六年级奥数比和比例

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1、第二讲 比和比例教学目标：1、比例的基本性质 2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题 3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化； 4、单位“ 1”变化的比例问题 5、方程解比例应用题 知识点拨： 比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内 容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有： 一、比和比例的性质 性质 1：若 a: b=c：d，则 (a + c)：(b + d)= a：b=c：d； 性质 2：若 a: b=c：d，则 (a - c)：(b - d)= a：b=c：d； 性质 3：若 a: b=c：d，则 (a +x c)：(b

2、+x d)=a：b=c：d；(x 为常数 ) 性质 4：若 a: b=c：d，则 a d = b c；(即外项积等于内项积) 正比例：如果a b=k(k 为常数 )，则称 a、b 成正比； 反比例：如果a b=k(k 为常数 )，则称 a、b 成反比二、主要比例转化实例xaybybxa；xyab；abxy；xaybmxamyb；xmaymb(其中0m) ；xaybxaxyab；xyabxa；xyabxyab；xayb，yczdxaczbd；:x y zac bc bd ；x的ca等于y的db，则x是y的adbc，y是x的bcad三、按比例分配与和差关系 按比例分配 例如：将x个物体按照:a b

3、 的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x的比分别为:aab 和:bab ，所以甲分配到axab个，乙分配到bxab个. 已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题例如：两个类别A、B，元素的数量比为:a b ( 这里 ab ) ，数量差为x，那么A的元素数量为axab，B的元素数量为bxab， 所以解题的关键是求出ab 与a或 b 的比值四、比例题目常用解题方式和思路解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l” 。题中如果有几个不同的单位“1” ，必 须根据具体情况，将不同的单位“1” ，转化成统一的单位“1” ，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。

4、在解答分数应用题时，要注意以下几点： 1.题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量 为单位“ 1” 。 2.若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1” 。 3.应用正、 反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例， 还是成反比例。 找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反 比例关系，就能找到更好、更巧的解法。4.题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。 5.赋值解比例问题 例题精讲： 模块一、比例转化【例1】 已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的13，乙等于甲、丙两数和的12，丙等于甲、乙两数和的57

5、，求:甲 乙 丙 .【例2】 已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的2倍也等于丙的23，那么甲的23、乙的2倍、丙的一半这三个数的比为多少？【例3】 如下图所示，圆B与圆 C 的面积之和等于圆A面积的45，且圆A中的阴影部分面积占圆A面积的16，圆B的阴影部分面积占圆B面积的15，圆C的阴影部分面积占圆 C 面积的13求圆A、圆B、圆 C 的面积之比C BA【例4】 某俱乐部男、女会员的人数之比是3: 2 ，分为甲、乙、丙三组已知甲、乙、丙三组的人数比是10:8:7，甲组中男、女会员的人数之比是3:1 ，乙组中男、女会 员的人数之比是5:3求丙组中男、女会员人数之比【巩固】一项公路的修建工程被

6、平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程 队建设了相同多的一段时间后，分别剩下60% 、 40% 的任务没有完成，已知两个 工程队的工作效率( 建设速度 ) 之比 3:1 ， 求这两个工程队原先承包的修建公路长度 之比 .【例5】 某团体有 100名会员， 男女会员人数之比是14 :11 ， 会员分成三组， 甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为12:13 、 5:3、 2:1 ，那么 丙组有多少名男会员？【例6】 ( 2007 年华杯赛总决赛)A、B、 C 三项工程的工作量之比为1: 2:3，由甲、乙、 丙三队分别承担三个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量

7、是乙未完成的工作量 的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未 完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？【巩固】某次数学竞赛设一、二、三等奖已知：甲、乙两校获一等奖的人数相等； 甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6 ；甲、 乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20% ；甲校获三等奖的人数占该校获 奖人数的 50% ；甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5 倍那么， 乙校获一等奖 的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？【例7】 某校毕业生共有9 个班，每班人数相等已知一班的男生人数比二、三班两 个班

8、的女生总数多1；四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数 多 1那么该校毕业生中男、女生人数比是多少？模块二、按比例分配与和差关系 （一）量倍对应 【例8】 一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到16个，而甲、乙两班的 人数比为 13:11 ，求一共有多少个苹果？【巩固】小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为3: 4: 6 ，三人一共藏书52本 求他们三人各自的藏书数量. 【巩固】在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80 元已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是10: 7 ，则甲捐元，乙捐元，丙捐元【巩固】有 120个皮球，分给两个

9、班使用，一班分到的13与二班分到的12相等，求两个班各分到多少皮球？【例9】 一班和二班的人数之比是8:7 ，如果将一班的8名同学调到二班去，则一班和二 班的人数比变为4:5求原来两班的人数【例10】幼儿园大班和中班共有32 名男生， 18 名女生 已知大班男生数与女生数的比为 5:3，中班男生数与女生数的比为2:1 ，那么大班有女生多少名？【巩固】参加植树的同学共有720人，已知六年级与五年级人数的比是3:2 ，六年级比 四年级多 80 人，三个年级参加植树的各有多少人? 【巩固】圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，20 支圆珠笔和21 支铅笔共用71 5 元问圆珠笔的单价是每支多少元? 【例11

