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1、 水文统计学 绪 论 一、两种自然现象 1.必然现象 (确定性现象 )在一定条件下 ,某种结果必然会发生的现象。2.偶然现象 (随机现象 )在一定条件下 ,有多种可能发生的结果 ,但究竟哪个 结果发生 ,事先不能确定的现象。二、统计规律性对随机现象在相同条件下进行大量试验所显示出 来的规律性。第 1章 事件与概率1 1 事件及其运算试验 :对某种自然或社会现象进行的观测、调查或实验。一、 随机试验 试验可以在相同条件下重复进行 ; 试验的所有可能结果预先是明确知道的 ; 每次试验出现一个结果 ,哪个结果出现 ,在试验之前是无法预先知道的。随机事件 :随机试验中可能发生也可能不发生的事情称为随机
2、事件。简称 事件。两类特殊事件 :必然事件 :每次试验中 ,必然会发生的事情。不可能事件 :每次试验中 ,一定不会发生的事情。注意 :一般用大写英文字母 A,B,C, 表示随机事件 ;表示必然事件 ;表示不可能事件。随机事件、必然事件以及不可能事件都是相对于一定条件而言的。二、基本事件、复合事件、基本空间基本事件 : 随机试验中 ,每一个可能出现的结果 (样本点 )称为基本事件。基本事件特点 : 任何两个基本事件不可能同时发生 ; 每次试验总有一个基本事件发生。 复合事件 : 由若干个基本事件组成的事件称为复合事件。 基本空间 : 基本事件的全体称为基本空间。A三、事件之 间 的关系1.包含关
3、系若事件 A所包含的基本事件都属于 B,则 称事件 B包含 A。 记为 或 。事件 A发 生必然 导 致事件 B发 生。例 : 设 A表示 “南京市一年中降水日超 过 100天 ”,B表示 “南京市一年中降水日超 过 80天 ”,则 B包含 A ,因 为 若一年降水日数超 过 100天 ,则 必然超 过 80天。若 且 ,则 称事件 A 与事件 B等价 (或相等 )。记 作 A=B。BA 2.互斥事件若事件 A与 B不含有相同的基本事件 ,则称事件 A 与事件 B互不相容 ,或称 A与 B互斥。事件 A与 B不可能同时发生。例 :设 A表示 “南京市一年中降水日超过 80天 ”, B表示 “南
4、京市一年中降水日少于 70天 ”,则事件 A与 B不可能同时发生 ,所以 A与 B互斥。若事件 A与 B能同时发生 ,则称 A与 B为相容事件。AB 3.对立事件由基本空间中所有不属于事件 A的基本事件组成的事件 ,称为 A的对立事件 ,记为 。为 A的对立事件。A亦为 的对立事件。 A与 不能同时发生 ,但每次试验必有一个发生。例 : 设 A表示 “南京市一年中降水日大于等于 80天 ”,B表示 “南京市一年中降水日少于 80天 ”,那么 A与 B互为对立事件。A四、事件的运算1.事件之和 (并 )事件 C包含而且只包含 A、 B所有的基本事件。记作 :C=A+B或 C=A B。C为事件 A
5、与 B至少有一个发生的事件。例 :高射炮向敌机连发 2弹 ,以 C表示事件 “击中敌机 ”, A表示事件 “第一弹命中 ”, B表示事件 “第二弹命中 ”,则事件C为 A与 B的和 。推广 :事件 之中 ,至少有一个发生的事件称为的和 (并 )事件 ,记为 ,而 表示可列无无穷多个事件 之中至少有一个发生的事件。A BC 2.事件之积 (交 )事件 C包含而且只包含 A、 B共同的基本事件。C=AB或 C=ABC为事件 A与 B同时发生的事件。例 :从编号为 1至 15的 15张考签中任抽一张 ,令 A为事件 “抽到偶数号考签 ”, B为事件 “抽到的考签号数是 3的倍数 ”,则C=AB就是
6、“抽到的考签号数既是偶数又是 3的倍数 ”这一事件 ,即 C为 “抽到 6号或 12号考签 ”。推广 : 事件 同时发生的事件称为的积 (交 )事件 ,记为 ,而 表示 同时发生的事件。BAC 3.事件之差事件 C包含而且只包含属于 A但不属于 B的基本事件。C=A-BC为事件 A发生而 B不发生的事件。实际上 :例 :掷一颗骰子 ,观察它出现的点数。设 A表示事件 “出现偶数点 ”,B表示事件 “出现 2点 ”,则事件 A-B是一个事件 C,它表示 “出现 4点或 6点 ”。 A BC 4.事件运算法则 交换律 结合律 分配律 德 摩根定律推广 : 例 :设 A,B,C是三个随机事件 ,试用
7、 A,B,C表示下列各事件 : 只有 A发生 ; A和 B都发生而 C不发生 ; A,B,C都发生 ; A发生 B不发生 ; A,B,C 至少有一个发生 ; 三个事件都 不发生 ; 至少有两个事件发生。1 2 概率的定义与性质一、概率的定义1. 概率的古典定义古典概型 : 只有有限个可能结果 (基本事件 ); 各 个结果发生的可能性均相同。n:基本事件总数 ;m: A所包含的基本事件数。例 : 设有分别标有 0,1,2, ,9十个数字的十张卡片 ,从中连续随机抽取 5次 ,每次抽 1张 ,抽后即放回 ,问抽到 5个不同数字卡片的概率是多少 ?例 : 袋中装有 n个白球和 m个黑球 ,从中任取
