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1、选 修 4-1几 何 证 明 选 讲,第二节 直线与圆的位置关系,抓 基 础,明 考 向,提 能 力,备考方向要明了,一、圆周角定理 1圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的 2圆心角定理 圆心角的度数等于 推论1 同弧或等弧所对的圆周角 ；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是 ；90的圆周角所对的弦是 ,一半,它所对弧的度数,相等,相等,直径,直角,二、圆内接四边形的性质与判定定理 1性质 定理1 圆内接四边形的对角 定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的 2判定 判定定理 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点 推论 如
2、果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点 ,互补,对角,共圆,共圆,三、圆的切线的性质及判定定理 1性质定理 圆的切线垂直于经过切点的 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必过 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必过 2判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的 四、弦切角的性质 定理 弦切角等于它所夹的弧所对的 ,半径,切点,圆心,切线,圆周角,五、与圆有关的比例线段 1相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条 线段长的 相等 2割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每 条割线与圆的交点的两条线段长的 相等 3切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割
3、线，切线长 是这点到割线与圆交点的两条线段长的 4切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切 线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的 ,积,积,比例中项,夹角,1自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为 PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且BMP100，BPC40，求MPB的大小,解：因为MA为圆O的切线，所以MA2MBMC. 又M为PA的中点，所以MP2MBMC. 因为BMPPMC，所以BMPPMC， 于是MPBMCP. 在MCP中， 由MPBMCPBPCBMP180， 得MPB20,3(2011江苏高考)如图，圆O1与圆O2内 切于点A，其半径分别为r1与r
4、2(r1r2) 圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上) 求证：ABAC为定值,1圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相 等的角，找相似三角形，从而得出线段的比由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用,2判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法 (1)如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共点，设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连半径，证垂直”； (2)若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记“作垂直，证半径”,精析考题 例1 (2011广东高考)如图所示，过圆 O
5、外一点P分别作圆的切线和割线交圆于 A，B，且PB7，C是圆上一点使得BC 5，BACAPB，则AB_.,本例中条件若变为“PAB35”试求AOB.,解：因为PABACB35，所以AOB 2ACB70.,巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！),1(2011深圳模拟)如图，四边形ABCD内接于O，BC是直径，MN与O相切，切点为A，MAB35，则D_.,解析：连接AC，因为BC为直径，所以BAC90，再 由弦切角性质定理，得MABACB35，所以B55，根据圆内接四边形对角互补，得D125.,答案：125,冲关锦囊,1圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推 出角的关系，从而证明三角形全等
6、或相似，可求线段或角的大小 2涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周 上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角.,精析考题 例2 (2011辽宁高考)如图，A，B， C，D四点在同一圆上，AD的延长线 与BC的延长线交于E点，且ECED. (1)证明：CDAB； (2)延长CD到F，延长DC到G，使得EFEG，证明：A，B，G，F四点共圆,自主解答 证明：(1)因为ECED，所以EDCECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以EDCEBA.故ECDEBA. 所以CDAB.,(2)由(1)知，AEBE.因为EFEG， 故EFDEGC， 从而FEDGEC. 连接AF，
7、BG，则EFAEGB，故FAEGBE. 又CDAB，EDCECD，所以FABGBA. 所以AFGGBA180. 故A，B，G，F四点共圆,3(2012盐城调研)如图，在梯形ABCD 中，ADBC，点E，F分别在边AB， CD上，设ED与AF相交于点G，若B，C，F，E四点共圆，求证：AGGFDGGE.,证明：连接EF，B，C，F，E四点共圆， ABCEFD. ADBC，BADABC180. BADEFD180. A，D，F，E四点共圆 ED交AF于点G，AGGFDGGE.,冲关锦囊,判断四点共圆的步骤 观察几何图形，找到一定点、一对对角或一外角与其内对角； 判断四点与这一定点的关系； 判断四边
8、形的一对对角的和是否为180； 判断四边形一外角与其内对角是否相等； 下结论.,精析考题 例3 (2011北京高考)如图，AD， AE，BC分别与圆O切于点D，E，F， 延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论： ADAEABBCCA； AFAGADAE；AFBADG. 其中正确结论的序号是 ( ) A B C D,自主解答 逐个判断：由切线定理得CECF，BDBF，所以ADAEABBDACCEABACBC，即正确；由切割线定理得AFAGAD2ADAE，即正确；因为ADFAGD，所以错误,答案 A,巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！),5(2012西安模拟)如图所示，过O 外一点P作一直线与O交于A，B 两点已知PA2，点P到O的 切线长PT4，则弦AB的长为_,答案： 6,解析：由切割线定理得PT2PAPB，PA2，PT4，PB8.ABPBPA6.,冲关锦囊,1应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容： 如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、 与圆有关的相似三角形等 2相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线 段的计算与证明解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用,点击此图进入,
