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1、第9章 常微分方程初值问题数值解法,9.1 引言包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。在微分方程中, 自变量的个数只有一个, 称为常微分方程.。自变量的个数为两个或两个以上的微分方程叫偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。如果未知函数y及其各阶导数都是一次的,则称它是线性的,否则称为非线性的。,在高等数学中，对于常微分方程的求解，给出了一些典型方程求解析解的基本方法，如可分离变量法、常系数齐次线性方程的解法、常系数非齐次线性方程的解法等。但能求解的常微分方程仍然是有限的，大多数的常微分方程是不可能给出解析解。 譬如,这个一阶微分方程就不
2、能用初等函数及其积分来表达它的解。,再如，方程,的解 ,虽然有表可查,但对于表上没有给出 的值,仍需插值方法来计算,从实际问题当中归纳出来的微分方程，通常主要依靠数值解法来解决。本章主要讨论一阶常微分方程初值问题,( 9.1 ),在区间a x b上的数值解法。,可以证明,如果函数在带形区域 R=axb, -y内连续，且关于y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L(它与x,y无关)使,对R内任意两个 都成立,则方程( 9.1 )的解在a, b上存在且唯一。,数值方法的基本思想对常微分方程初值问题(9.1)式的数值解法，就是要算出精确解y(x)在区间a,b上的一系列离散节点 处的函数
3、值 的近似值 。相邻两个节点的间距 称为步长，步 长可以相等，也可以不等。本章总是假定h为定数，称为定步长，这时节点可表示为数值解法需要把连续性的问题加以离散化，从而求出离散节点的数值解。,对常微分方程数值解法的基本出发点就是离散化。其数值解法有两个基本特点，它们都采用“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进，描述这类算法，要求给出用已知信息 计算 的递推公式。建立这类递推公式的基本方法是在这些节点上用数值积分、数值微分、泰勒展开等离散化方法，对初值问题中的导数 进行不同的离散化处理。,对于初值问题的数值解法，首先要解决的问题就是如何对微分方程进行离散化，建立求数值解的递推公
4、式。递推公式通常有两类，一类是计算yi+1时只用到xi+1, xi 和yi，即前一步的值，因此有了初值以后就可以逐步往下计算，此类方法称为单步法；其代表是龙格库塔法。另一类是计算yi+1时，除用到xi+1,xi和yi以外，还要用到 ，即前面k步的值，此类方法称为多步法；其代表 是亚当斯法。,9.2 简单的数值方法与基本概念 9.2.1 Euler公式欧拉（Euler）方法是解初值问题的最简单的数值方法。初值问题的解y=y(x)代表通过点 的一条称之为微分方程的积分曲线。积分曲线上每一点的切线的斜率 等于函数 在这点的值。,Euler法的求解过程是:从初始点P0(即点(x0,y0)出发, 作积分
5、曲线y=y(x)在P0点上切线 (其斜率为),与x=x1直线,相交于P1点(即点(x1,y1),得到y1作为y(x1)的近似值,如上图所示。过点(x0,y0),以f(x0,y0)为斜率的切线方程为 当 时,得,这样就获得了P1点的坐标。,同样, 过点P1(x1,y1),作积分曲线y=y(x)的切线 交直线x=x2于P2点,切线 的斜率 = 直线方程为,当 时,得,当 时,得,由此获得了P2的坐标。重复以上过程,就可获得一系列的点:P1,P1,Pn。对已求得点 以 = 为斜率作直线,取,从图形上看,就获得了一条近似于曲线y=y(x) 的折线 。,这样,从x0逐个算出 对应的数值解,通常取 (常数
6、),则Euler法的计算格式,i=0,1,n ( 9.2 ),还可用数值微分、数值积分法和泰勒展开法推导Euler格式。以数值积分为例进行推导。 将方程 的两端在区间 上积分得，,选择不同的计算方法计算上式的积分项,就会得到不同的计算公式。,(9.3),用左矩形方法计算积分项,代入(9.3)式,并用yi近似代替式中y(xi)即可得到向前欧拉（Euler）公式,由于数值积分的矩形方法精度很低，所以欧拉（Euler）公式当然很粗糙。,例9.1 用欧拉法解初值问题,取步长h=0.2 ,计算过程保留4位小数,解: h=0.2, 欧拉迭代格式,当 k=0, x1=0.2时，已知x0=0，y0=1，有y(
