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1、静力学,第四章 空间力系,第四章 空间力系,本章内容,工程中常见物体所受各力的作用线不在同一平面内的力系。,车床主轴,手摇钻,飞行的飞机,空间力系,空间汇交力系,空间力偶系,空间任意力系,（1）一次（直接）投影法,一、力在直角坐标轴上的投影,（2）二次（间接）投影法,二、空间汇交力系的合成与平衡,1、空间汇交力系的合成,力系,F=Fx+Fy+Fz=Xi+Yj+Zk,三、空间汇交力系的平衡条件,空间汇交力系平衡的充分和必要 条件是：力系的合力等于零。FR=0,即力系中各力在坐标轴上的投影的代数和分别等于零。,例：用轻质起重杆吊起重物如图示，A处为固定球铰链，B端用绳子系在C、D两点，结构关于Ay
2、z平面对称。已知，BFy轴，CE=EB=ED， =30o，P=10kN。求绳子拉力和A处的约束反力。,解：,研究AB杆与重物,受力分析，画受力图,列平衡方程,解得：,在平面中：力对点的矩是代数量。在空间中：力对点的矩是矢量。,一、力对点之钜,力对点之矩是力使物体绕某点转动效果的度量。,作用面：力矩作用面。,方向:转动方向；,大小:力F与力臂的乘积；,4-2 力对轴之矩和力对点之钜,矢量的方位和力与钜心所组成的平面的法线方位相同，,A（x，y，z），力在三个坐标轴上的投影分别为Fx，Fy，Fz，,得力对点之钜的解析式为：,矢量表征,Mx,My,Mx,二、力对轴之钜,（1）力对轴之钜定义,1）是力
3、使刚体绕该轴转动效果的度量，是一个代数量， 2）其绝对值等于该力在垂直于该轴平面上的投影对于轴与平面交点之矩的大小，单位：Nm。,4）当力的作用线与轴平行或相交(共面)时，力对轴的矩等于零。 5）当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。,3)符号规定：按右手螺旋规则确定.,设力F沿三个坐标轴的分量分别为Fx，Fy，Fz，力作用点A的坐标为(x,y,z)，则,同理可得其它两式，三式合写为：,（2）力对轴之钜的解析式,3. 力对点的矩与力对轴的矩的关系, 力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。, 力对轴之矩的计算,方法一 : 将力向垂直于该轴的平面投影 ,力的投影与投影至轴的垂直距
4、离的乘积。,方法二: 将力向三个坐标轴方向分解,分别求三个分力对轴之矩，然后将三个分力对轴之矩的代数值相加。,A,B,C,D,例4-3,解：利用力矩关系,43 空间力偶,1、力偶矩以矢量表示力偶矩矢,空间力偶的三要素,（1） 大小：力与力偶臂的乘积；,（3） 作用面：力偶作用面。,（2） 方向：转动方向；,力偶对刚体的作用完全决定于力偶钜矢,两力偶等效的条件：两力偶的力偶钜矢相等,2.力偶的性质,因,力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。,力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 。,力偶矩,则,只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂
5、的长短，对刚体的作用效果不变。,=,=,=,只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。,=,=,=,=,(5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.,定位矢量,力偶矩相等的力偶等效,力偶矩矢是自由矢量,自由矢量,滑移矢量,3力偶系的合成与平衡条件,=,=,为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.,合力偶矩矢的大小和方向余弦,称为空间力偶系的平衡方程.,空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等于零，即,44 空间任意力系向一点的简化主矢和主矩,1 空间任意力系向一点的简化,空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系.,主矩,主矢,（1） 合力
6、,合力.合力作用线距简化中心为,2空间任意力系的简化结果分析（最后结果）,过简化中心合力,合力矩定理：合力对某点(轴）之矩等于各分力对同 一点（轴）之矩的矢量和.,（2）合力偶,一个合力偶，此时与简化中心无关。,（3）力螺旋,中心轴过简化中心的力螺旋,力螺旋,左 螺 旋,右 螺 旋,概念：由一力和一力偶组成的力系， 力垂直于力偶的作用面。,既不平行也不垂直,力螺旋中心轴距简化中心为,（4）平衡,平衡,空间任意力系简化的应用,空间固定端约束,空间固定端约束力,、,平衡方程:,空间平行力系,平面任意力系,45 空间任意力系的平衡方程,例4-2 图示三轮小车，自重P=8 kN，作用于点E，载荷P1=
