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1、单摆运动相图,由牛顿第二定律：非线性方程式中角频率：,单摆,数学表达式,线性化处理忽略3次以上的高次项得线性方程,数学表达式,单摆,降阶,数学表达式,单摆,差分化,数学表达式,单摆,数学表达式,单摆,差别很大！,差别很大！,这就是 相图,同时显示坐标和动量（速度）,差分化,数学表达式 改进算法,单摆,误差,初始值：,四阶RungeKutta方法,RungeKutta method,一、单摆运动非线性方程,初始值：,二、扰动的单摆,庞加莱截面与庞加莱映射,相图可把非线性系统的状态形象地描绘出来，但是随阻尼力与驱动力的加入，其相图也会变得越来越复杂。庞加莱在相空间里取一常数坐标截面，称为庞加莱截面
2、，研究相轨线与该截面的交点，用以分析系统的复杂行为。在n 维相空间里取一个n-1维面。相轨线通过截面时留下点的一幅图象反映了轨线运行情况。人们将时间上的连续运动转变为 离散的图象处理方法称为庞加莱 映射。,三.庞加莱映射,单周期运动，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在截面的同一位置穿过，截面上只留下一个点。两倍周期运动，每个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点；四周期运动，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上就留下四个点；推广到无周期运动，截面上将出现留下无穷多点。,三.庞加莱映射,庞加莱截面与轨线运动,三.庞加莱映射,庞加莱截面与轨线运动,单周期运动，轨线每次重复地运行
3、在原有轨道上，它总是在截面的同一位置穿过，截面上只留下一个点。 两倍周期运动，每个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点； 四周期运动，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上留下四个点; 无周期运动，截面上将出现留下无穷多点。,单摆的三维相空间,三.庞加莱映射,阻尼单摆的运动方程可化成三个方程：用三个变量q, j, w 组成三维相空间 相角j有周期性，把2 np 和2(n+1)p 平面连接起来，相空间扩展为圆环。 原来园形轨线成了在圆环面的环线。取某常数位相，即在该位相处截取一 平面，环线在穿过时留下了一个点。,它的相图有一个奇怪吸引子(无周期运动)。相轨线绕着该吸引子一圈又一圈地不仃地转动，结果相空间的轨线越来越复杂。图中那一团相轨线就是在绕了1000圈后在该吸引子附近的形状。右下角是庞加莱截面图，图形不仅简单得多，而且显示出某种结构。由庞加莱截面图可见，转子的相轨线尽管极其复杂，但它不是毫无规律的，而是具有某种内在的规律性在内。,受驱转子运动,三.庞加莱映射,四、扰动的单摆庞加莱截面,龙格库塔算法,小论文题目,台球问题 三体问题,
