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1、全等三角形之手拉手模型专题基本图形 1、图（ 1）中， C 点为线段AB 上一点， ACM， CBN 是等边三角形，AN 与 BM 相等吗？说明理由；如图（2） C 点为线段AB 上一点，等边三角形ACM 和等边三角形CBN 在AB 的异侧，此时AN 与 BM 相等吗？说明理由；如图（ 3）C 点为线段AB 外一点， ACM， CBN 是等边三角形，AN 与 BM 相等吗？说明理由分析：题中三问均是对等边三角形性质的考查以及全等三角形的证明，由已知条件，利用等边三角形的性质可找出对应边及夹角相等，证明全等，即可得到线段相等解： （1）相等证明如下：ACM， CBN 是等边三角形，AC=CM，C
2、N=BC ，又 ACN= MCN+60 MCB= MCN+60， ACN= MCB， ACN MCB， AN=BM（2）相等证明如下：ACM， CBN 是等边三角形，AC=CM，CN=BC 又 ACN= MCB， ACN MCB，AN=BM（3）相等证明如下：ACM， CBN 是等边三角形，AC=CM，CN=BC ，又 ACN= MCN+60 MCB= MCN+60， ACN= MCB， ACN MCB，AN=BM点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得三角形全等是正确解答本题的关键变形 2、（1）如图 1，点
3、C 是线段 AB 上一点，分别以AC，BC 为边在 AB 的同侧作等边 ACM 和 CBN，连接 AN，BM分别取BM，AN 的中点 E，F，连接CE ， CF ，EF 观察并猜想CEF 的形状，并说明理由（2） 若将（1） 中的“以 AC， BC 为边作等边ACM 和 CBN”改为“以AC，BC 为腰在 AB 的同侧作等腰ACM 和 CBN， ”如图 2，其他条件不变，那么（ 1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由点评： （ 1 ） 先求证 ACN MCB ， 得出 AN=BM ， ANC=MBA ， 再证NFC BEC ，得出 CE=CF ， BCE= NCF ，利用
4、等边三角形的角度60，得出 ECF=60 ，证得结论成立；（2）证明过程如上（1）中的结论只有CE=CF ，而 ECF 只等于等腰三角形的顶角 60，得出结论不成立解： （1）如图 1， CEF 是等边三角形，理由：等边ACM 和 CBN，AC=MC，BC=NC ， ACN=MCB，在 ACN 和 MCB 中NCBC ACNMCB ACMC ACN MCB（SAS ） ，AN=MB， ANC=MBA，在 NFC 和 BEC 中，NCBC FNCEBC NFBE NFC BEC （SAS ） ，EC=CF ， BCE+ ECN=60 ， BCE= NCF， ECF=60 ， CEF 是等边三角形
5、；（2）如图 2，不成立，首先ACN MCB， ACN 与 MCB 不全等如果有两个等腰三角形的顶角相等，那么结论也不成立，证明方法与上面类似，只能得到CE=CF ，而 ECF 只等于等腰三角形的顶角60点评：此题综合考查等边三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点变形 3、如图，在ABC 中，已知 DBC=60， ACBC，又 ABC、 BCA、CAB都是 ABC 形外的等边三角形， 而点 D 在 AC 上，且 BC=DC （1）证明： CBD BDC；（2）证明： ACD DBA；证明： （1） CBD 与 ABC 中，BC=DC ，AB=BC ， CBD=60+ABD= ABC ， CBD ABC， CD=AC 又在 BCA 与 DCB中，BC=DC ，AC=B C， ACB=BCD=60， BCA DCB DB=BA CBD BDC （2）由（ 1）的结论知：CD=BC=AB，BD=BC =AC，又 AD=AD， ACD DB A
