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1、m1 m2 k1 k2 F ABkC高考轻弹簧模型研究 一、轻弹簧模型的特点 轻弹簧的 “ 轻” 就是质量可以忽略，重力不计，为理想模型，其特点是弹簧各处受力相等（包括两端），其 大小与弹簧的运动状态无关，在弹性限度内满足胡克定律，对物体既可以有拉力，也可以有压力。 例1：如图所示，四个完全相同的弹簧处于水平位置，它们的右端受到大小皆为F的拉力作用，而左端的情 况各不相同；中弹簧的左端固定在墙上；中弹簧左端受大小也为F的拉力作用；中弹簧的右端拴一小物块，物块在光滑的桌面上滑动；中弹簧的左端拴一小物块，物块在有摩擦的桌面上滑动。若认为弹簧的质量 都为零，以 l1、l2、l3、l4依次表示四个弹簧
2、的伸长量，则有（）A、l2l1B、l4 l3C、 l1l3D、l2l4 解析：因弹簧的质量不计，用微元思想选取一小段元弹簧，其受到的合力为零，可以得出不论弹簧是静止 还是加速运动，弹簧各处受力相等，即弹簧的弹力为F，由胡克定律可知D选项正确。 二、轻弹簧的静力学问题 在处理平衡问题时应合理选择研究对象，依据平衡条件求出弹簧的弹力，再由胡克定律求出弹簧的伸长量 或压缩量。 例2：如图所示，两木块的质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，上面木块压在上面的 弹簧上（但不拴接） ，整个系统处于平衡状态。现用外力缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧。在这过程中下面木块移动的距
3、离为多大？ 解析（一）：缓慢向上提意味着m1、m2始终处于平衡状态，初始状态上、下两弹簧的压缩量分别为x1和x2， 对于 m1有k1x1=m1g 对于 m2有k1x1+m2g=k2x2 在力 F的作用下，当 m1向上移1l时， m2向上移2l对于 m2有m2g+k1(x11l)=k2（x22l） 由得2211lklk当11xl时， m1离开上面的弹簧，此时m2上移的距离21211 2kgm klkl解析（二）：初状态下面弹簧的压缩量为x2，对于 m1和m2 由物体的平衡有k2x2(m1m2)g 当m1刚离开上面的弹簧时，上面的弹簧对m2无作用力，设下面弹簧的压缩量为2x，对于 m2由物体的平衡
4、有 gmxk2 22 此过程中 m2上移的距离 22xxh 由得hm1g/k2 三、轻弹簧的动力学问题 （一）瞬时问题： 弹簧在力的作用下，发生明显形变， 形变恢复需要一定时间，在瞬时问题中， 形变未改变，可以认为弹簧其弹力不变。例3：如图所示，木块A与B用一轻弹簧相连，竖直放在木块C上，三者静置于地面，它们的质量 之比是 1：2：3，设所有接触面都光滑，当沿水平方向快速抽出木块C的瞬间，木块 A和B的加速度分 别是多大？解析：抽 C前弹簧弹力gmFA，抽 C后瞬间弹簧的弹力不变，A所受合力(1) F (2) F (4) F (3) F 仍为零，故0Aa；B所受合力gagmFgmFBBBB23
5、23，故。（二）圆周运动问题：轻弹簧对物体既可以有拉力，也可以有支持力，其长度随受力的变化而变化。 例4：如图所示，有原长为l0的轻弹簧，劲度系数为k，一端系一质量为 m的物体，另一端固定在转盘上的O点，物块随转盘一起以角速度转动，物块与转盘间的最大静摩擦力为Fm，且02rmFm，求物块在转盘 上的位置范围。解析：物块与转盘间有最大静摩擦力，当物块转动半径最小为1r时，弹簧被压缩，由牛顿第二定律有12 10)(rmrlkFm得 kmklFrm 20 1当物块转动半径最大为r2时，弹簧伸长，由牛顿第二定律有22 02)(rmFlrkm得20 1mkklFrm所以物体在转盘上的位置为21rrr。（
