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1、咨询热线：0757-88018805 学习热线： 0757-88018835 第1页 共 1 页解三角形（一）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.(二) 应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力以化简、求值或判断三角形的形状为主解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明第 1 课时三角形中的有关问题变式训练1： (1)ABC的内角 A、 B、 C 的对边分别为a、 b、 c， 若 a、 b、 c 成等比数列， 且2ca， 则c o sB（）A14B34C2
2、4D23解： B 提示：利用余弦定理（2）在 ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（）A.0020,45 ,80bACB.030,28,60acBC.014,16,45abAD. 012,15,120acA解： C 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解（3）在 ABC 中，已知5cos13A，3sin5B，则cosC的值为（）A 1665B 5665C 1665或5665D 1665解三角形正弦定理余弦定理正弦定理的变形形式余弦定理的变形形式解三角形应用举例测量实习典型例题基础过关知识网络考纲导读高考导航咨询热线：0757-8
3、8018805 学习热线： 0757-88018835 第2页 共 2 页解： A 提示 :在 ABC 中，由sinsinABAB知角 B 为锐角（4）若钝角三角形三边长为1a、2a、3a，则a的取值范围是解：02a提示：由222(1)(2)3(1)(2)(3)aaaaaa可得（5）在 ABC 中，060 ,1,3,sinsinsinABCabcAbSABC则= 解：2 393提示：由面积公式可求得4c，由余弦定理可求得13a例 3. 已知在 ABC 中， sinA(sinB cosB)sinC0，sinB cos2C 0，求角 A、B、C解：由 sinA(sinB cosB)sinC0，得
4、sinAsinB sinAcosBsin(A B)0，所以 sinB(sinA cosA) 0B(0, ), sinB0, cosAsinA， 由 A(0, )， 知 A 4从而 BC 43， 由 sinBcos2C0得 sinBcos2( 43B)0cos(232B)cos2 ( 22B) cos( 22B) sin2B得 sinBsin2B0，亦即 sinB2sinBcosB 0，由此各cosB 21，B 3，C 125A 4B3C125变式训练3：已知 ABC 中， 22 （sin2Asin2C）=（ab） sinB，ABC 外接圆半径为2 .（1）求 C；（2）求 ABC 面积的最大值
5、 .解： （1）由 22 （sin2Asin2C）=（ab） sinB 得22 （224Ra224Rc） =（ab） Rb2.又 R=2 ， a2c2=abb2. a2+b2c2=ab.cosC= abcba2222 =21.又 0 C180 ， C=60 .（2）S= 21absinC=2123ab=23sinAsinB=23sinAsin （120 A）=23sinA （sin120 cosAcos120 sinA）=3sinAcosA+3sin2A=23sin2A 23cos2A+23=3sin（2A30 ）+23.当 2A=120 ，即 A=60 时， Smax= 233.小结归纳咨询
6、热线：0757-88018805 学习热线： 0757-88018835 第3页 共 3 页第 2 课时应用性问题1三角形中的有关公式（正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等）；正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等；实际问题中有关术语、名称（1）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水平视线下方的角叫俯角（2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角例 1 (1)某人朝正东方走xkm 后，向左转1500，然后朝新方向走3km，结果它离出发点恰好3km，那
7、么x等于（）（A）3（B）32（C）3或32（ D）3解： C 提示：利用余弦定理（2）甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为060，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为030，则甲、乙两楼的高分别是（）A 40320 3,3mmB 10 3 ,203mmC 10( 32),203mmD 15320 3,23mm解： A （3）一只汽球在2250m的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A 点处的俯角为018，汽球向前飞行了2000m后，又测得A 点处的俯角为082，则山的高度为（）A 1988mB 2096mC 3125mD 2451m解：B （4） 已知轮船A 和轮船 B 同时离开 C
8、岛， A 向北偏东025方向，B 向西偏北020方向，若 A 的航行速度为25 nmi/h，B 的速度是A 的35，过三小时后，A、B 的距离是解： 90.8 nmi (5) 货轮在海上以40km/h 的速度由B 到 C 航行，航向为方位角0140NBC，A 处有灯塔，其方位角0110NBA，在 C 处观测灯塔A 的典型例题基础过关咨询热线：0757-88018805 学习热线： 0757-88018835 第4页 共 4 页方位角035MCA，由 B 到 C 需航行半小时，则 C 到灯塔 A 的距离是解：10( 62)km 提示：由题意知075BCA，利用余弦定理或解直角三角形可得变式训练1