8、a + b个球 ,求所取的球恰含 a个白球和 b个黑球的概率。 (an, b m) 2. 概率的几何定义例 :(会面问题 )设两人相约于某日下午 1点到 2点之间在某地会面 ,先到者等候另一人半小时 ,过时就离去。如果每人可在所指定的一小时内的任一时刻到达 ,并且两人到达的时刻是是彼此无关的 ,试求两人能会面的概率。解 : 以 x , y分别表示两人各自到达约会地点的时刻，按题意有 1x2， 1y2，会面的充要条件为样本空间 的面积为 1，区域 g的面积为从而两人能会面的概率为 例 : (蒲丰投针问题 )1977年法国科学家蒲丰提出下述著名问题。平面上画着一些平行线 ,它们之间的距离都是 a
9、,向此平面任意投一长为 l ( )的针 ,求此针与任一平行线相交的概率。解 : 如图所示，设 M为针的中点， X表示 M点到最近平行线的距离， 表示针与平行线的交角，则针的位置完全由 (X, )决定。随机事件 A“针与任意平行线相交 ”的条件为 3. 概率的统计定义历史上一些著名的掷硬币试验当试验次数 n充分大时 ,事件 A发生的频率稳定于某个常数 ,称此常数为事件 A发生的概率。 试 验 者 蒲 丰 皮 尔 逊试验次数 n 1 5 50 500 4040 12000 24000正面朝上次数 m 0 3 28 245 2048 6019 12016频 率 0 0.6 0.56 0.49 0.5
10、069 0.5016 0.5006 4. 概率的公理化定义设试验 E的基本空间为 ,给 中任一事件 A赋予一个实数P(A),若它满足条件 : 对任何事件 A,有 (非负性 ) (规范性 ) 若 Ai ( )为 中的两两互斥事件 ,则有(完全可加性 )则称 P(A)为事件 A的概率。二、概率的性质 若 为两两互斥事件 ,则 对任一随机事件 A,有 对任意两个随机事件 A,B,若 ,则且 对任意两个随机事件 A,B,有 推论 :推广 :对任意 n个事件 ,下式成立 :例 :已知 ,在下列三种情况下 ,分别求出的值。 A与 B互不相容 ; ; 解 : 因为 ,所以 故 因为 ,所以 因为 所以 例
11、:设有 20个零件 ,其中 16个是正品 ,4个是次品。从中任取 3个 ,求至少有 1个是正品的概率。解法一 : 以 A表示事件至少有 1个正品 , 分别表示恰有1个、 2个、 3个正品 ,于是 两两互不相容 ,且由加法定理 ,所求的概率为解法二 : 表示事件 “ 任取 3个零件全是次品 ” 。1 3 条件概率与事件的独立性一、条件概率与概率乘法定理同理可得 这里 由条件概率可直接得到下述概率乘法定理 :或推广 :设有 n个随机事件 ,则 例 :袋子中有 4个白球和 2个红球 ,现连取两个球 ,取后不放回,如果已知第一次取到白球 ,问第二次取到白球的概率是多少 ?解 : 以 A表示事件 “第一
12、次取到白球 ”， B表示事件 “第二次取到白球 ”，则 AB表示事件 “两个球都是白球 ”。则第一次取到白球的概率为 从而实际上，已知第一次取到了白球，此时袋中有 5个球，其中 3个白球，所以第二次取到白球的概率是 3/5 。 例 : 某地区 D位于甲乙两河会合处 ,假设其中任一河流泛滥都导致该地区淹没 ,如果每年甲河泛滥的概率为 0.2,乙河泛滥的概率为 0.4,当甲河泛滥而导致乙河泛滥的概率为 0.3,求 : 任一年甲乙两河都泛滥的概率 ; 该地区被淹没的概率 ; 由乙河泛滥导致甲河泛滥的概率。解 : 令 A表示 “甲河泛滥 ”, B表示 “乙河泛滥 ”， C表示 “地区 D被淹没 ”，则
13、 例 : 袋子中有 4个白球和 2个红球 ,现连取 3个球 ,取后不放回 ,求第三次才取到红球的概率。解 :令 Ai (i=1,2,3)表示 “第 i次取得红球 ”，则所求事件为二、事件的独立性若 称事件 A对 B是独立的。如果 A对 B独立 ,则又由 可知 即 B对 A也独立。所以通常称事件 A与 B相互独立。定义 :设 A、 B 为两个事件 ,若 称事件 A与 B相互独立。若事件 A与 B相互独立 ,则 也是相互独立的。 证明 :例 :设甲、乙两射击手击中目标的概率分别是 0.7和 0.8,现各射击一次 ,求 : 同时击中目标的概率。 至少有一人击中目标的概率。 恰 有一人击中目标的概率。解 :设 A表示 “甲击中目标 ”, B表示 “乙击中目标 ”。 两个事件相互独立的概念可以推广到三个和三个以上的情况。设有 n个事件 ,如果下列等式成立则称这 n个事件是相互独立的（或总体独立）。如果 n个事件