6、三）临界问题：相互接触的物体分离的瞬间弹力为零，此时两物体具有相同的运动状态 例5：如图所示，一个弹簧秤放在水平地面上，Q为与轻弹簧上端连在一起的秤盘，P为 一重物，已知 P的质量 M10.5kg，Q的质量 m1.5kg，弹簧的质量不计， 劲度系数 K800N/m，系统保持静止，现给P施加一个方向竖直向上的力F，使它从静止开始向上做匀加速运动，已 知前 0.2S时间内， F为变力， 0.2S以后， F为恒力，求变力 F大小的变化范围。 解析： （1）P做匀加速运动，它受到合外力一定是恒力，P受到三个力：重力、向上的力F、Q对P的支持力 FN，其中重力 Mg为恒力， FN为变力，因 0.2S以后
7、 F为恒力，说明 t0.2s时刻P与Q开始脱离，此时FN0。 （2）t0.2s的时刻 FN恰好减为零，此时P与Q具有相同的速度及加速度，因此，此时刻 弹簧并未恢复原长。 （3）当 t0时刻，应是力 F最小的时刻， F小（ Mm）a，随后由于弹簧的弹力逐渐变小，而P与Q的合力保持不变，因此力F逐渐变大，至 t0.2s时间内， F增至最大， F大M（ga） （四）简谐振动问题：物体在平衡位置速度最大，加速度为零；物体偏离平衡位置的位移大小相等时，加 速度大小相等，速度大小相等（即振动的对称性）；物体偏离平衡位置的位移变大，加速度变大，速度变小。 例6：如图所示，升降机在箱底装有若干个弹簧，在某次事
8、故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中A、升降机的速度不断减小 B、升降机的加速度不断变大 C、到最低点时，升降机的加速度值等于重力加速度的值 D、到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加速度的值 解析：因触地后弹簧下端与地不再分离，且弹簧原长时升降机有一向下的速度，故本题可转化为一个下端 与地连接，上端连一物体的竖直弹簧振动问题，将物体由最高点静止释放（此时弹簧伸长x1） ，物体将在最高点 和最低点间做简谐振动；在最高点mg+kx1=ma1，得a1g；在平衡位置时，弹簧的压缩量为x2，mg=kx2，物体做 简谐运动的振幅为A=x1+x2
9、；由简谐振动的对称性，物体在最低点和物体在最高点的加速度大小相等，故在最低 点升降机的加速度值大于重力加速度的值，选项D正确。例7、如图所示，一根自由长度为100lcm的轻弹簧，下端固定，上端连一个质量为 m的物块 P，在 P上方再放一个质量也是m的物块 Q，系统静止后，弹簧长度为 61lcm。如果迅速向上移去Q，物块 P将在竖直方向上做简谐运动，试求此后弹簧的最大长度。 解析：方法（一）未移走 Q时，对于 P、Q由物体的平衡条件210llkmg 移 走 Q 后 ， P 做 简 谐 运 动 ， 设 其 在 平 衡 位 置 时 弹 簧 的 长 度 为2l， 对 于 P 由 物 体 的 平 衡 条
10、 件O FPQC A mgllk20 P做简谐运动的振幅12llAP运动到最高点时弹簧最大长度All213 由得：1003llcm 方法（二） 设P做简谐运动的振幅为A，在刚移去 Q时，对于 P由牛顿第二定律kAmg P在最高点，设弹簧的长度为l，由牛顿第二定律kAllkmg0 由得100llcm 四、轻弹簧的弹性势能问题 在弹簧的形变量发生改变时，弹簧的弹力是一个变力，对于变力做功可从功能的关系角度出发分析，弹簧 的弹力做了多少功，弹簧的弹性势能就减少多少；弹簧的弹性势能跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关，被拉伸或压缩的长度越长，恢复原状时对外做的功就越多，弹簧的弹性势能就越大。 （一）弹力做功为
11、零：弹簧的压缩量和伸长量相同时，弹簧的弹性势能相同，在此过程中弹簧的弹性势能 的改变量为零，弹力做功为零。 例8：如图所示，在倾角为30 的光滑斜面上，一劲度系数为k的轻质弹簧一端固定在固定档板C上，另一端连接一质量为m的物体 A，一轻细绳通过滑 轮，一端系在物体A上， 另一端有一细绳套，细绳与斜面平行，物体A保持静止。现在细绳套上挂一质 量也为 m的物体 B，试求物体 A的最大速度解析：初状态弹簧的压缩量为x1，有0 130sinmgkx得kmgx21；物体的速度最大时物体受到合力为零，设此时弹簧的伸长量为x2，有mgmgkx0 230sin得kmgx22；因21xx故弹性势能的改变量0E，
