机器学习综述

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1、管窥机器学习,邹博2014年10月18日,2/60,机器学习,在具体学习机器学习的过程中，往往是因为推导造成的障碍 了解基本的高等数学知识是必要的 机器学习比想象中要简单的多 举例：kNN用于分类、基本的聚类过程,3/60,本次目标,了解机器学习中的相关基本概念和常用方法 初步掌握极大似然估计、梯度下降法的一般性计算套路 熟悉最小二乘法的目标函数建立和解决方案 了解期望最大化算法（EM算法）的思路,4/60,若干概念,交叉验证 泛化能力 VC维 监督学习 无监督学习 强化学习,5/60,机器学习算法的分类,监督 K近邻 回归 SVM 决策树 朴素贝叶斯 BP神经网络 非监督 聚类 Aprior

2、i FP-growth,6/60,交叉验证,交叉验证(Cross-validation)也称为交叉比对，主要用于建模应用中。在给定的建模样本中，拿出大部分样本进行建模型，留小部分样本用刚建立的模型进行预报，并求这小部分样本的预报误差，记录它们的平方加和。这个过程一直进行，直到所有的样本都被预报了一次而且仅被预报一次。把每个样本的预报误差平方加和，称为PRESS(predicted Error Sum of Squares)。 交叉验证是常用的精度测试方法，其目的是为了得到可靠稳定的模型。例如10折交叉验证(10-fold cross validation)，将数据集分成十份，轮流将其中9份做训

3、练1份做测试，10次的结果的均值作为对算法精度的估计，一般还需要进行多次10折交叉验证求均值，例如：10次10折交叉验证，以求更精确一点。,7/60,交叉验证的形式,Holdout 验证 通常来说，Holdout 验证并非一种交叉验证，因为数据并没有交叉使用。 随机从最初的样本中选出部分，形成交叉验证数据，而剩余的就当做训练数据。 一般来说，少于原本样本三分之一的数据被选做验证数据。 K-fold cross-validation K折交叉验证，初始采样分割成K个子样本，一个单独的子样本被保留作为验证模型的数据，其他K-1个样本用来训练。交叉验证重复K次，每个子样本验证一次，平均K次的结果或者

4、使用其它结合方式，最终得到一个单一估测。这个方法的优势在于，同时重复运用随机产生的子样本进行训练和验证，每次的结果验证一次，10折交叉验证是最常用的。 留一验证 意指只使用原本样本中的一项来当做验证资料， 而剩余的则留下来当做训练资料。 这个步骤一直持续到每个样本都被当做一次验证资料。 事实上，这等同于 K-fold 交叉验证是一样的，其中K为原本样本个数。,8/60,泛化能力,概括地说，所谓泛化能力（generalization ability）是指机器学习算法对新鲜样本的适应能力。学习的目的是学到隐含在数据对背后的规律，对具有同一规律的学习集以外的数据，经过训练的算法也能给出合适的输出，该

5、能力称为泛化能力。 通常期望经训练样本训练的算法具有较强的泛化能力，也就是对新输入给出合理响应的能力。应当指出并非训练的次数越多越能得到正确的输入输出映射关系。算法的性能主要用它的泛化能力来衡量。,9/60,VC维,对于一个分类H，我们定义它的Vapnik Chervonenkis dimension, 记做VC(H)：指的是能够被H打散的最大集合的数目。 打散：shatter 如果H能够打散任意数目的集合，我们定义VC(H)=,10/60,VC维,考虑如图所示，3个点的集合：,11/60,3个点可完全分开(zero training error),12/60,一个集合，不是所有,Note t

6、hat the VC dimension of H here is 3 even though there may be sets of size 3 that it cannot shatter. For instance, if we had a set of three points lying in a straight line (left figure), then there is no way to find a linear separator for the labeling of the three points shown below (right figure):,1

7、3/60,再次强调,在VC维的定义下，为了证明VC(H)至少是d，我们只需要证明至少存在一个大小是d的集合是可以被打散的。 如果对于任意的样本数，总能找到一个样本集，它能够被某分类H打散，则该分类H的VC维就是无穷大，这个分类H的学习性能也就是最好的。 VC维反映了分类集的学习能力，VC维越大则学习机器越复杂（容量越大），遗憾的是，目前尚没有通用的关于任意分类集VC维计算的理论，只对一些特殊的分类集知道其VC维。例如在N维空间中线形分类器的VC维是N+1。,14/60,从下面几个问题入手机器学习,k近邻 向量距离 聚类 回归 朴素贝叶斯 微积分 工具：最小二乘法、极大似然估计、梯度下降法,15

8、/60,k近邻分类(属于有监督学习),16/60,向量间相似度计算的方法,欧式距离 Pearson相关系数(Pearson correlation) 余弦相似度(cosine similarity),17/60,k-均值聚类(属于无监督学习),创建k个点作为起始质心(如：随机选择起始质心) 当任意一个点的簇分配结果发生改变时对数据集中的每个数据点 对每个质心 计算质心与数据点之间的距离 将数据点分配到距其最近的簇 对每个簇，计算簇中所有点的均值并作为质心 思考：点的簇分配结果发生改变的标准如何判断？ 实践中可以选择误差的平方和最小 更深层的问题：为何如此选择？,18/60,利用SSE进行聚类后

9、处理,SSE: Sum of Squared Error 误差平方和,19/60,二分k-均值聚类后的结果,20/60,线性回归,y=ax+b,21/60,多个变量的情形,考虑两个变量,22/60,最小二乘的目标函数,m为样本个数，则一个比较“符合常理”的误差函数为：继续提问：如何解释和定义“符合常理”？,23/60,使用极大似然估计解释最小二乘,24/60,似然函数,25/60,对数似然,26/60,计算极大似然函数的最优解,27/60,最小二乘意义下的参数最优解,28/60,广义逆矩阵（伪逆）,若A为非奇异矩阵,则线性方程组Ax=b的解为其中A的A的逆矩阵 满足 (I为单位矩阵)。若A是奇

