(甘志国)数列求和的七种基本方法

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1、数列求和的七种基本方法甘志国部分内容( 已发表于数理天地 ( 高中 ) ，2014(11) ：14-15) 数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过例题 (这些例题涵盖了2014 年高考卷中的数列求和大题)简单介绍数列求和的七种基本方法 . 1 运用公式法很多数列的前n项和nS的求法，就是套等差、等比数列nS的公式，因此以下常用公式应当熟记：221231123(1)2 135(21)12222111111122222nnnnnn nnn还要记住一些正整数的幂和公式：2233332222) 1(41321)12)(1(61321nnnnnnn例 1 已

2、知数列na的前n项和232nnSn，求数列na的前n项和nT. 解由232nnSn,可得nan233,160nan，所以：(1)当16n时,nT=232nnSn. (2)当17n时，512322)()()(21616161817162121nnSSSSSaaaaaaaaaTnnnnn所以2232(1,2,16)32512(17,)nnnnT nnnnN且例 2 求1)2(3)1(21nnnnSn. 解设2) 1()1(knkknkak，本题即求数列ka的前n项和 . )2)(1(61) 12)(1(61)1() 1(21)321()1)(321(2222nnnnnnnnnnnnSn高考题 1(

3、2014 年高考浙江卷文科第19 题(部分 )求数列21n的前n项和nS. 答案：2 nSn. 高考题 2(2014 年高考四川卷理科第19 题(部分 )求数列24n的前n项和nS. 答案：23nSnn. 高考题 3 (2014 年高考福建卷文科第17 题)在等比数列na中，253,81aa. (1)求na；(2)设3lognnba，求数列nb的前n项和nS. 答案： (1)13n na； (2)22nnnS. 高考题 4 (2014 年高考重庆卷文科第16 题)已知na是首项为1， 公差为 2的等差数列，nS表示na的前n项和 . (1)求na及nS；(2)设nb是首项为2 的等比数列，公比

4、q满足2 44(1)0qaqS，求nb的通项公式及其前n项和nT. 答案： (1)221,nnanSn；(2)2122,(41)3nn nnbT. 2 倒序相加法事实上，等差数列的前n项和nS的公式推导方法就是倒序相加法.例 3 求正整数m与()n mn之间的分母为3 的所有既约分数的和S. 解显然，这些既约分数为：31,32,34,34,32,31nnnmmm有) 31()32()34()34()32()31(nnnmmmS也有) 31()32()34()34()32()31(mmmnnnS所以2222),(2)(2)(2mnSmnmnnmS例 4 设4( )42xxf x，求和123200

5、12002200220022002ffff. 解可先证得( )(1)1f xfx，由此结论用倒序相加法可求得答案为20012. 3 裂项相消法例 5 若na是各项均不为0 的等差数列， 求证：1113221111nnnaanaaaaaa. 证明设等差数列na的公差为d：若0d，要证结论显然成立；若0d，得)11(1111nnnnaadaa11111113221132211111)11()11()11(1111nnnnnnnaan aand daadaaaaaadaaaaaa例 8 证明222211112(123nnN且2)n. 证明22221312111n 11111 22 3(1)11111

6、111223111121nnnnn高考题 5 (2014 年高考全国大纲卷理科第18 题 )等差数列na的前n项和为nS，已知110a，2a为整数，且4nSS. (1)求na的通项公式；(2)设11 n nnba a，求数列nb的前n项和nT.答案： (1)13 3nan；(2)10(103 )nnSn. 高考题 6 (2014 年高考广东卷文科第19 题 )设各项均为正数的数列na的前n项和为nS，且nS满足NnnnSnnSnn,033222. (1)求1a的值；(2)求数列na的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有31)1(1) 1(1) 1(12211nnaaaaaa. 答 案 ：

7、(1)12a； (2)2nan； (3) 当1n时 ， 可 得 欲 证 成 立 . 当2n时 ，111111 (1)2 ( 21)( 21) ( 21)22121nna annnnnn，再用裂项相消法可得欲证. 高考题 7 (2014 年高考山东卷理科第19 题 )已知等差数列na的公差为2，前n项和为nS，且1S，2S，4S成等比数列 . (1)求数列na的通项公式；(2)令nb=,4)1(11nnnaan求数列nb的前n项和nT. 答案： (1)21nan，2221 221nnnnTnnn为奇数为偶数. 4 分组求和法例 9 求11111111111224242nnS. 解设1111124

8、2nna，得112 2nna. 所以本题即求数列112 2n的前n项和：111111212222422nnnnSnnan例 10 设数列na的前n项和nS满足221n naS， 又nn nSb) 1(， 求数列nb的前n项和nT. 解在221n naS中，令1n可求得11a. 还可得22 114(1) ,4(1)nnnnSaSa相减，得20)2)(224111122 11nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaa所以na是首项为1 公差为 2 的等差数列，得12nan所以222) 1(,21nbnaSn nn n当n为偶数时，2) 1()12(1173)1()43()21(222222nnn

