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1、大庆一中高二年级下学期第三次月考大庆一中高二年级下学期第三次月考数学试题数学试题( (理理) )一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. .1. ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据复数的除法运算即可.详解：由题意可得：故选 D.点睛：考查复数的除法运算，属于基础题.2. 欲证 成立，只需证( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：不等式两边同时平方要求两边都是正数，再结合
2、分析法即可.详解：要证，因为不等式两边为负数，故变形为证明：，此时不等式两边都为正数，故有分析法可得只需证：即可，故选 C.点睛：本题是易错题，证明不等式的左右两边大小关系，在选择两边同时平方时要注意不等号两边是否同时为正数.3. 从 3 名男生和 4 名女生中随机选取 3 名学生去参加一项活动，则至少有一名女生的抽法共多少种( )A. 34 B. 30 C. 31 D. 32【答案】A【解析】共有种故选4. 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为( )A. 都是奇数 B. 都是偶数C. 中至少有两个偶数 D. 中至少有两个偶数或都是奇数【答案】D【解析】结论：“自
3、然数中恰有一个偶数”的反面为恰有两个偶数或恰有三个偶数或恰没有偶数,因此选 D.5. 已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是( )A. 在上为减函数 B. 在处取得最大值C. 在上为减函数 D. 在处取得最小值【答案】C【解析】分析：根据函数 f（x）的导函数 f（x）的图象可知 f（0）=0，f（2）=0，f（4）=0，然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可详解：根据函数 f（x）的导函数 f（x）的图象可知：f（0）=0，f（2）=0，f（4）=0当 x0 时，f（x）0，f（x）递增；当 0x2 时，f（x）0，f（x）递减；当 2x4 时，f（x）0，f
4、（x）递增；当 x4 时，f（x）0，f（x）递减可知 C 正确，A 错误；由极值的定义可知，f（x）在 x=0 处函数 f（x）取到极大值，x=2 处函数 f（x）的极小值点，但极大值不一定为最大值，极小值不一定是最小值；可知 B、D 错误故选：C点睛：由导函数图象推断原函数的性质，由 f（x）0 得增区间，由 f（x）0 得减区间，由 f（x）=0 得到的不一定是极值点，需判断在此点左右 f（x）的符号是否发生改变.6. 设，则( )A. B. C. D. 不存在【答案】C【解析】分析：根据定积分的区间可加性性质可求解.详解：由题可得：故选 C.点睛：考查定积分的性质，对定积分的正确反导是
5、解题关键，属于基础题.7. 已知函数(是自然对数的底数)，则的极大值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：先求导计算，然后确定函数的单调性从而确定及极大值点求极大值.详解：由题得：，令 x=e，可得，所以，令0 得：02e.故函数，x=2e 处取得极大值，所以选 D.点睛：考查导函数的应用，对求导和极值点的准确计算是解题关键，属于基础题.8. “” ，在用数学归纳法证明上述恒等式的过程中，由推导到时，等式的右边增加的式子是( )A. B. C. D. 【答案】D.详解：当 n=k 时，右边= （1） ，当 n=k+1 时，右边= （2） ，（2）-（1）=-.故选 D.点睛：
6、本题主要考查数学归纳法的理解和掌握，属于基础题.9. 设函数，观察下列各式：，根据以上规律，若，则整数 的最大值为( )A. B. 8 C. 9 D. 10【答案】C【解析】分析：由已知所给的前几函数的特点：分子都是 x，分母是关于 x 的一次式，其常数项为 2n，一次项的系数比常数项小 1，据此即可得出答案详解：观察：，可知：分子都是 x，分母是关于 x 的一次式，其常数项为 2n，一次项的系数比常数项小 1，故 fn（x）=，所以，即 ，故 n的最大值为 9，选 C.点睛：善于分析、猜想、归纳所给的式子的规律特点是解题的关键然后再结合函数的最值分析思维即可解决问题.10. 若函数在 上单调
7、递增，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：对恒成立，故，即恒成立，即对恒成立，构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得故选 C【考点】三角变换及导数的应用【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性.视频11. 学校计划在全国中学生田径比赛期间，安排 6 位志愿者到 4 个比赛场地提供服务，要求甲、乙两个比赛场地各安排一个人，剩下两个比赛场地各安排两个人，其中的小李和
