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1、圆的基本性质1 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧。3、圆具有旋转对称性，特别的圆是中心对称图形，对称中心是圆心。圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。4、圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 来源 :学科网 ZXXK圆周角定理推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径。圆与三角形的关系1、不
2、在同一条直线上的三个点确定一个圆。2、三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆。3、三角形的外心：三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心。4、三角形的内切圆：与三角形的三边都相切的圆。5、三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。直线和圆的位置关系相交、相切、相离当直线和圆相交时，d r ；反过来，当dr 时，直线和圆相交。 来源 :Zxxk.Com当直线和圆相切时，d r ；反过来，当dr 时，直线和圆相切。当直线和圆相离时，d r ；反过来，当dr 时，直线和圆相离。切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直
3、线是圆的切线。切线长： 在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这点的连线平分两条切线的夹角。圆与圆的位置关系重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用难点：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题外离：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的外部相离：内含：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的内部相切：外切：两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的外部内切：两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的内部相交：两圆只有两个公
4、共点。设两圆的半径分别为r1、r2，圆心距（两圆圆心的距离）为d，则有两圆的位置关系，d 与r1和 r2之间的关系外离dr1+r2外切d=r1+r2相交r1r2dr1+r2内切d=r1r2内含0dr1r2（其中d=0，两圆同心）正多边形和圆正多边形的中心：所有对称轴的交点；正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径。正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角。正 n 边形的 n 条半径把正n 边形分成n 个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。弧长和扇形、圆锥侧面积面积1n的圆心角所对的弧长L=180n R2圆心角为n的
5、扇形面积是S扇形 =2360n R3. 全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所以全面积=rL+r2 如图，四边形ABCD内接于 O ，BD是 O 的直径，AECD，垂足为E，DA平分BDE（1）求证：AE是 O的切线；（2）若301cmDBCDE，求BD的长（1）证明：连接OA，DA平分BDE，BDAEDAOAODODAOAD，OADEDAO AC EAEDE，9090AEDOAEDEA，AEOAAE是O 的切线（2）BD是直径，90BCDBAD3060DBCBDC，120BDEDA平分BDE，60BDAEDA30ABDEAD在RtAED中，90302AEDEADADDE，在RtABD中，9
6、03024BADABDBDADDE，DE的长是 1cm，BD的长是 4cm如图，已知在O中， AB=34，AC是 O的直径， AC BD于 F， A=30. (1) 求图中阴影部分的面积；(2) 若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径. (1) 连结 ADACBD， AC 是直径， AC 垂直平分BD。 AB=AD ， BF=FD ，BCCD。BAD=2 BAC=60 ，BOD=120 BF= 21AB=23， sin60 = ABAF， AF=AB sin60 =43 23=6。OB2=BF2+OF2即222(2 3)(6)OBOBOB=4S阴影= 31S圆=16
