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1、傅里叶变换基础知识1. 傅里叶级数展开最简单有最常用的信号是谐波信号 ，一般周期信号利用傅里叶级数展开成多个乃至无 穷多个不同频率的谐波信号，即一般周期信号是由多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号线 性叠加而成。1.1 周期信号的傅里叶级数在有限区间上，任何周期信号( )x t 只要满足狄利克雷（dirichlet ）条件，都可以展开成傅里叶级数。1.1.1 狄利克雷（ dirichlet ）条件 狄利克雷（ dirichlet ）条件为： （1）信号( )x t 在一个周期内只有有限个第一类间断点（当t 从左或右趋向于这个间断点时，函数有左极限值和右极限值）； （2）信号( )x t 在一周期
2、内只有有限个极大值和极小值；（3）信号在一个周期内是绝对可积分的，即00/2/2( )dtTTx t应为有限值。1.1.2 间断点 在非连续函数()yf x中某点处0x 处有中断现象，那么，0x就称为函数的不连续点。（1）第一类间断点（有限型间断点）：a. 可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数 在该点无定义（0x令分母为零时等情况） ；b. 跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等（0/yxx在点0x处等情况） 。 （2）第二类间断点：除第一类间断点的间断点。1.1.3 傅里叶级数三角函数表达式 傅里叶级数三角函数表达式为0001( )(cossi
3、n)nnnx taantbnt式中：0a为信号的常值分量；na为信号的余弦信号幅值；nb为信号的正弦信号幅值。0a、na、nb分别表示为：000000/20/2 0/20/2 0/20/2 01( )2( )cos2( )sinTTTnTTnTax t dt Tax tntdt Tbx tntdt T式中：0T为信号的周期；0为信号的基频，即角频率，002/ T，1,2,3.n。合并同频项也可表示为00 1( )cos()nn nx taAnt式中：信号的幅值nA和初相位n分别为22arctan(/)nnnnnnAabba1.1.4 频谱的相关概念 （1）信号的频谱 （三角频谱）：构成信号的各
4、频率分量的集合，表征信号的幅值和相位随频率的变化关系，即信号的结构，是nA（或nAf）和n（或nf）的统称；（2）信号的幅频谱：周期信号幅值nA随（或 f ）的变化关系， 用nA（或nAf ）表示； （3）信号的相频谱：周期信号相位n随（或 f ）的变化关系，用n（或nf ）表示； （4）信号的频谱分析：对信号进行数学变换，获得频谱的过程； （5）基频：0或0f ，各频率成分都是0或0f 的整数倍；（6）基波：0或0f 对应的信号；（ 7 ）n次 谐 波 ：0(n2,3,.)n或0(n2,3,.)nf的 倍 频 成 分0c os()nnAnt或0cos(2)nnAnf t；1.1.5 周期信号
5、的傅里叶级数的复指数函数展开根据欧拉公式cossin(1)j tetjt j，则1cos() 2 1sinj()2j tjtj tjtteetee因此，傅里叶级数三角函数表达式000 1( )cossinnn nx taantbnt 可改写成00 0 1( )22jntjntnnnnnajbajbx taee令0012 12nnnnnnCaCajbCajb则00000 0 11011( )jntjntjntjntjntnnnnn nnnnnx tCC eCeC eC eC e或0( )0, 1, 2,jnt n nx tC en这就是周期信号的傅里叶复指数形式的表达式。将0000/20/2 0
6、/20/202( )cos2( )sinTnTTnTax tntdtTbx tntdt T代入12nnnCajb，则000/2/201( )Tjnt nTCx t edt T在一般情况下nC 是复数，可以写成nj nnRnInCCjCC e式中22 nnRnICCCarctannI nnRCC由nj nnRnInCCjCCe，12nnnCajb，12nnnCajb可表示为12nj nnnnCajbCe12nj nnnnCajbCe则0( )0,1, 2,jntn nx tC en变为0000 0000 111( )nnj ntjntjntjnt nn nnnx tCC eC eCC eCe由此
