，如果MF1F275，x2 a2y2 b2MF2F115，求椭圆的离心率解 由正弦定理得2c sin90MF1 sin15MF2 sin75，MF1MF2 sin15sin752a sin15sin75e .c a1 sin15cos1512sin6063点评 此题可推广为若MF1F2，MF2F1，则椭圆的离心率e.cos 2cos 253 活用双曲线定义妙解题在解双曲线中的有关求动点轨迹、离心率、最值等问题时，若能灵活应用双曲线的定义，能把大题化为小题，起到事半功倍的作用下面举例说明1求动点轨迹例 1 动圆C与两定圆C
7、1：x2(y5)21 和圆C2：x2(y5)216 都外切，求动圆圆心C的轨迹方程解 设动圆圆心为C(x，y)，半径为r，因为动圆C与两定圆相外切，所以Error!即CC2CC130，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支x2 a2y2 b2上，且PF14PF2，试求该双曲线离心率的取值范围解 因为PF14PF2，点P在双曲线的右支上，所以设PF2m，则PF14m，由双曲线的定义，得PF1PF24mm2a，所以ma.2 3又PF1PF2F1F2，即 4mm2c，所以mc，即ac，所以e .2 52 32 5c a5 3又e1，所以双曲线离心率的取值范围为.(1，5 3点评 本题
8、利用双曲线的定义及三角形的两边之和与第三边之间的关系建立了关于双曲线7基本量a，c的不等关系，使问题得以巧妙地转化、获解4 抛物线的焦点弦例 1 如图所示，AB是抛物线y22px(p0)过焦点F的一条弦设A(xA，yA)，B(xB，yB)，AB的中点M(x0，y0)，过A，M，B分别向抛物线的准线l作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则有以下重要结论：(1)以AB为直径的圆必与准线相切；(2)AB2(焦点弦长与中点坐标的关系)；(x0p 2)(3)ABxAxBp；(4)A，B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值，即xAxB，yAyBp2；p2 4(5)A1FB1F；(6)A，O，B1三点共线；(
9、7) .1 FA1 FB2 p以下以第(7)条结论为例证明：证明 当直线AB的斜率不存在，即与x轴垂直时，FAFBp， .1 FA1 FB1 p1 p2 p当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk，并代入y22px，(xp 2)22px，(kxkp 2)即k2x2p(2k2)x0.k2p2 4由A(xA，yA)，B(xB，yB)，8则xAxB，xAxB.pk22k2p2 4FAxA ，FBxB ，p 2p 2FAFBxAxBp，FAFB(xAp 2)(xBp 2)xAxB (xAxB) (xAxBp)p 2p2 4p 2FAFBFAFB ，即 .2 p1 FA1 FB2 p点评 该结论是
10、抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质，解题时，不可忽视ABx轴的情况例 2 设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0 0，则|FAFBFC|_.FAFBFC解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0)由0 0 知(x11)(x21)(x31)0，FAFBFC即x1x2x33，|x1x2x3p6.FAFBFC3 2答案 65 求曲线方程的常用方法曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考的常考点求曲线方程时，应根据曲线的不同背景，不同的结构特征，选用不同的思路和方法，才能简捷明快地解决问题下面对其求法进行探究1定义法求曲线方程时，如果动点轨迹满足
11、已知曲线的定义，则可根据题设条件和图形的特点，恰当运用平面几何的知识去寻求其数量关系，再由曲线定义直接写出方程，这种方法叫做定义法例 1 如图，点A为圆形纸片内不同于圆心C的定点，动点M在圆周上，将纸片折起，使点M与点A重合，设折痕m交线段CM于点N.现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy中，设圆C：(x1)2y24a2 (a1)，A(1,0)，记点N的轨迹为曲线E.9(1)证明曲线E是椭圆，并写出当a2 时该椭圆的标准方程；(2)设直线l过点C和椭圆E的上顶点B，点A关于直线l的对称点为点Q，若椭圆E的离心率e，求点Q的纵坐标的取值范围1 2，32解 (1)依题意，直线m为线段AM的垂直平分线
12、，NANM.NCNANCNMCM2a2AC，N的轨迹是以C，A为焦点，长轴长为 2a，焦距为 2 的椭圆当a2 时，长轴长为 2a4，焦距为 2c2，b2a2c23.椭圆的标准方程为1.x2 4y2 3(2)设椭圆的标准方程为1(ab0)x2 a2y2 b2由(1)知a2b21.又C(1,0)，B(0，b)，直线l的方程为 1，即bxyb0.x 1y b设Q(x，y)，点Q与点A(1,0)关于直线l对称，Error! 消去x得y.4b b21离心率e， e2 ，1 2，321 43 4即 ， a24.1 41 a23 44 3 b214，即b，4 333310y2，当且仅当b1 时取等号4b
13、b214b1b又当b时，y；当b时，y.y2.333333点Q的纵坐标的取值范围是，232直接法若题设条件有明显的等量关系，或者可运用平面几何的知识推导出等量关系，则可通过“建系、设点、列式、化简、证明”五个步骤直接求出动点的轨迹方程，这种“五步法”可称为直接法例 2 已知直线l1：2x3y20，l2：3x2y30.有一动圆M(圆心和半径都在变动)与l1，l2都相交，并且l1，l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值 26,24.求圆心M的轨迹方程解 如图，设M(x，y)，圆半径为r，M到l1，l2的距离分别是d1，d2，则d132r2，d122r2，2 12 2dd25，2 22 1即222
14、5，(|3x2y3|13)(|2x3y2|13)化简得圆心M的轨迹方程是(x1)2y265.点评 若动点运动的规律是一些几何量的等量关系，则常用直接法求解，即将这些关系直接转化成含有动点坐标x，y的方程即可3待定系数法若已知曲线(轨迹)的形状，求曲线(轨迹)的方程时，可由待定系数法求解例 3 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是 6，且 cosOFA ，求椭圆的方程2 3解 椭圆的长轴长为 6，cosOFA ，2 3所以点A不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以OFc，AFOA2OF2b2c211a3， ，所以c2，b232225，c 32 3故椭圆的方程为1 或1.x2 9y2 5x2 5y2 94相关点法(或代入法)如果点P的运动轨迹或所在的曲线已知，又点P与点Q的坐标之间可以建立某种关系，借助于点P的运动轨迹便可得到点Q的运动轨迹例 4 如图所示，从双曲线x2y21 上一点Q引直线l：xy2 的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程分析 设P(x，y)，因为P是QN的中点，为此需用P点的坐标表示Q点的坐标，然后代入双曲线方程即可解 设P点坐标为(x，y)，双曲线上点Q的坐标为(x0，y0