7、3。（2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2 r，12024180r43r。D E C B O A D E C B O A 如 图 ， 在矩 形ABCD中 ， 点EF、分 别 在 边ADDC、上 ，ABEDEF，692ABAEDE，求EF的长解：四边形ABCD是矩形， AB=6 A=D=90， DC=AB=6 又 AE=9 在 RtABE 中，由勾股定理得：BE=117692222ABAEABEDEF， EFBEDEAB，即 EF11726EF= 3117如图，ABC内接于O，AD是ABC的边BC上的高，AE是O的直径，连接BE，证明：ABE与ADC相似在ABE与 ADC 中AE 是O 的直
8、径， ABE=90o，AD 是 ABC的边 BC 上的高，ADC=90o， ABE= ADC又同弧所对的圆周角相等， BEA=DCA ABE ADC如图， 已知抛物线与x交于 A( 1，0) 、E(3，0)两点， 与y轴交于点 B(0，3) 。（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；（3）AOB与 DBE是否相似？如果相似，请给以证明； 如果不相似，请说明理由。 （1）抛物线与y轴交于点（ 0，3） ，设抛物线解析式为)0( 32abxaxy根据题意，得 033903baba，解得 21ba抛物线的解析式为322xxy(5) (2)(5 )由顶点坐标公式得顶点坐
9、标为（1，4）设对称轴与x 轴的交点为F 四边形ABDE 的面积 =ABODFEBOFDSSS梯形=111()222AO BOBODFOFEFDF=1111 3(34)124222=9 （3）相似如图， BD=2222112BGDG；BE=2222333 2BOOEDE=2222242 5DFEF2220BDBE, 220DE即：222BDBEDE,所以BDE是直角三角形90AOBDBE,且22AOBOBDBE, AOBDBE如图，O中，弦ABCD、相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DFAD，连接BC 、 BF（1）求证：CBEAFB；（2）当58BEFB时，求CBAD的值（1）证明
10、：,AEEB ADDFED是ABF的中位线，ED,BF,CEBABF又,CA,CBEAFB（2）解：由（ 1）知，CBEAFB, 5.8CBBEAFFB又2,AFAD54CBADO F D A E B C 如图，半圆的直径10AB，点C在半圆上，6BC（1）求弦AC的长；（2）若P为AB的中点，PEAB交AC于点E， 求PE的长解：AB是半圆的直径，点C在半圆上，90ACB在RtABC中，22221068ACABBC（2）PEAB，90APE90ACB，APEACB又PAECAB，AEPABC， PEAPBCAC 1102 68PE301584PE如图，在平面直角坐标系中，直线AB与 Y 轴和
11、 X 轴分别交于点A、点 8，与反比例函数y一罟在第一象限的图象交于点c(1 ，6) 、点 D(3，x) 过点 C作 CE上 y 轴于 E，过点 D 作 DF上 X轴于 F(1) 求 m ，n 的值；(2) 求直线 AB的函数解析式；(3) 求证： AEC DFB 解： （1）由题意得1= 6mm=6 n=36n=2 （2）设直线AB 的函数解析式为y=kx+b 由题意得236bkbk解得82bk直线 AB 的函数解析式为y=2x+8。（3） y= 2x+8 A（0，8） ， B（4，0）CEy 轴， DF x 轴， AEC=DFB=Rt AE=DF=2 ，CE=BF=1 ， AEC DFB
12、。如图，在 ABC中， C=90， AC=3 ，BC=4 0 为 BC边上一点，以0为圆心， OB为半径作半圆与BC边和 AB边分别交于点D、点 E，连结DE (1) 当 BD=3时，求线段DE的长；(2) 过点 E 作半圆 O的切线，当切线与AC边相交时， 设交点为F 求证： FAE是等腰三角形解： （1） C=90， AC=3 ， BC=4，AB=5 ，DB 为直径， DEB=C=90，又 B= B ， DBE ABC ABBDACDE即533DEDE=59。（2）解法一：连结OE，EF 为半圆 O 的切线， DEO+DEF=90， AEF+ DEF=90， AEF=DEO， DBE AB
13、C， A= EDB，又 EDO=DEO， AEF=A， FAE 是等腰三角形。已知关于x 的一次函数ymx3n 和反比例函数y25mn x的图象都经过点(1 ，2)求： (1) 一次函数和反比例函数的解析式；(2) 两个函数图象的另一个交点的坐标(1)两函数图象都过点(1， 2)，解之，得，m3n22m5n2m4n2一次函数的解析式为y4x6，反比例函数的解析式为y2x(2)根据题意，列出方程组y4x6y ，2x解之，得 ，x1y2xy412两函数图象的另一个交点为，(124)例已知一次函数 和反比例函数2 yx6y(k0)kx k 满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系xOy 中的图象有两个公共点？(1)yx6y根据题意，得 ，kx消去 y，得 x26xk0 364k0， k9当 k9 且 k0 时，方程x2 6xk0 有两个不相等的非零实数解k9 且 k0 时，两函数图象有两个公共点
