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1、第四章 根轨迹分析法,1,中国民航大学 航空自动化学院,自动控制原理,1948年，由伊文思（W. R. Evans）提出。 根轨迹法的任务由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点。,2,主要内容,常规根轨迹法 根轨迹的平滑性原理 广义根轨迹和零度根轨迹 多闭环控制系统的根轨迹 应用根轨迹法分析控制系统的性能 应用matlab的根轨迹分析,3,基本要求,1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极点、偶极子等概念。 2.正确理解和熟记根轨迹方程(幅值方程及辐角方程)。熟练运用幅值方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和开环增益。 3.正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解，熟练
2、运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增益K从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。,4,4. 初步掌握运用根轨迹分析参数对响应的影响。能熟练运用主导极点、偶极子等概念，将系统近似为一、二阶系统给出定量估算。5.了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。,5,4.1 常规根轨迹,当闭环系统为正反馈时，对应的轨迹为零度根轨迹；而负反馈系统的轨迹为 根轨迹。,一、根轨迹,6,例子,如图所示二阶系统，系统的开环传递函数为：,7,开环传递函数有两个极点 。没有零点，开环增益为K。,闭环特征方程为,闭环特征根为,闭环传递函数为,8,从特征根的表达式中看出每个特征根都随K的变化 而变化。例如，设,闭环特征根为,9,如果
3、把不同K值的闭环特征根布置在s平面上，并连成线，则可以画出如图所示系统的根轨迹。,10,二、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系,如图所示系统闭环传递函数为,11,将前向通道传递函数G(s)表示为：,为前向通道增益， 为前向通道根轨迹增益,12,式中： 为反馈通道的根轨迹增益。,将反向通道传递函数H(s)表示为：,13,开环传递函数,14,闭环传递函数,分别为闭环零、极点。,式中：,15,闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益； 闭环系统零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成； 闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及开环根轨迹增益有关。,16,结论：,三、根轨迹方程,根轨迹方程G(
4、s)H(s)=-1 （2）式中，G(s)H(s)是系统开环传递函数，该式明确表示出开环传递函数与闭环极点的关系。,闭环特征方程D(s)=1+G(s)H(s)=0 （1）闭环极点就是闭环特征方程的解，也称为特征根。,17,设开环传递函数有m个零点，n个极点，并假定nm，这时式（2）又可以写成：,（3）,不难看出，式子为关于s的复数方程，因此，可把它分解成幅值方程和辐角方程。,开环零极点放大系数，与开环放大系数K成正比,18,必要条件,充要条件,同时满足幅值条件和辐角条件的s值，就是特征方程式的根，也就是闭环极点。,19,注意,幅值条件不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关；而相角条件只与
5、开环零、极点有关。相角条件是决定系统闭环根轨迹的充分必要条件。,因为 在0范围内连续变化，总有一个值能满足幅值条件。所以，绘制根轨迹的依据是辐角条件。利用幅值条件计算 值比较方便，它可以作为计算 值的依据。,20,例1,它们应满足相角方程（5）,已知系统的开环传递函数,试证明复平面上点是该系统的闭环极点。,21,例41 开环零、极点分布图,22,以 为试验点，可得,以 为试验点，观察上图，可得,证毕,可见， 都满足相角方程，所以， 点是闭环极点。,23,解 根据幅值方程求解Kg值,幅值方程,24,由图可知,所以,上面两个例子说明如何应用根轨迹方程确定复平面上一点是否是闭环极点以及确定根轨迹上一
6、点对应的 值。,根轨迹法可以在已知开环零、极点时，迅速求出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环特征方程所有根在复平面上的分布，即根轨迹。,四 绘制根轨迹的基本法则,凡满足幅值和辐角条件的s值，都是闭环的极点，即特征方程的根。这些s值构成系统的根轨迹。关键在于找出这些s点。 实际中，通常在复平面中寻找满足幅角条件的s值来绘制根轨迹曲线，用幅值条件确定根轨迹曲线上各点所对应的K值。 工程上定义：（1）当 0 K +时的根轨迹称之为主要根轨迹，简称根轨迹。（2）当 K0时的根轨迹称之为辅助根轨迹或补根轨迹。（3）当 K +时的根轨迹称为完全根轨迹，简称全根轨迹。,27,绘制根轨迹的一般步骤（1）