9、：如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ，相距 10 海里 C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1 ）？解：连接 BC,由余弦定理得BC2=202+1022 20 10 cos120 =700. 于是 ,BC=107. sinsin1202010 7ACB, sinACB=73, ACB90 ACB=41乙船应朝北偏东71 方向沿直线前往B 处救援 . 例 2. 在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图 )的东偏南2(cos)1
10、0方向 300 km 的海面 P 处，并以 20 km / h 的速度向西偏北45的方向移动， 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以 10 km / h 的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？持续多长时间？解：设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km) 若在时刻t 城市 O 受到台风的侵袭,则6010tOQ由余弦定理知OPQPOPQPOPQOQcos2222由于 PO=300,PQ=20t 5445coscosOPQ故2222203009600OQtt21060t即2362880tt解得2412t答： 12 小时后该城市受到台
11、风的侵袭，侵袭的时间将持续12 小时变式训练2：如图所示 ,海岛 A 周围 38 海里内有暗礁，一艘船向正南方向航行，在B 处测得岛 A 在船的南偏东030方向上，船航行30 海里后，在C 处测得岛 A 在船的南偏东045方向上，如果此船不改变航向，继续向南航行，有北20 10 A B ? C 咨询热线：0757-88018805 学习热线： 0757-88018835 第5页 共 5 页无触礁危险？解：由题意得，在ABC 中， BC=30，030B，0135ACB所以015A，由正弦定理可知：sinsinBCACAB0030sin15sin30AC所以060cos15AC，于是 A 到 BC
12、 所在直线的距离为000sin4560cos15 sin 45AC40.9838所以船继续向南航行无触礁危险。例 3. 如图所示，公园内有一块边长2a的等边 ABC 形状的三角地， 现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在 AB 上，E 在 AC 上. （1）设 AD()x xa，EDy，求用x表示y的函数关系式；（2）如果 DE 是灌溉水管，为节约成本希望它最短，DE 的位置 应该在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的位置又在哪里？请给予证明. 解： （1）在 ABC 中， D 在 AB 上，2axaSADE=12SABC 02011sin 60sin 6024
13、x AEAB22aAEx，在 ADE 中，由余弦定理得：4 222 242ayxax4 22242(2 )ayxaaxax（2）令2xt，则224ata则4 242aytat令4 2224( )2,4af ttataat，则4242222244(2)(2)( )1atatataftttt 22(,2) ( )0taaft当时,；22(2,4) ( )0taaft当时,222222()3,(2)2,(4)3f aafaafaa又22,2taxa当即时,y有最小值2a，此时 DEBC，且2ADa224,2taaxaay当或即或时,有最大值3a，此时 DE 为 ABC 的边 AB 或 AC 的中线上
14、 . 变式训练3：水渠道断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为h，梯形面积为S，为了使渠道的渗水量达到最小，应 使梯形两腰及下底之和达到最小，此时下底角应该是多少？解：设CDa，则2,sintanhhCDaCBABa则，所以12()2tantanhShSaahah 设两腰与下底之和为l，咨询热线：0757-88018805 学习热线： 0757-88018835 第6页 共 6 页则22cos2tansinsinShhSlaCBhhh22212 si n3 si nc o s2222 si nc o s2 si nc o s2222SShhhh31tan222tan2Shh312tan3222 t
15、an2SShhhh当且仅当31tan222tan2时，上式取等号，即当3tan23时，上式取等号0030 ,602即，所以下角060时，梯形两腰及下底之和达到最小例 4. 如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA=2 ，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形 ABC 。问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？解：设AOB，在 AOB 中，由余弦定理得：2222c o sA BO AO BO AO BA O B22122 12 cos54cos于是，四边形OACB 的面积为S=SAOB+ SABC213sin24OA OBAB132 1 sin(54cos)2
16、45353s i n3 c o s2 s i n ()434因为0，所以当 32，56，即56AOB时，四边形 OACB 面积最大变式训练4：如图所示，某海岛上一观察哨A 上午 11 时测得一轮船在海岛北偏东060的 C 处， 12 时 20 分测得船在海岛北偏西060的 B 处， 12 时 40 分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km 的 E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？解：轮船从C 到 B 用时 80 分钟，从B 到 E 用时 20 分钟，而船始终匀速前进，由此可见：BC=4EB ，设 EB=x，则则 BC=4x，由已知得0030 ,150BAEEAC咨询热线：0757-88018805 学习热线： 0757-88018835 第7页 共 7 页在