10、异阵或长方阵, x=A+ b。A+叫做A的伪逆阵。 1955年R.彭罗斯证明了对每个mn阶矩阵A,都存在惟一的nm阶矩阵X，满足：AXA=A；XAX=X；(AX)*I；(XA)*I。通常称X为A的穆尔-彭罗斯广义逆矩阵,简称M-P逆，记作A+。 在矛盾线性方程组Axb的最小二乘解中, x=A+b是范数最小的一个解。 在奇异值分解SVD的问题中，将继续该话题的讨论。,29/60,用回归解决分类问题，如何？,30/60,最简单的例子：一维回归,31/60,Logistic函数,32/60,Logistic回归方程的建立,33/60,梯度下降,34/60,Logistic回归的过程描述,假定有M个样

11、本X，每个样本都是N维的。那么，设需要求的参数记做w，则w是N维向量。 y = Logistic(Xw) 上式就是要学习的目标函数。 未知参数是N个实参数w。 使用极大似然估计，能够建立关于w的方程。用梯度下降法，求该方程的梯度，设置合适的学习率解这N个参数w。,35/60,贝叶斯准则,条件概率公式 P(x|y) = P(x,y) / P(y) P(x,y) = P(x|y) * P(y) P(y|x) = P(x,y) / P(x) P(x,y) = P(y|x) * P(x) 则P(x|y) * P(y) = P(y|x) * P(x) 从而： P(x|y) = P(y|x) * P(x)

12、/ P(y) 分类原则：在给定的条件下，哪种分类发生的概率大，则属于那种分类。,36/60,Bayes的实例,37/60,后验概率,c1、c2表示左右两个信封。 P(R)，P(B)表示摸到红球、黑球的概率。 P(R)=P(R|c1)*P(c1) + P(R|c2)*P(c2)：全概率公式 P(c1|R)=P(R|c1)*P(c1)/P(R) P(R|c1)=2/4 P(R|c2)=1/3 P(c1)=P(c2)=1/2 如果摸到一个红球，那么，这个信封有1美元的概率是0.6 如果摸到一个黑球，那么，这个信封有1美元的概率是3/7,38/60,朴素贝叶斯的假设,一个特征出现的概率，与它相邻的特征

13、没有关系（特征独立性） 每个特征同等重要（特征均衡性）,39/60,以文本分类为例,样本：1000封邮件，每个邮件被标记为垃圾邮件或者非垃圾邮件 分类目标：给定第1001封邮件，确定它是垃圾邮件还是非垃圾邮件 方法：朴素贝叶斯,40/60,分析,类别c：垃圾邮件c1，非垃圾邮件c2 词汇表：统计1000封邮件中出现的所有单词，记单词数目为N，即形成词汇表。 将每个样本si向量化：初始化N维向量xi，若词wj在si中出现，则xij=1，否则，为0。从而得到1000个N维向量x。 使用：P(c|x)=P(x|c)*P(c) / P(x),41/60,分解,P(c|x)=P(x|c)*P(c) /

14、P(x) P(x|c)=P(x1,x2xN|c)=P(x1|c)*P(x2|c)P(xN|c) P(x)=P(x1,x2xN)=P(x1)*P(x2)P(xN) 带入公式： P(c|x)=P(x|c)*P(c) / P(x)等式右侧各项的含义： P(xi|cj)：在cj(此题目，cj要么为垃圾邮件1，要么为非垃圾邮件0)的前提下，第i个单词xi出现的概率 P(xi)：在所有样本中，单词xi出现的概率 P(cj) ：(垃圾邮件)cj出现的概率,42/60,EM算法的典型题目,三硬币模型 假设有3枚硬币，分别记做A，B，C。抛硬币过程中，这些硬币正面出现的概率分别是，p，q。进行如下试验：先抛硬币

15、A，如果正面朝上，则抛硬币B；如果反面朝上，则抛硬币C。抛完B或者C后，如果正面朝上，记为1，否则记为0；独立重复n次试验（这里，n=10），观测结果如下：1,1,0,1,0,0,1,0,11。试估计，p，q的值。,43/60,EM的推导,将观测变量记做Y，待估计参数记做(，p，q) P(y|)=z P(y,z|)= zP(z|)P(y|z, )=P(z=0|)P(y|z=0, )+P(z=1|)P(y|z=1, )=py(1-p)1-y+ (1-)qy(1-q)1-y 应用极大似然估计 P(Y|)= pyi(1-p)1-yi+ (1-)qyi(1-q)1-yi,44/60,别忘了机器学习的第

16、一步：建模,皇帝不是穷人，在守财奴之中也有穷人，所以，有一些_并不是_。,45/60,使用离散数学分析该题目,p：这个人是皇帝 q：这个人是穷人 r：这个人是守财奴 皇帝不是穷人：pq 在守财奴之中也有穷人：x(xr xq),46/60,分析过程,r：这个人是守财奴 p：这个人是皇帝 有一些 守财奴 并不是 皇帝 。,47/60,这部分的参考文献,Prof. Andrew Ng, Machine Learning, Stanford University 高等数学，高等教育出版社，同济大学数学教研室 主编, 1996 Mia Hubert, Peter J. Rousseeuw, Karlien Vanden Branden, ROBPCA: a New Approach to Robust Principal Component Analysis, October 27, 2003(PCA) http:/ http:/ http:/ http:/ http:/ http:/ http:/ http:/ http:/zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A5%87%E5%BC%82%E5%80%BC%E5%88%86%E8%A7%A3(SVD) http:/ http:/ http:/