7、10 kN，作用与点C。求小车静止时地面对车轮的反力。,解：研究小车。画受力图。,建立图示直角坐标系。,解得： FD=5.8 kN FB=7.777 kN FA=4.423 kN,例4-4 图示均质长方板由六根直杆支撑于水平位置，直杆两端各用球铰链与板和地面连接。板重为P，在A处作用一水平力F ，且F=2P。求各杆的内力。,解：取长方板为研究对象。画受力图。,由方程,解得：,由方程,可得：,由方程,可得：,F3=2.828 P (拉力）,空间一般力系最多有6个独立的平衡方程。根据问题的具体特点，方程组可以灵活地采用多种形式（三矩式、四矩式、五矩式、六矩式）。以本题为例，还有其它多种解法。请同学
8、们试一试。,要点提示：,3,6,1,5,4,2,重心的位置影响物体的平衡和稳定、又与许多动力学问题有关。,重心的位置实际上是重力的合力作用点。重心的位置就是平行力系的合力作用点平行力系中心。,4-6 重心,40,静力学,空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点C 就是此空间平行力系的中心。而物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。,一、空间平行力系的中心,平行力系中,合力作用点C的位置只与各平行力的作用点的位置及各力的大小有关,而与力的方向无关。点C称为该平行力系的中心。,41,静力学,1、平行力系的中心,由合力矩定理：,42,重心,重力的概念,二 . 重心1.定义：重力合力作用点称
9、为重心2.特点无论刚体如何放置，重力作用线总是通过该刚体的重心3.重心在工程上的重要意义,重力可视为与地平面垂直的空间平行力系,43,三. 重心坐标公式,任意物体的重心公式,根据合力矩定理，得,由上面三式得：,44,2. 匀质物体的重心坐标公式,容重=常量 Gi= Vi G= V,同理:,对于连续匀质物体,(4-17),Vi,0,(4-18),物体的几何形体中心又 称为形心。,因此，匀质物体的重心与形心重合,和形式,积分形式,(1)匀质等厚薄壳,厚度t=常量, Vi=AitV=Vi =Ait =At,同理:,(4-19a),或,(4-19b),(2)匀质等截面细长杆,横截面面积A=常量 Vi=
10、ALiV=Vi =ALi =AL,同理:,(4-20a),或,(4-20b),四. 确定匀质物体重心的几种方法,1.对称性法 匀质物体的重心一定在其对称面、对称轴或对称中心上,2.积分法,适用于形状规则的物体。,由对称性可知xc=0dL=Rdy=Rcos,例：已知圆弧AB半径R，圆心角2。求：AB圆弧段的重心。,解：,3.组合法,（1）分割法,适用于形状较复杂的物体,例：试求匀质槽形钢板的 重心。,解：由对称性可知xc=0,50,（2）负面积法,解：由对称性可知xc=0,51,2）图示弓形面积可看成由扇形OAMB去掉三角形OAB得到，由负面积法可求得弓形的重心。扇形和三角形的面积，重心位置查表
11、可得；故所求弓形体物块的重心的坐标为,2. 图示均质等厚物块，其横截面积由半径为R的圆弧AMB与弦AB所围成的弓形，试求其重心在其对称面中的位置。,解 1）在物块的对称面上建立图示直角坐标系oxy，由对称性知，弓形体物块的重心必在x轴上，故yc=0。,52,扇形OAMB的面积,其重心位置：,三角形OAB的面积,其重心位置：,53,解:(1)分割法,取坐标如图且把平 面图形分为 A和 B两 部分.,C1(2.5,7.5),C2(12.5,2.5),C1,A,C2,B,54,(2)负面积法,取坐标如图.使平面 图形组合成矩形A.,以及负面积的矩形B.,C1(10,7.5),C2(12.5,10),
12、C2,C1,55,例4-7,求：其重心坐标,已知：均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示。,解:厚度方向重心坐标已确定，,则,用虚线分割如图，,为三个小矩形，,其面积与坐标分别为,只求重心的x,y坐标即可。,56,例4-8,求：其重心坐标。,已知：等厚均质偏心块的,解：用负面积法，,由,而,得,由对称性，有,小圆（半径为r）面积为A3，为负值。,小半圆（半径为r+b）面积为A2 ,为三部分组成，,设大半圆面积为A1，,57,4.实验法,（1）悬挂法,（2）称重法,适用于体积小、质量小的物体,适用于体积大、质量大的物体,自行车前叉的结构特点,本 章 小 结,1、力在直角坐标轴上的投影,本 章 小 结（2
13、）,2、力对点的矩的计算,本 章 小 结（3）,4、合力矩定理 Mo( R ) = Mo(F ) 即：空间任意力系的合力对于任意一点的矩等于各分力对同一点的矩的矢量和。 将上式向任意轴投影（如 z 轴）得：Mz ( R ) = M z( F )5、空间任意力系向一点简化，可得一个大小和方向等于该力系的主矢，作用线通过简化中心的力和一个力偶。,本 章 小 结（4）简化的最终结果,本 章 小 结（5）,6、空间任意力系平衡方程的基本形式,本 章 小 结（6）, 力偶系M x = 0 ，M y = 0，M z = 07、不变形的物体（刚体）在地表面无论怎样放置，其平行分布重力的合力作用线都通过此物体上的一个确定的点，这一点称为物体的重心 重心的坐标公式,本章结束,例4-3 皮带的拉力F2=2F1，曲柄上作用有铅垂力F=2000 N。已知皮带轮的直径D=400 mm，曲柄长R=300 mm，皮带1和皮带2与铅垂线间夹角分别为 和 ， ， ，其它尺寸如图所示。求皮带拉力和轴承反力。,解：以整个轴为研究对象。,建立直角坐标系。,画受力图。,列平衡方程：,联立上述方程，解得：,
