不动点定理的应用

《不动点定理的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《不动点定理的应用（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、0 不动点定理的应用（大学学院, （地点）* （邮编）摘 要 ：巴拿赫空间中的不动点定理是泛函分析中的一个重要定理,本文简要介绍了不动点思想及相关定理，对巴拿赫不动点定理做了一些简单的推论，应用不动点思想解决数列通项公式、数列极限、微积分方程解的存在性、积分中值定理等问题。关键词：巴拿赫空间；不动点；思想；不动点定理；应用Fixed point theorems for applicationLuxuan LI(Xian University Of Architecture And Technology, College of Science，Xi an 710072, China) Abst

2、ract: Fixed point theorem in Banach space is an important theorem in functional analysis, this paper briefly introduces the idea of fixed point and related theorem, fixed point theorem of Banach to do a number of simple inference, by using the fixed point thought to solve the general formula of sequ

3、ence, sequence limit, the existence of solutions for nonlinear integral, integral mean value theorem problems. Keywords: Banach space; Fixed point; Thought; Fixed point theorem: Application 0引言泛函分析是古典分析观点的推广，它综合函数论、 几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子和极限理论， 在20世纪 40年代就已经成为一门理论 完备、内容丰富的数学学科了。在泛函分析中， 许多分散在各个数学分支

4、中的事 实都得到了统一的处理，例如隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理，在泛函分析中都归结为一个定理不动点定理。这正是抽象的结果。不动点定理实际上是算子方程Tx=x 的求解问题，是分析学的各个分支中存在和唯一性定理的重要基础，它是关于具体问题解的存在唯一性的定理，其中巴拿赫不动点定理，亦称压缩映射原理，它提供了线 性方程解的最佳逼近程序，给出了近似解的构造，在常微分方程、积分方程等领域中也有着广泛的应用， 在现代数学发展中有着重要的地位和作用。通过对它的学习我们重新对所学的一些知识有了进一步的理解。本文给出了巴拿赫不动点原理在数学分析、微分方程中的应用。1巴拿赫不动点定理

5、称完备的赋范线性空间为巴拿赫空间。 定义1.1.1设X 是任意给定的完备的距离空间,如 果 有 映 射:,T XX存 在 常 数, 01,使 得(,)( ,), (,)Tx Tyx yx yX则称 T 是一个压缩映射. 定 义1.1.2对 任 给 的 度 量 空 间(,)X及 映 射:,TXX.如果存在*xX 使得*,Txx则称*x为映射 T的不动点 . 定义1.1.3（Cauchy列）给定(,)X,nxX若对任取的0,有自然数 N,使得对,i jN都成立(,),ijxx则称序列nx是Cauchy列. 定义1.1.4（完备度量空间）给定(,)X,若X中任意一 Cauchy列都收敛 ,则称它是完

6、备的. 1.2 巴拿赫不动点定理的内容定理1.2.1（Banach不动点原理）设X 是完备的距离空间 , T是由 X到X 的自身的映射,并且对于任意的,x yX,不等式(,)( , )Tx Tyx y成立 ,其中是满足不等式01的常数 .那么T在X中存在唯一的不动点,即存在唯一的xX,使得 Txx. 证：分两部分来证明该定理 先证明不动点的存在性 在X任取一定点0x,并令10211,.nnxTxxTxxTx我们证明是X中的一个基本点列.事实上12010100(,)(,)(,)(,);xxTx TxxxxTx2 23121200(,)(,)(,)(,);xxTx Txx xx Tx一般地 ,可以

7、证明100(,)(,)n nnxxx Tx(1,2,3)n于是1121(,)(,)(,)(,)nnpnnnnnpnpxxxxxxxx),()(0011Txxpnnn1 ).,( 1),( 1)1(0000TxxTxxnpn( )0()P v非负性 根据假定 , 01,故0(),nn于是nx是基本点列 .由于 X完备 ,故nx收敛于 X中某一点. x且由不等式 (3)可知 , T是连续映射 .在1nnxTx中令n,得到,xTx因此x是 T的不动点 . 再证明不动点的唯一性. 另有,yX使,yTy则( ,)(,)(,),x yTx Tyx y由于01,故( ,)0x y,即 xy ,唯一性成立 证

8、毕 定理1.2.2（压缩映射原理）任给数列,nx若有常 数: 01 ,kk使 得 对 一 切 的,nN都 有11,nnnnxxk xx则数列nx收敛 . 证 只需证明nx是Cauchy列,从而说明nx收敛为此 ,对任意的,n pN考虑110 11npnp k npnkk knknxxxxrxx= 10100 11nnpnrrrxxxx rr所以nx是Cauchy列,从而nx收敛 . 到此整个文章所需要的基本定理及概念叙述完毕.下面将主要讨论其在数学的其它分支中的应用. 2不动点在数列中的应用2.1 不动点思想在求数列通项公式中的应用命题2.2.1若函数( )fxaxb=+，0x为( )fx的不

