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1、第5章,特征值与特征向量,5.2 方阵的对角化,5.1 特征值与特征向量的概念与性质,发展阅读5.1 Jordan标准形简介,发展阅读5.2 特征值的估计,-2-,5.1 特征值与特征向量的概念与性质,矩阵的特征值与特征向量都有着广泛和重要的应用。如：,工程技术中的振动问题; 数值计算中的稳定性问题； 经济学中的主成分分析(PCA); 微分方程组的求解; 搜索引擎中的网页排序 .,-3-,引例1 (物种繁衍问题) 假设刚出生的雌雄一对小兔过两个月就能生下雌雄一对小兔, 此后每月生下一对雌雄小兔. 如果养了初生的一对小兔, 问 k 个月后共可得多少对兔子.,它满足（令 ）,解 设第 个月共有 对
2、兔子. 则数列 为,上述数列 称为斐波那契（Fibonacci）数列 .方程(1)称为差分方程.,如何求解差分方程(1)？,-4-,经计算得,通过矩阵特征值与特征向量的知识可求得,由,记,则,-5-,引例2 (条件极值问题) 设 n 元函数,这里 .求 f 在单位球面,上的最大值与最小值.,解 记对称矩阵 ,向量 ,则函数 f 可写成,这种函数是我们下一章要重点学习的二次型.,-6-,上述问题就归结为下面的条件极值问题,用Lagrange乘数法得,如何求出满足上式的数 , 这将归结矩阵的特征值问题.,这时,-7-,把(1)改写为,则称数 为A的特征值, 称非零向量 为A的对应于(或属于)特征值
3、 的特征向量.,由(2)得, 是A的特征值, 是A的属于特征值 的特征向量,是齐次方程组 的非零解,一、特征值与特征向量的概念,-8-,由代数基本定理，n次代数方程在复数域上恰有 n 个根(重根按重数计算)。因此，n 阶方阵在复数域上恰有 n 个特征值. 约定关于特征值、特征向量的讨论在复数域上进行.,记,称 为 A 的特征多项式，称 为 A 的特征方程. 由前面的分析，特征方程的根即为A的特征值.,-9-,解特征方程,例1,求矩阵 的特征值与特征向量.,解 求特征多项式,得特征值为,-10-,解方程组 ，得基础解系：,则属于特征值 的所有的特征向量为,解方程组 ，得基础解系：,则属于特征值
4、的所有的特征向量为,-11-,例2,求矩阵 的特征值.,得 A 的 n 个特征值为,问 对角矩阵,下三角矩阵的特征值等于什么？,解 由,-12-,例3,求矩阵 的特征值和特征向量.,解,-13-,A 的特征值为,对于 ，解方程组,同解方程组为 ，令 ，得基础解系,因此，对应于特征值 的所有特征向量为,-14-,对于特征值 ，解方程组,同解方程组为 ，令,得基础解系,因此，对应于特征值 的所有特征向量为,-15-,回答问题(测试对特征值与特征向量概念的理解)：,(2) 实矩阵的特征值与特征向量一定是实的吗?,(4) 矩阵 A 是可逆矩阵的充要条件是 A 的所有特征值_.,(5)设 ，A 必有一个
5、特征值为_.,(3) 设 ，A 有一个特征值为_.,设 可逆, A 的特征值一定不等于_.,(6) A 的特征值与 的特征值有什么关系？,(7) 一个特征值对应于几个特征向量?其中线性无关的特征向量有几个？,-16-,例4,证明：一个特征向量只能对应一个特征值.,证 假设 是 A 的一个特征向量，其对应的特征值有两个和 .,移项,则,例5 设 ，证明 A 的特征值只能是0或1.,证 设 是 A 的一个特征向量，对应的特征向量为 .,则,由,再,-17-,二、特征值与特征向量的性质,性质1 A 与 有相同的特征值.,性质2 设 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值为 ，,是一多项式，则,的 n 个特
6、征值为,且对应的特征向量相同.,例如：设2阶矩阵A的两个特征值为 ，则 的两个特征值为,-18-,性质3 设 n 阶可逆矩阵 A 的 n 个特征值为 ，,则 的 n 个特征值为 且对应的特征向量相同.,性质4 设 n 阶可逆矩阵 的 n 个特征值为 ，,则,-19-,解,的三个特征值为,计算得,因此,矩阵,-20-,解 由,得,解之,求 x，y.,-21-,定义 设A，B都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵 P，使得,则称A与B相似 ，记为AB.,特别地，如果矩阵 A 与对角矩阵相似，则称 A 是可对角化的.,5.2 方阵的对角化,对 A 进行的矩阵变换 称为相似变换，其中 P 称为相似变换矩阵.