8、小王不在一起，不同的安排方案共有( )A. 168 种 B. 156 种 C. 172 种 D. 180 种【答案】B【解析】分析：据题意，用间接法分析，先分 4 步进行分析不受限制的排法数目，再排除计算其中小李和小王在一起的排法数目，计算即可得答案详解：根据题意，设剩下的 2 个场地为丙和丁，用间接法分析：先计算小李和小王不受限制的排法数目：先在 6 位志愿者中任选 1 个，安排到甲，有 C61=6种情况，再在剩下的 5 个志愿者中任选 1 个，安排到乙，有 C51=5 种情况，最后将剩下的 4 个志愿者平均分成 2 组，全排列后安排到剩下的 2 个场地，有则小李和小王不受限制的排法有 65
9、6=180 种，若小李和小王在一起，则两人去丙或丁，有 2 种情况，在剩下的 4 位志愿者中任选 1 个，安排到甲，有 C41=4 种情况，再在剩下的 3 个志愿者中任选 1 个，安排到乙，有 C31=3 种情况，最后 2 个安排到剩下的场地，有 1 种情况，则小李和小王在一起的排法有 243=24 种，则小李和小王不在一起排法有 180-24=156 种；故选 B.点睛：本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论12. 若，函数有两个极值点，则的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为 为两根，因此，点睛：求范围问题，一般利用条件转
10、化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域.二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上）13. 设，若(是虚数单位)，则_.【答案】.【解析】分析:根据复数分类为实数的条件求出 a，再根据模长公式求解即可.详解：由已知可得：故答案为.点睛：考查复数的分类，模长计算，对条件公式的正确记忆是解题关键，属于基础题14. 展开式中的系数为_.【答案】-14.【
11、解析】分析：写出二项式（1-x）7的展开式的通项，分别求出含 x2与含 x3的项，与(1+ )结合得答案详解：二项式（1-x）7的展开式的通项为：，取 r=2，可得含 x2的项为，取 r=3 可得：，所以展开式中的系数为,故答案为-14点睛：本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题15. 下图中共有_个矩形.【答案】45.【解析】分析：结合图形进行分类，利用排列组合的性质求解每类中矩形的个数，然后利用加法原理即可求得图中矩形的个数.详解：如图所示，由排列组合知识可知，在矩形中，含有矩形的个数为，在矩形中，含有矩形的个数为，除去上面考虑过的情况，在矩形中，含有矩形的个数为，
12、在矩形中，含有矩形的个数为，综上可得：图中矩形的个数为：.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法16. “求方程的解”有如下解题思路：设，则在 上单调递减，且，所以原方程有唯一解，类比上述解题思路，不等式的解集是_.【答案】.【解析】不等式变形为，x6+x2（x+2）3+（x+2） ；
13、令u=x2，v=x+2，则x6+x2（x+2）3+（x+2）u3+uv3+v；考查函数f（x）=x3+x，知f（x）在 R R 上为增函数，f（u）f（v） ，uv；不等式x6+x2（x+2）3+（x+2）可化为x2x+2，解得x1 或x2；不等式的解集为：（，1）（2，+） 故答案为：（，1）（2，+） 点睛：本题主要考查抽象函数函数的奇偶性、单调性及对称性，属于难题.解决这类问题，一定要多读题，挖掘出隐含条件，其次要先从熟悉的知识点入手，有点到面逐步展开，解答本题的关键是构造函数f（x）=x3+x， ，进而利用单调性解不等式可得结果.三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题
14、，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17. 已知函数.(1)求函数的单调区间.(2)若对恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) 函数的单调增区间为，单调减区间为.(2) .【解析】试题分析：（1）对函数求导，令，解不等式，即得到递增区间，令，解不等式，即得递减区间；（2）若对恒成立，即对恒成立，所以问题转化为求成立即可，即求函数在区间上的最小值，根据第（1）问单调性，易求出函数在上的最小值，于是可以求出的取值范围。试题解析：（1）令，解得或， 令，解得：. 故函数的单调增区间为，单调减区间为. （2）由（1）
15、知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又， 对恒成立，即，点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.18. 已知数列的前 项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，且数列的前 项和为，求.【答案】(1).(2)证明见解析.【解析】分析：（1）当时，又时，适合；（2），利用“裂项相消法”即可得出数列的前 项和为.详解：（1）当时，又时，适合.（2）证明：由（1）知， .点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.19. 在中，内角所对的边分别是，已知.(1)求角 的大小；(2