7、可见，周期信号用复指数形式展开，相当于在复平面内用一系列旋转矢量0 0nj ntC e来描述，但是，负频率的出现，仅仅是数学推导的结果，并无实际物理意义。ReImO1.1.6 傅里叶级数的复指数与三角函数展开关系由12nnnCajb，nj nnRnInCCjCCe可知：/ 2nRnCa/2nInCb综合22 nnnAab，22 nnRnICCC表示为2222/ 2/ 2/ 2nnRnInnnCCCabA即双边频谱的幅值nC是单边频谱幅值nA 的一半。由arctannI nnRCC，/ 2nRnCa，/2nInCb可知：arctan/nnnba三角函数展开表达式复指数展开表达式常值分量00aC复
8、指数常量00Ca余弦分量幅值2nnRaC复数nC 的实部/ 2nRnCa正弦分量幅值2nnIbC复数nC 的虚部/2nInCb振幅2nnAC复数nC 的模/ 2nnCA相位arctan/nnnba相位arctan/nnnba2 傅里叶变换出准周期函数之外的非周期信号称为一般周期信号，也就是瞬态信号。瞬态信号具有瞬 变性， 例如锤子敲击力的变化、承载缆绳断裂的应力变化、热电偶插入加热的液体中温度的 变化过程等信号均属于瞬态信号。瞬态信号是非周期信号，可以看作一个周期的周期信号， 即周期T。因此，可以把瞬态信号看作周期趋于无穷大的周期信号。2.1 傅里叶变换设有一周期信号x t ，则其在/ 2,/
9、 2TT区间内的傅里叶级数的复指数形式的表达式为0( )jnt n nx tC e，式中000/2/201( )Tjnt nTCx t edt T当0T时，积分区间/ 2,/ 2,TT；谱线间隔002/Td，0n离散率连续变量频，所以000/2/2 01( )Tjnt nTCx t edtT变为00lim( )jt nTCTx t edt该式积分后将是的函数，且一般为复数，用Xj或 X表示为j tXjx t edt式中： Xj称为信号( )x t 的傅里叶积分变换或简称傅里叶变换（Fouier Transform，FT） ，是把非周期信号看成周期趋于无穷大的周期信号来处理的，显然000liml
10、imn nTfCXjCTf即 Xj为单位频宽上的谐波幅值，具有“密度” 的含义， 故把 Xj称为瞬态信号的 “频谱密度函数” ，或简称“频谱函数” 。由 000limlimn nTfCXjCTf得0000limlim2nTXjCXjT代入0( )jnt n nx tC e得000lim2jntnx tXje当0T时，002/Td，0n离散率连续变量频，求和积分 。则12j tx tXjedx t称 为 Xj的 傅 里 叶 逆 变 换 或 反 变 换 （ Inverse Fourier Transform ， IFT ）。j tXjx t edt 和12jtx tXjed构成了傅立叶变换对FTI
11、FTx tXj一般地，使用FTIFT或表示信号之间的傅立叶变换及其逆变换之间的关系。由于2f ，所以jtXjx t edt 和12j tx tXjed可变为22jftjftXjfx t edtx tXjfedf这就避免了在傅里叶变换中出现1/ 2的常数因子，使公式形式简化。由式2jftXjfx t edt 可知， 非周期信号能够用傅里叶函数来表示，。而周期信号可由傅里叶级数0( )jnt n nx tC e来表示。2jftXjfx t edt 是一般复数形式，可表示为ReImjfXjfXjfjXjfXjfe式中： ReXjf为 Xjf的实部； Im Xjf为 Xjf的虚部；Xjf为信号 x t
12、 的连续幅频谱；jf为信号 x t 的连续相频谱。22ReImarctan Im/ ReXjfXjfXjffXjfXjf比较周期信号和非周期信号的频谱可知：首先，非周期信号幅值Xjf随 f 变化时连续的， 即为连续频谱， 而周期信号的幅值nC随 f 变化时离散的， 即为离散频谱。 其次，nC的量纲和信号幅值的量纲一致，而Xjf的量纲相当于/nCf ，为单位频宽上的幅值，即为“频谱密度函数” 。2.2 傅里叶变换的主要性质一个信号可以进行时域描述和频域描述。两种描述通过傅里叶变换来确立彼此一一对应 的关系，因此，熟悉傅里叶变换的一些主要性质十分必要。性质时域频域函数的奇偶虚实性实偶函数实偶函数 实奇函数虚奇函数虚偶函数实偶函数 虚奇函数实奇函数线性叠加ax tby taXjfbYjf对称XjtXf续尺度改变x kt1fXj kk时移0x tt02jftXfe频移0Xff02jf tx t e时域卷积12xtxt12XjfXjf频域卷积12xt xt12XjfXjf时域微分nnd x tdt2njfXjf频域微分2njfx tnnd Xjfdf积分t x t dt12xjf jf2.3 几种典型信号（1）举行窗函数（2）单位脉冲函数（函数） （3）正、余弦信号（4）一般周期信号 （5）周期单位脉冲序列