7、0.2)y1=0.21(401)0.8 当 k=1, x2=0.4时，已知x1 =0.2， y1 =0.8，有y(0.4) y2 =0.20.8(40.20.8)0.6144 当 k=2, x3 =0.6时，已知x2 =0.4， y2 =0.6144，有y(0.6) y3=0.20.6144(4-0.40.6144)=0.4613,clear; y=1, x=0, %初始化 for n=1:10 y=1.1*y-0.2*x/y, x=x+0.1, end,y = 1 x = 0 y = 1.1000 x = 0.1000 y = 1.1918 x = 0.2000 y = 1.2774 x =
8、 0.3000 y = 1.3582 x = 0.4000 y = 1.4351 x = 0.5000 y = 1.5090 x = 0.6000 y = 1.5803 x = 0.7000 y = 1.6498 x = 0.8000 y = 1.7178 x = 0.9000 y = 1.7848 x = 1.0000,9.2.2 梯形公式 为了提高精度,对方程 的两端在区间上积分得，改用梯形方法计算其积分项，即,(9.4 ),代入(7.4)式,并用近似代替式中即可得到梯形公式,( 9.5 ),由于数值积分的梯形公式比矩形公式的精度高，因此梯形公式（9.5）比欧拉公式( 9.2 )的精度高一
9、个数值方法。,( 9.5 ),(9.5)式的右端含有未知的yi+1,它是一个关于yi+1的函数方程,这类数值方法称为隐式方法。相反地,欧拉法是关于yi+1的一个直接的计算公式， 这类数值方法称为显式方法。,9.2.3 两步欧拉公式对方程 的两端在区间上 积分得,( 9.6 ),改用中矩形公式计算其积分项，即,代入上式,并用yi近似代替式中y(xi)即可得到两步欧拉公式,( 9.7 ),前面介绍过的数值方法,无论是欧拉方法,还是梯形方法，它们都是单步法,其特点是在计算yi+1时只用到前一步的信息yi;可是公式(7.7)中除了yi外,还用到更前一步的信息yi-1,即调用了前两步的信息,故称其为两步
10、欧拉公式,9.2.4 欧拉法的局部截断误差衡量求解公式好坏的一个主要标准是求解公式的精度, 因此引入局部截断误差和阶数的概念。定义9.1 在yi准确的前提下, 即 时, 用数值方法计算yi+1的误差 , 称为该数值方法计算时yi+1的局部截断误差。对于欧拉公式，假定 ，则有,而将真解y(x)在xi处按二阶泰勒展开,因此有,定义9.2 数值方法的局部截断误差为 ,则称这种数值方法的阶数是P。步长(h N 结束。,（2）改进欧拉法的流程图,(3) 程序实现(改进欧拉法计算常微分方程初值问题 ),例9.2 用改进欧拉法解初值问题,区间为0,1,取步长h=0.1,解: 改进欧拉法的具体形式,本题的精确
11、解为 ,clear x=0,yn=1 %初始化 for n=1:10 yp=yn+0.1*(yn-2*x/yn); %预测 x=x+0.1; yc=yn+0.1*(yp-2*x/yp) ; yn=(yp+yc)/2 %校正 end,例9.3 对初值问题,证明用梯形公式求得的近似解为,并证明当步长h0时,yn收敛于精确解 证明: 解初值问题的梯形公式为,整理成显式,反复迭代,得到,由于 ，有,证毕,9.3 龙格-库塔（Runge-Kutta）法 9.3.1 龙格-库塔(Runge-Kutta)法的基本思想Euler公式可改写成,则yi+1的表达式y(xi+1)与的Taylor展开式的前两项完全相
12、同,即局部截断误差为 。改进的Euler公式又可改写成,上述两组公式在形式上有一个共同点:都是用f(x,y)在某些点上值的线性组合得出y(xi+1)的近似值yi+1,而且增加计算的次数f(x,y)的次数,可提高截断误差的阶。如欧拉公式:每步计算一次f(x,y)的值,为一阶方法。改进欧拉公式需计算两次f(x,y)的值，它是二阶方法。它的局部截断误差为 。,于是可考虑用函数f(x,y)在若干点上的函数值的线性组合来构造近似公式，构造时要求近似公式在(xi,yi)处的Taylor展开式与解y(x)在xi处的Taylor展开式的前面几项重合，从而使近似公式达到所需要的阶数。既避免求偏导,又提高了计算方法精度的阶数。或者说,在这一步内多预报几个点的斜率值，然后将其加权平均作为平均斜率，则可构造出更高精度的计算格式，这就是龙格库塔（Runge-Kutta）法的基本思想。,9.3.2 二阶龙格库塔法在 上取两点xi和 ,以该两点处的斜率值k1和k2的加权平均(或称为线性组合)来求取平均斜率k*的近似值K，即,式中:k1为xi点处的切线斜率值，k2为 点处的切线斜率值,比照改进的欧拉法,将 视为 ，即可得,
