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1、函数概念的发展（07 数教 15 号游榕榕）一、函数概念的萌芽在公元十六世纪之前，数学上占统治地位的是常量数学，其特点是用孤立、静止的观点去研究事物。 具体的函数在数学中比比皆是， 但没有一般的函数概念。十六世纪，随着欧洲过渡到新的资本主义生产方式，迫切需要天文知识和力学原理。当时，自然科学研究的中心转向对运动、对各种变化过程和变化着的量之间依赖关系的研究。 数学研究也从常量数学转向了变量数学。数学的这个转折主要是由法国数学家笛卡尔完成的，他在几何学 一文中首先引入变量思想，称为“ 未知和未定的量 ” ，同时引入了两个变量之间的相依关系。这便是函数概念的萌芽。二、早期函数概念 几何观念下的函数
2、十七世纪伽俐略 两门新科学 一书中，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673 年前后笛卡尔在他的解析几何中，已经注意到一个变量对于另一个变量的依赖关系， 但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念。牛顿十七世纪在原理中提出的 “ 生成量 ” 是雏形的函数概念 ,莱布尼兹首先使用了 “ 函数 ” 这一术语.因此直到 17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。三、十八世纪函数概念 代数观念下的函数十八世纪初， 贝努利最先摆脱具体的初等函数的束缚，给函数一个抽象的不用几何形式的定义： “ 一个变量的函数是指由这个变量和常量的任何一
3、种方式构成的一个量。 ” 欧拉则更明确地说： “ 一个变量的函数是该变量和常数以任何一种方式构成的解析表达式。” 函数之间的原则区别在于构成函数的变量与常量的组合方式的不同。 欧拉最先把函数的概念写进了教科书。在贝努利和欧拉看来， 具有解析表达式是函数概念的关键所在。1734年，欧拉用记号 y=f( x)表示变量 x的函数，其中的 “f ”取自 “function”的第一个字母。四、十九世纪函数概念 对应关系下的函数1822年傅里叶发现某些函数可以表示成三角级数,使函数的概念得以改进 ,发现某些函数可用曲线表示,也可用一个式子表示,或用多个式子表示,从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争
4、论把对函数的认识又推进了一个新的层次。1823 年柯西从定义变量开始给出了函数的定义,同时指出 ,虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法,但是对函数来说不一定要有解析表达式,不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示,这是一个很大的局限 ,突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷。19 世纪初 ,函数概念再次得到了扩展,函数的概念开始摆脱“ 解析表达式 ”,另外狄里克雷更提出了如下的函数概念: 1837 年狄利克雷指出 : “ 对于在某区间上的每一个确定的值都有一个或多个确定的值,那么 y叫做 x的函数 . ” 狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全
5、清晰的方式为所有数学家无条件地接受。等到康托尔创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦用“ 集合 ” 和“ 对应 ” 的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“ 变量是数 ” 的极限，变量可以是数，也可以是其它对象（点、线、面、体、向量、矩阵等）。五、现代函数概念 集合论下的函数1914 年豪斯道夫 (FHausdorff)在集合论纲要中用“ 序偶 ” 来定义函数。库拉托夫斯基 (Kuratowski)于 1921 年用集合概念来定义 “ 序偶 ” ，即序偶 (a，b)为集合a ， b ，这样，就使豪斯道夫的定义很严谨了。1930 年新
6、的现代函数定义为，若对集合M 的任意 元素 x,总有集合确定的元素 y 与之对应 ,则称在集合 M 上定义一个函数 ,记为 y=f(x)。元素 x 称为 自变元,元素 y 称为因变元。数学的发展是无止境的， 函数现代定义的形式并不意味着函数概念发展的历史终结，近二十年来 ,数学家们又把函数归为一种更广泛的概念关系设集合 X、Y,我们定义 X 与 Y 的积集 XY 为 XY= （x,y）xX,yY 积集 XY 中的一子集 R 称为 X 与 Y 的一个关系， 若（x,y）R，则称 x 与 y 有关系 R，记为 xRy.若（x,y）R，则称 x 与 y 无关系现设 f 是 X 与 Y 的关系，即fX
7、 Y，如果（ x,y） ， （x,z）f, 必有 y=z，那么称 f 为 X 到 Y 的函数在此定义中，已在形式上回避了 “ 对应 ” 的术语，全部使用集合论的语言了二十世纪以来， 函数概念不断扩充， 函数不仅是变数， 还可以是其它变化着的事物。还出现了所谓广义函数以及函数的函数等等。但大体上可被布尔巴基的函数概念覆盖。 以研究函数为已任的分析学，成为数学的三大基本分支之一，形成几何、代数、分析三足鼎立的局面。在分析学中，函数论占有重要地位，它又划分为实函数论与复函数论两大部分，分工越来越细。函数概念的发展过程， 就是一个函数内涵在不断地被挖掘、丰富和精确刻划的历史过程； 同时看出数学概念并非生来就有，一成不变， 而是人们在对客观世界深入了解过程中得到，并不断加以发展的，从而以适应新的需要。