7、,-22-,相似变换的性质,(1) 相似关系是一种等价关系(满足三条); (2) 设AB, 则 ； (3) 设AB, 则 ; (4)设AB，则 A 与 B 有相同的特征值; (5)设AB，则 ; (6)设AB，则 ; (7)设AB，则 与 相似，其中 是一多项式; (8)设AB，且 A 可逆, 则 与 相似。,-23-,解,例1 设 与 相似，,求 a 与 b , 以及 A 的特征值.,由 ，比较两多项式的系数得,解得,A的特征值即为B的特征值，它们是：,-24-,由相似变换的性质知，相似变换保留了原矩阵的很多信息. 我们的目标是把一个矩阵用相似变换变为最简单形状，其中特别地变为对角矩阵. 下
8、面我们重点讨论矩阵可对角化的条件.,-25-,定理1 n 阶矩阵 A 可对角化的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量。,证 先证必要性. 设A可对角化，即存在可逆矩阵P使得,记 ，则,于是,上式说明， 就是对应于特征值 的特征向量.由于P是可逆矩阵，故 线性无关.,把上述证明过程倒推即得充分性的证明.,-26-,可验证 线性无关，故A可对角化.见后面注,第1步 求特征值,即求 的基础解系,第2步 求线性无关的特征向量，,例2 讨论矩阵 是否可对角化.若可以，求,可逆矩阵P使 为对角矩阵.,参见5.1例3,-27-,第3步 把线性无关的特征向量拼成可逆矩阵P.,第4步 写出相似变换及对角
9、矩阵.,注 下面的定理告诉我们，本题中 的线性无关性不需要验证.,-28-,定理2 不同特征值对应的线性无关的特征向量合并后仍是线性无关的。,即设 是矩阵A的不同的特征值，又设,对应的线性无关的特征向量为,对应的线性无关的特征向量为,对应的线性无关的特征向量为,仍是线性无关的。,则把这些特征向量合并得到的 个向量,-29-,推论(可对角化的充分条件) n 阶矩阵 A 如有 n 个不同的特征值，则它有 n 个线性无关的特征向量，从而 A 可对角化.,-30-,设n阶矩阵A的所有不同的特征值为 ，则,这里 . 称 为特征值 的代数重数 .,特征值 对应的线性无关的特征向量的最大个数为,称 为特征值
10、 的几何重数.,也称 是A的 重特征值.,考察下列矩阵特征值的代数重数与几何重数是多少？,-31-,问 单重特征值对应的线性无关的 特征向量有几个?,定理3 矩阵A的任一特征值 的代数重数 与几何重数 有下面关系：,定理4 矩阵A可对角化的充要条件是A的每个不同特征值的代数重数与几何重数相等.,例如,都是不可对角化的矩阵.,-32-,例3 矩阵 是否可角化？,解 由,得A的特征值为,只需考察二重特征值 的几何重数是否等于2. 易知,故二重特征值 的几何重数为,A不可对角化.,-33-,例4 设 ，问 x 为何值时，A 可角化？,解 由,得A的不同的特征值为,A可对角化的充要条件是 ，即 .,-
11、34-,例5 设 A 是 n 阶的幂等矩阵（即 ），证明 A 必可对角化，并求出相应的对角矩阵.,证 由前面的结果知 A 的特征值只可能为 0 或 1，且,特征值 的几何重数为 ，特征值 的几何重数为 .,故 A 有,个线性无关的特征向量. 从而 A 可对角化.且相应的对角矩阵为,-35-,应用题举例,例1（见5.1引例1） 求解差分方程：,则,解 记,直接计算 比较困难, 先把 A 对角化. 计算得 A 的特征值与特征向量为,-36-,令 则,且,-37-,得,例如,注 它们确实都是正整数!,再由,-38-,例2 求解下面微分程组：,解 记,则微分方程组可写成,-39-,令 则,矩阵A是可角化的，可求得,即,解得,-40-,由 ，得,为任意常数.,-41-,例3（马尔可夫链）一个汽车商出租四种类型的汽车：四门轿车、运动车、小货车、多功能车（SUV）. 出租的租期为2年. 统计表明, 80%现在租用轿车的顾客将在下一个租期继续租用它, 10%现在租用运动车的顾客将改租轿车, 5%现在租用小货车的顾客将改租轿车, 5%现在租用SUV的顾客将改租轿车. 这些结果汇总在下表的第一行. 表中每二行、第三行、第四行分别给出下一次租用运动车、小货车、SUV的百分比.,