10、】甲、乙两只蚂蚁同时从A点出发，沿长方形的边爬去，结果在距B点2厘米的 C 点相遇，已知乙蚂蚁 的速度是甲的1.2 倍，求这个长方形的周长【例12】甲乙两车分别从A， B 两地出发， 相向而行 出发时， 甲、乙的速度比是54，相遇后，甲的速度减少20，乙的速度增加20，这样，当甲到达B 地时， 乙离 A 地还有 10 千米问： A，B 两地相距多少千米？【例13】师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9 分钟，徒弟加工一个零件用15 分钟完成任务时，师傅比徒弟多加工100 个零件，求师傅和徒弟一共加工了 多少个零件？【巩固】师徒二人共加工零件400 个，师傅加工一个零件用9 分钟， 徒弟加工

11、一个零件用 15分钟完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？【例14】A、B、 C 三个水桶的总容积是1440 公升，如果A、B两桶装满水，C 桶是空的；若将A桶水的全部和B桶水的15，或将B桶水的全部和A桶水的13倒入 C 桶， C 桶都恰好装满求A、B、 C 三个水桶容积各是多少公升？【巩固】学而思学校四五六年级共有615 名学生，已知六年级学生的12，等于五年级学生的25，等于四年级学生的37。这三个年级各有多少名学生学生？甲乙CBA【例15】一块长方形铁板，宽是长的45从宽边截去21厘米，长边截去35% 以后，得到一块正方形铁板问原来长方形铁板的长是多少厘米?【巩固】一个正方形的一边减

12、少20% ，另一边增加2米，得到一个长方形，这个长方 形的面积与原正方形面积相等原正方形的边长是多少米?【例16】一把小刀售价3元如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比 是 2:5； 如果小强买了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为8:13 小明原来有多少钱？【巩固】甲、乙两人原有的钱数之比为6 :5，后来甲又得到180 元，乙又得到30 元， 这时甲、乙钱数之比为18:11 ，求原来两人的钱数之和为多少？【例17】一项机械加工作业，用4 台A型机床， 5 天可以完成；用4 台A型机床和2 台B型机床 3 天可以完成； 用 3 台B型机床和9台 C 型机床， 2 天可以完成， 若

13、3 种机床各 取一台工作5 天后，剩下A、 C 型机床继续工作，还需要_ 天可以完成作业【例18】动物园门票大人20 元，小孩 10 元六一儿童节那天，儿童免票，结果与前一 天相比，大人增加了60% ， 儿童增加了90% ， 共增加了 2100人， 但门票收入与前一天相同六 一儿童节这天共有多少人入园？【例19】某水果批发市场存放的苹果与桃子的吨数的比是1: 2 ，第一天售出苹果的 20% ，售出桃子的吨数与所剩桃子的吨数的比是1: 3 ；第二天售出苹果18 吨，桃子12吨，这样一来，所剩苹果的吨数是所剩桃子吨数的415，问原有苹果和桃子各有多少吨？（二）利用不变量统一份数【例20】有一个长方

14、体，长和宽的比是2:1 ，宽与高的比是3: 2表面积为272cm ，求这个长方体的体积. 【巩固】有一个长方体，长与宽的比是2:1 ，宽与高的比是3:2 已知这个长方体的全 部棱长之和是220 厘米，求这个长方体的体积【例21】（2009 年第七届“希望杯”二试六年级）某高速公路收费站对于过往车辆收 费标准是：大型车30 元，中型车 15元，小型车 10元一天，通过该收费站的大型车和中型 车数量之比是5: 6 ，中型车与小型车之比是4:11 ，小型车的通行费总数比大型车多270 元 （1）这天通过收费站的大型车、中型车、小型车各有多少辆？（2）这天的收费总数是 多少元？【例22】6 枚壹分硬币

15、摞在一起与5 枚贰分硬币摞在一起一样高，4枚壹分硬币摞在一 起与 3枚伍分硬币摞在一起一样高用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体，并且三个 圆柱体一样高，共用了124枚硬币，问：这些硬币的币值为多少元？【例23】某工地用 3种型号的卡车运送土方已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为10 :7:6 ，速度比为6:8 :9 ，运送土方的路程之比为15 :14 :14 ，三种车的辆数之比为10 :5:7 工程开始时， 乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到 10 天后， 另一半甲种车才投入工作，一共干了25天完成任务那么，甲种车完成的工作量与总工作 量之比是多少？【例24】将一堆糖果全部

16、分给甲、乙、丙三个小朋友原计划甲、乙、丙三人所得糖 果数的比为5:4:3实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为7:6:5，其中有一位小朋友 比原计划多得了15 块糖果那么这位小朋友是 (填“甲”、 “乙”或“丙”) ，他实 际所得的糖果数为块【巩固】今年儿子的年龄是父亲年龄的14，15 年后，儿子的年龄是父亲年龄的511今年儿子多少岁？【例25】一个周长是56厘米的大长方形，按图与图所示意那样，划分为四个小长 方形在图中小长方形面积的比是:1: 2A B，:1: 2B C而在图中相应的 比例是 :1: 3AB，:1: 3BC. 又知长方形D的宽减去D的宽所得到的差与D 的长减去D的长所得到差之比为1: 3求大长方形的面积（ 1）DCBADCBA【例26】北京中学生运动会男女运动员比例为19:12 ， 组委会决定增加女子艺术体操项 目，这样男女运动员比例变为20 :13；后来又