9、nnTn当n为奇数时，2)1()(2)1(2 1nnnnnbTTnnn用以上结论总之， 2)1()1(nnTn n. 高考题8 (2014 年高考北京卷文科第15 题 )已知na是等差数列，满足13a，412a，数列nb满足14b，420b，且nnba是等比数列 . (1)求数列na和nb的通项公式；(2)求数列nb的前n项和 . 答案： (1)1=3 ,=32n nnan bn；(2)3(1)212nn n. 高考题 9 (2014 年高考山东卷文科第19 题)在等差数列na中， 已知公差2d，2a是1a与4a的等比中项 . (1)求数列na的通项公式；(2)设(1)2nn nba，记123

10、4( 1)n nnTbbbbb，求nT. 答案： (1)2nan，2(1)2 (1)2nnn T n nn为奇数为偶数. 高考题 10 (2014 年高考浙江卷理科第19 题(部分 )求数列12(1)n n n的前n项和nS.答案：1221nn n. 5 错位相减法高 考 题11 (2014年 高 考 江 西 卷 理 科 第17 题 )已 知 首 项 都 是1 的 两 个 数 列nbbannn, 0(,N*) 满足02111nnnnnnbbbaba. (1) 令nn nbac，求数列nc的通项公式；(2)若13n nb，求数列na的前n项和nS. 解(1)12ncn. (2)得13)12(n

11、nnnncba.先写出nS的表达式：13213) 12(37353311n nnS把此式两边都乘以公比3，得nn nnnS3) 12(3)32(35333131321-，得nn nnS3) 12(3232323212132113) 12()3232323232(213210nn nnS由等比数列的前n项和公式，得13) 12(132nn nnS23)22(13) 12(132nnn nnnS13)1(n nnS因为此解答确实步骤多，且有三步容易出错：(1)等式右边前n项的符号都是“+” ，但最后一项是“” ；(2)当等式右边的前n项不组成等比数列时，须把第一项作微调，变成等比数列 (即等式 )

12、，这增加了难度；(3)等式中最后一步的变形(即合并 )有难度 .但这种方法 (即错位相减法)又是基本方法且程序法，所以备受命题专家的青睐，在高考试卷中频频出现就不足为怪了.考生在复习备考中，应彻底弄清、完全掌握，争取拿到满分. 这里笔者再给出一个小技巧检验：算得了nS的表达式后，一定要抽出万忙的时间检验一下21,SS是否正确，若它们均正确，一般来说就可以确定算对了，否则就算错了，需要检查(重点是检查容易出错的三点)或重算 . 对于本题，已经算出了13) 1(n nnS，所以10, 121SS.而由通项公式可知1033, 1111 121SSS，所以求出的答案正确. 高考题 12 (2014 年

13、高考课标全国卷I 文科第 17 题)已知na是递增的等差数列，42,aa是方程2560xx的根 . (1)求na的通项公式；(2)求数列2n na的前n项和 . 答案： (1)121nan. (2)用错位相减法可求得答案为1242nn. 高 考 题13(2014年 高 考 安 徽 卷 文 科 第18题 ) 数 列na满 足111,(1)(1),nnananan nnN*. (1)证明：数列nan是等差数列；(2)设3n nnba，求数列nb的前n项和nS. 答案： (1)略 . (2) 由 (1) 可 求 得2nan， 所 以3n nbn， 再 用 错 位 相 减 法 可 求 得433)12(

14、1nnnS. 高考题 14(2014年高考四川卷文科第19题)设等差数列na的公差为d， 点( , )nnab在函数( )2xf x的图象上(nN*). (1)证明：数列nb为等比数列；(2)若11a，函数( )f x的图象在点22(,)a b处的切线在x轴上的截距为12ln 2，求数列2nna b的前n项和nS. 答案： (1)略 . (2) 可 求 得,2n nnan b， 所 以24n nna bn， 再 用 错 位 相 减 法 可 求 得944) 13(1nnnS. 高考题 15(2014年高考四川卷理科第19题)设等差数列na的公差为d， 点( , )nnab在函数( )2xf x的

15、图象上(nN*). (1)若12a，点87(,4)ab在函数( )f x的图象上，求数列na的前n项和nS；(2)若11a，函数( )f x的图象在点22(,)a b处的切线在x轴上的截距为12ln 2，求数列nnab的前n项和nT. 答案： (1)2=3nSnn. (2)可求得,2n nnan b， 所以2n n nanb， 再用错位相减法可求得答案为nnnT222. 6 待定系数法例 11 数列3) 12(nn的前n项和nS. 解设等差数列ma的公差为d，等比数列mb的公比为(1)q q，得1 11(1) (1,2, )m mmabamdbqmn先用错位相减法求数列mmab的前n项和nS：

16、21 1111121 1111121 11121 11111()(2 )(1) ()(2)(1) (1)(1) ()(1) (1n nnn nnn nnnnSb aad qad qand qqSba qad qand qand qq Sb adqdqdqand qbddqdqdqand qadddqbanq11) nd qad11 1111n nqddSdnadqadbqq所以有下面的结论成立：若,mmab分别是等差数列、等比数列(其公比1q)，且11,a b均是与n无关的常数，则数列mmab的前n项和bqbanSn n)(，其中,a b是与n无关的常数 . 由此结论就可以用待定系数法快速求解本题：可设() 3nnSanbb(其中,a b是常数 ). 可 得123,32730SS， 所 以3()39 ( 2)3 0abbabb， 解 得33ab， 所 以33)1(1n