12、在此过程中，对于A、B弹簧组成的系统由机械守恒定律有2 2121221sin)()(mxxmgxxmg得 kmg 22 2（二）弹力做功不为零：弹力做功不为零，弹性势能的改变量不为零，可由功能关系计算弹力做功，也可 由能的转化和守恒计算弹性势能的改变量。1、由机械能守恒定律计算弹性势能的改变量例9、 （2005年，全国理综卷第24题）如图质量为 m1的物体 A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为 m2的物体 B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳 绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都牌伸直状态，A上方的一段沿 竖直方向。现在挂钩上挂一质量为m3的
13、物体 C上升。若将 C换成另一个质量为(m1+m3)物体 D， 仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B则离地时 D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g。 解析：方法（一）解析开始时，B静止平衡，设弹簧的压缩量为x1, 挂C后，当 B刚要离地时，设弹簧伸长量为x2，有此时， A和C速度均为零。从挂C到此时，根据机械能守恒定律弹簧弹性势能的改变量为将C换成 D后，有联立以上各式可以解得注：弄清物理过程是解本的关键。开始 A、B静止， 属于平衡现象。 挂C后是一个运动过程，但不是匀变速， 先加速后减速， 可考虑用功能关系列方程，A的重力势能增加， C的重力势能减少， 还有弹簧的弹性势能变化(可
14、设为增加 )。该过程的末状态，B刚要离地但并没有离地，仍静止，还是一个平衡现象。 一般情况下， 匀变速运动列方程可从牛顿运动定律和运动学公式出发，而非匀变速运动则从动量和能量两个守恒时考虑。换D后的过程，仍是非变速，且最后AD还有速度。两个物体减少的势能，除让弹簧弹性势能变化外，两 个物体的动能也增加。方法（二） 从两个物理过程的效果出发，挂D与挂 C比较，弹簧弹性势能的改变量相同，只是系统的重力势能多减少了 kgmkgmgm21 1从而使 A和D的动能增加，则有2 32121 121mmmkgmkgmgm得 kmmgmmm312 211 222、由动能定理计算弹性势能 例10、如图所示， E
15、F为一水平面， O点左侧是粗糙的，O点右侧是光滑的。一轻质弹簧右端与墙壁固定， 左端与质量为 m的小物块 A相连， A静止在 O点，弹簧处于原长状态。质量为m的物块 B，在大小为 F的水平恒力 作用下由 C处从静止开始向右运动，已知物块B与EO面间的滑动摩擦力大小为F/4，物块 B运动到 O点与物块 A相碰并一起向右运动（设碰撞时间极短），运动到 D点时撤去外力 F，已知4COS ，ODS，试求撤去外力 F后弹簧的最大弹性势能解析：设 B与A碰前 B的速度为0，对于 B由动能定理2 0214)41(mSFF 设B与A碰后 A、B的共同速度为1，对于 B、A由动量守恒定律lmm20 设弹簧的最大
16、弹性势能为PE，从碰后到 A、B的速度减小到 0，由动能定理2 12210mEFsP 由得FSEp253、由机械能守恒定律和简谐运动计算弹性势能ABFkm 2 m 例11、如图所示，一轻质弹簧竖直固定在地面上，自然长度为10lm，上面连接一个质量为11mkg的物体，平衡时弹簧的长度为9 .01lm。距物体 m1正上方高为0.3m处有一个质量为12mkg的物体自由下落后与弹簧上物体m1碰撞立即合为一体，一起在竖直面内做简谐运动。当弹簧压缩量最大时，弹簧长为6.03lm。（10gm/s2）求：弹簧长为0.6m时弹簧的弹性势能解析：1m静止时，对于1m由物体的平衡条件101llkgm 1m与2m作 简 谐 振 动 到 达 平 衡 位 置 时 ， 弹 簧 的 长 度 为3l， 对 于1m和2m由 物 体 的 平 衡 条 件3021llkgmm 由得8.03lm 1m与2m做简谐振动的振