7、出 =0 和 = 时的特征根（2）根据绘制法则大致画出0 m 时，则有（n-m) 条根轨迹分支终止于无限零点。这些趋向无穷远的根轨迹分支的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定。,6、根轨迹的渐近线,6、根轨迹的渐近线,渐近线与实轴正方向的夹角为：,渐近线与实轴相交点的坐标为：,41,由于 和 是实数或共轭复数，故 必为实数，因此，渐近线交点总在实轴上。,例4,已知系统的开环传递函数,试根据6，求出根轨迹的渐近线。,极点,42,按照公式得,43,以下是几种开环传递函数的根轨迹渐近线,44,45,定义：几条（两条或两条以上）根轨迹在s平面上相遇又分开的点。,7、根轨迹的分离点和会和点,根轨迹上的分离点
8、和会合点是与特征方程式的重根相对应的。,46,若根轨迹位于实轴两相邻开环极点之间，则此二极点之间至少存在一个分离点。若根轨迹位于实轴两相邻开环零点之间，则此二零点之间至少存在一个会合点。,判断分离点会合点位置的方法：,47,（1）分离点（或会合点）d坐标值的求取方法:,检验：当解得多个s值时，其中k*值为正实数时或s是根轨迹上的点才有效。,1、d坐标值由方程解出,3、由极值点求解d,2 、重根法求解d,坐标值由 解出d,48,例5：已知特征方程,，试求系统闭环根轨迹的分离点坐标值,方法1:解方程法,（舍去）,开环传递函数,方法2:重根法,（舍去）,方法3:极值法,（舍去）,49,(2)分离角与
9、会合角,所谓分离角是指根轨迹离开分离点处的切线与实轴正方向的夹角。,50,所谓会合角是指根轨迹进入重极点处的切线与实轴正方向的夹角。,51,分离角计算公式,会合角计算公式,52,分离角与会合角不必经公式计算，可以用下列简单法则来确定：,若有 条根轨迹进入 点，必有 条根轨迹离开点；,条进入 点的根轨迹与 条离开d点的根轨迹相间隔；,任一条进入d点的根轨迹与相邻的离开d点的根轨迹方向之间的夹角为 ；,因此，只要确定了d点附近的一条根轨迹的方向，由上述规律就可以方便地确定d点附近所有的根轨迹方向。,53,例41 某闭环系统的动态结构图如图所示，试计算根轨迹的分离点和对应的,解,特征方程为,根轨迹方
10、程,即,产生重根条件,S1=-2.47,S2=-0.78+j0.79,S3=-0.78-j0.79,54,8、根轨迹与虚轴的交点,当Kg增大到一定数值，根轨迹可能越过虚轴，造成系统不稳定。对应特征方程具有纯虚根，对应具有临界放大系数。,55,例42,已知某控制系统的开环传递函数为,试绘制以 为参变量的根轨迹并计算与虚轴的交点。,解,1、根轨迹起始于(-1,j0)，(-2,j0),(-4,j0)点，终止于三个无限零点。,2、实轴上-1,-2区间、-4,-)区间存在根轨迹。,3、 由 求得 ，解得,所在区间不存在根轨迹，舍去；分离点坐标为 (-1.45,j0)。,4、确定渐近线,根轨迹方程为,56
11、,5、确定根轨迹与虚轴的交点。,令 ，解得,系统特征方程为,劳斯表,起始角：始于开环极点的根轨迹，在起 点处的切线与水平线的正方向夹角,终止角：止于开环零点的根轨迹，在终点处的切线与水平线的正方向夹角,58,9、根轨迹的出射(起始)角和入射(终止)角,出射角计算,入射角计算,j是m 个开环零点与出射角处开环极点的矢量幅角，j是出射角处开环极点 以外个开环极点与出射角处开环极点的矢量幅角。,j是入射角处开环零点以外的m-1 个开环极点与入射角处开环零点的矢量幅角，j是n个开环极点与入射角处开环零点的矢量幅角。,59,例43 已知某控制系统的开环传递函数为,试计算根轨迹自复平面上开环极点出发的出射
12、角。,解,60,例6 已知系统开环传递函数为求闭环系统大致根轨迹,61,例7,已知系统的开环传递函数,试求闭环系统的根轨迹分离点坐标d，并概略绘制出根轨迹图。,62,解：根据系统开环传递函数求出开环极点,按步骤： n=2,m=1,有两条根轨迹 两条根轨迹分别起于开环极点，终于开环零点和无穷远零点 实轴上根轨迹位于有限零点1和无穷零点之间，因此判断有分离点,63,离开复平面极点的起始角为,64,65,此系统根轨迹如图所示,66,10、根之和与根之积,如果系统特征方程写成如下形式,闭环特征根的负值之和，等于闭环特征方程第二项系数 。若 根之和与开环根轨迹增益 无关。,n个特征根,67,Tips,在
13、开环极点已确定不变的情况下，其和为常值，因此，n-m2的系统，当增益的变动使某些闭环极点在s平面上向左 移动时，则必有另一些极点向右移动，这样才能保证极点之和为常值。这对于判断根轨迹的走向很有意义。,闭环特征根之积乘以 ，等于闭环特征方程的常数项。,68,常见闭环系统 根轨迹图,69,*例44,根据动态结构图绘制以K为参变量的根轨迹。,解：,70,按步骤画图,有4条根轨迹 各条根轨迹分别起于开环极点0，-3，-1+j1, -1-j1 ；终于无穷远 实轴上的根轨迹在0到-3之间 渐近线,71,确定分离点d,72,确定起始角,73,确定根轨迹与虚轴的交点。,闭环系统的特征方程为,74,75,例45,