9、动点， na满足( )1nnaf a+=则0nax-是以a为公比的等比数列。命题2.2.2若函数( )()0,0axbfxcadbc cxd+=? +，数列 na满足( )1nnafa+=则有：（ 1） 若( )fx有 两 个 不 动 点,p q， 则 数 列nnapaq禳-镲睚-镲铪是等比数列。（ 2） 若( )fx只 有 一 个 不 动 点p， 则 数 列1nap禳镲睚-镲铪是等差数列。证明 （ 1）,p q是( )fx的不动点，则,p q分别满足()20,cpda pb+-=()20cqda qb+-=，于是() ()11nnnnnnnnaabpapc abpdapcad aabaqaq

10、c abqdqcad+-+-+=+-+-+ ()()() ()()()22nnapcapcpda pbaqcaqcqda qb轾-+-臌=轾-+-臌nnapapcaqcaq-=?-故数列nnapaq禳-镲睚-镲铪是等比数列。（ 2）p是( )fx的唯一不动点，那么p满足()20cpda pb+-=且()()22cxda xbxp+-=-。于是11111nnnnnaabapapappcad+-=-+-+ () ()()2 nnnncada abapc abpdap+-=轾-+-臌 () ()() ()2nnnapapcapap-=轾-臌 1apc=-故列1nap禳镲睚-镲铪是等差数列。例 1.已

11、知113,21,nnaaa+=-求数列 na的通项公式。解： 设( )21fxx=-， 则( )fx的不动点为01x =，故1na -是以 2为公比的等比数列，而13a =，所以112 22nn na-= ?，故21n na =+例2.已知 111,21n n naaaa+=+，求数列na的通项公式。解：设( )21xfxx=+，则( )fx有唯一的不动点0x =， 故1na禳镲睚镲铪是等差数列，1112nnaa+-=， 而11a =，故()11 21nna= +-，从而可得1 21nan=-。2.2 不动点在求数列极限中的应用基 本 思 想 ： 通 过 对 数 列 构 造 一 个 新 的 函

12、 数1()(1, 2, 3)nnxf xn,使其在对应区间保持连续且可导 ,其导数满足0( )1fx.再使用 Rolle中值定理证明所构造的函数是压缩映射的,这就意味着( )f x2 在区间上有不动点*x,即*().xf x且该点是唯一的. 例 1 设 1111,(),2nnnaxaxxx试证nx收敛 ,并求极限 . 证 按照上述基本思想进行证明求解依 题 设 构 造 函 数1( )(), 2afxx x易 见( )f x在(0,)连续且可导 . 由于0,nx故当0x时21( )(1)02afxx 则由11xa知211( )(1)22afxx 现在考虑 : 111()()( )nnnnnnxx

13、f xf xfx xx112nnxx从而1()nnxf x为压缩映射 . 由定理 1.2.2知nx收敛 . 下求该数列极限,设其极限为*limnnxx, 则由( )f x的连续性得* 1limlim()()nnnnxf xxf x即*1(),2axxx得*xa和*xa（舍去） . 3不动点定理在微积分方程中的应用3.1 不动点定理证明微分方程解的存在性和唯一性在实际生活中需要求解一些复杂的方程,但在求解之前必须保证该求解是有意义的.因此判断方程解的存在性起到很大的意义.而用分析的方法证明存在性定理比较困难,下面就给出较为简单的证明方法. 定 理4.1设 二 元 函 数(,)fxy在 区 域,(

14、,a b上处处连续,且处处关于y的偏导数( , )yfx y存在 .存在常数mM使得0( , ),ymfx yM那么方程( , )0f x y在闭区间上有连续解( )yx,且解是惟一的. 证 在完备的空间 , C a b中做映射1:( , ),T Tf xM 下只需证明 T是自身到自身的压缩映射. 事实上 ,对于, , ,mnC a b则由微分中值定理对(0,1)使得11()( )()( )( )( ,)( )( ,)mnmmnnTxTxxfxxfx MM11( )( ) ,( )( )( )( )( )mnynmmnxxfxxxxxx M( )( ) (1), ,mnmxxxa bM现令1m

15、 M,则01,从而有()( )()( )( )( )mnmnTxTxxx即有mnmnTT这就说明T是 , C a b上的压缩映射,故有唯一的 , C a b使得T,亦即有( , ( )0,f xxaxb. 例 2 考察微分方程( , ),dyf x ydx00.xyy其中( ,)f x y在整个平面上连续,此外还设( ,)f x y关于y满足利普希茨条件: 2 121212( ,)( ,), ,f x yf x yK yyx yyR其中0K为常数 ,那么通过00(,)xy微分方程有且仅有一条积分曲线. 证原微分方程加上初值条件00xyy等价与下面的积分方程00( )( ,).xtxy xyf

16、t y dt取0,使得1.K在连续空间00,C xx内定义映射 T：0000()( )( ,)(,),xtxTyxyf t y dt xxx则有001212(,)max( ,( )( ,( )xxxxTy Tf t ytf t ytdt0012max( )( )xxxxK y ty t dt01212max( )( )(,)xxKy tytKyy由于1K,由压缩映射原理可知存在唯一的连续函数000( )(,)yxxxx使得0000( )( ,).xxyxyf t y dt3.2 不动点定理证明积分方程解的存在性例 1 设( ),K t s是定义在三角形区域,atb ast上的连续函数，则积分方程( )() ( )( ),tax tK t s x s dsftl=+对 任 何,fC a b?以 及0l 1存 在 唯 一 的 解0,xC a b?。证明